构造函数专题教师

1、第 第 页构造函数专题题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1 已知实数满足,则的大小关系为（）ABCD【答案】C【分析】判断出，构造函数，判断时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由题意知 ，由，得 ，设 ，则，当时，单调递增，因为 ，当且仅当时取等号，故，所以，故，则 ，即有，故，故选：C【点睛】本题考查了数的大小比较，解答的关键是根据数的特征构造合适的函数，利用导数判断函数单调性，进而比较大小关系.巩固训练1.已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】根据题干中的不等式，构造函数，结合在在R上为偶函数

2、，得到在R上单调递减，其中，分与，对变形，利用函数单调性解不等式，求出解集.【详解】当时，所以当时，令，则当时，故在时，单调递减，又因为在在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，故在R上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；综上：不等式的解集为.故选：A命题点2利用f(x)与ex构造例2 已知定义在上的函数的导函数，且，则（）A，B，C，D，【答案】D【分析】根据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函

3、数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D巩固训练2.已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令，所以，因为，所以，化简得，所以是上的奇函数；，因为当时，所以当时，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；考虑到，由，得，即，由在上单调递增，得解得，所以不等式的解集为，故选：B.命题点3利用f(x)与sin x、cos x构造例3 已知 , , , 则（）ABCD【答案】A【分析】构造函数,判断其单调性可得到，再利用与1的大小比较可得到.【详解】设函数，则，令

4、函数，则，所以函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以，即，所以因为，易证当时，所以，而，所以，所以，故选：A巩固训练3.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.【详解】因为，所以，令，所以，对函数求导：，由有：，由有：，所以在单调递增，在单调递减，因为，由有：，故A错误；因为，所以，由有：，故D错误；因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；令 有：=，当，.所以在单调递增，当时，即，又，所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误.故选：C.题型二同构法构造函数例4

5、已知关于变量的非常值函数在上成立，且；在上的图像关于对称，则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出函数在上单调递减，在上单调递减.对于A：利用单调性比较出，即可判断；对于B：利用单调性比较出，即可判断；对于C：利用单调性比较出，即可判断；对于D：先得到.由，转化得到.【详解】因为，所以，即.因为，所以，所以.令，则，所以函数在上单调递减.任取，且.因为在上的图像关于对称，所以因为的图像关于对称，所以所以，即.所以的图像关于对称.所以在上单调递减.对于A：因为在上单调递减.所以，即，即.故A错误；对于B：因为在上单调递减.所以，即，即，解得：.故

6、B错误；对于C：因为在上单调递减.所以，即，即，解得：,即.故C错误；对于D：因为在上的图像关于对称，所以.因为在上单调递减.所以，即，即，解得：,所以.故D正确故选：D巩固训练4.(多选)(2022常州模拟)若0 x1x2ln x2ln x1Dln x2ln x1答案AD解析构造函数f(x)eq f(ex,x)(0 x1)，因为f(x)eq f(exx1,x2)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，因为0 x1x21，所以，即，所以选项A正确，选项B错误；构造函数h(x)exln x(0 x0，当x0时，h(x)，所以存在x0(0,1)，使h(x0)0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减

7、，在(x0,1)上单调递增，所以无法判断C选项的正确性；构造函数g(x)exln x(0 x1)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，因为0 x1x21，所以ln x1ln x2，即ln x2ln x1，所以选项D正确课后练习1.已知，其中，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】A【分析】构造函数，并求，利用函数的图象去比较三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得，构造函数，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，函数的大致图象如图所示因为，且，则由图可知，所以故选：A2已知是定义在R上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】C【分析】令，求导得，由

8、题意可得在R上单调递增.再逐一判断即可.【详解】设，则.因为，所以，则在R上单调递增.因为，所以，即，所以，则A错误；因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误；因为，所以，则，所以，则C正确；因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误.故选:C3已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】根据给定的含导数的不等式，构造函数，再分段讨论求解不等式作答.【详解】依题意，令，则，即函数在R上单调递增，由知，当时，不等式为成立，则，当时，即，于是得，因此有，解得，即得，当时，同理有，即有，解得或，因此得，综上得，所以不等式的解集为.故选：A4

9、.设，则（）ABCD【答案】B【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑，在时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设，易得.设，则令有，故在上单调递增.因为，即，故，即，故，即.设，则，设，则.设，则，故为增函数，故，即.故，当时， 为增函数，故，故当时为增函数，故，故.设，易得当时，故，即.综上故选：B【点睛】本题主要考查了构造函数求导根据单调性分析函数大小的问题，需要根据题中所给的信息判断出需要构造的函数，再求导适当放缩分析函数的单调性，进而得出函数值的大小即可.属于难题.5已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为（）A

10、BCD【答案】A【分析】根据，可构造函数，根据该函数的奇偶性和单调性，解不等式，可得答案.【详解】因为当时，所以令，则，所以在上单调递减，因为是定义在上的偶函数，所以是上的奇函数，又因为是的导函数，所以的图象连续，故在上单调递减因为，所以，所以当时，等价于解得；当时，等价于，解得综上可知，不等式的解集为故选A6已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，若，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】令，根据，可得，即为偶函数，再根据当时，利用导数判断函数在上得单调性，再根据，即，即，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，令，则，所以为偶函数，当时，所以，所

11、以函数在上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，因为，所以，所以，即，解得或.故选：C.【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.7设，则（）ABCD【答案】A【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数，显然，则，令，求导得，即在上单调递减，即，因此当时，取，则有，令，令，在上单调递减，有，则在上单调递增，因此当时，取，则有，所以.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合

12、条件的函数，利用函数的单调性求解即可.8函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：任意，恒成立，时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（）ABCD【答案】A【分析】设函数，利用已知条件判断函数的单调性及对称性，根据所得结论化简不等式求其解集.【详解】设函数，则，又时，恒成立，所以当时，所以函数在单调递增，又因为任意，恒成立，所以，所以，所以函数的图象关于对称，因为可化为，所以，所以所以，所以，所以不等式：的解集为，故选：A.9已知奇函数的定义域为R，其函数图象连续不断，当时，则（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，根据条件判断单调性，再结合奇偶性可解.【详解】解：令，则，当时，所以在上单调递增，所以，即，从而可得，故A错误；因为为奇函数，所以，所以B错误；对于C，因为当时，则当时，所以，又为奇函数，所以，C错误由选项A的推理过程可知，又，可得，D正确故选：D【点睛】本题考查了函数的奇函数的性质，也考查了利用导数确定函数的单调性，难点在于构造函数，属于较难题.10函数满足（为自然数的底数），且当时，都有（为的导数），则下列判断正确的是（）ABCD【答案】D【分析】由可得，故构造函数，根据条件可判断该函数的对称性以及单调性，根据单调性即可判断A,C,D;根据对称性可判断B.【详解】由可得，故设 ，