利用导数研究恒(能)成立问题教师

1、利用导数研究恒(能)成立问题题型一分离参数求参数范围例1 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.(1)求切线的方程；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.(1)解：函数的定义域为，由题意知，所以，故，所以，切点坐标为故切线的方程为(2)解：由（1）知，所以，可化为：，即在上恒成立，令，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故当时，在上恒成立，所以实数的取值范围是.巩固训练1.已知函数

2、，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（）A1B0C1D2【答案】B【分析】根据函数解析式化简恒成立为恒成立，构造函数，利用导数求其最小值，即可求得答案.【详解】，,恒成立，且，恒成立，令，则,因为是时的递增函数，故在上单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，故实数k的最大值是0，故选：B2.(2022重庆模拟)已知函数f(x)eq f(x2,2)(m1)xmln xm，f(x)为函数f(x)的导函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若xf(x)f(x)0恒成立，求m的取值范围解(1)f(x)x(m1)eq f(m,x)eq f(x2m1xm,x)eq f(xmx1,x)，当m0，

3、x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增当0m0，f(x)单调递增；当x(m,1)时，f(x)0，f(x)单调递增当m1，x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增当m1，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，m)时，f(x)0，f(x)单调递增(2)由题意知xf(x)f(x)0恒成立，即eq f(x2,2)mln x0恒成立，eq f(x2,2)mln x.当x1时，eq f(x2,2)mln x恒成立，当x1时，eq f(x2,2ln x)m；当0 x1时，eq f(x2,2ln x)m.令g(x)eq f(x2,2ln x)，则g(x)eq f(x2ln x1,2l

4、n x2)，当0 x1时，g(x)0，g(x)单调递减且g(x)1时，令g(x)0，得xeq r(e)，当1xeq r(e)时，g(x)eq r(e)时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(eq r(e)e，me.综上知0me.思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题(2)af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min；af(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.题型二等价转化求参数范围例2 已知函数(1)求函数的最小值；(2)若不等式对于恒成立，求的取值范围【答案】(1)1；(2).【

5、分析】（1）按照函数求最值步骤求解即可；（2）对于含参不等式的恒成立，需要分析式子的结构，转化成函数最值求解问题即可（1）解：求导：即当解得当解得的单调递减区间为；单调递增区间为函数的最小值为（2）解：由（1）得，所以要使得恒成立，必须满足：下面证明：当时恒成立只需证明设，则由（1）得且只在取等号当时，单调递减当时，单调递增.综上解法二：（变量分离）整理得：只需先证明：，构造，当时，单调递增从而证明得当仅且当即处取得等号.解法三：（不分离）得下面证明当时，只需证明设，则由（1）得且只在取等号当时，单调递减当时，单调递增.综上巩固训练已知函数.(1)若任意，求a的取值范围；(2)若任意，求a的取

6、值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将恒成立问题参数分离，利用导数求解最值即可，（2）构造函数，分类讨论求最值即可.（1）当时，令 ，则，当时， ，所以 在 上单调递增，故 ，故对任意的，由题意可知，对任意，而当 时， ,则当时，记，则，当时，当 时， ，因此 在 单调递减，在单调递增，故 ，故 ,综上可知：，（2）记 ，则，记 ，则 ， 在时单调递增，且 当 时， ，故在时单调递增，且 ，故在时单调递增，则 ，此时满足题意，故 当 时，存在 ，使得当 时 当时， ，故在单调递减，在单调递增，且 ，故存在 ，使得当 时 当时， ，故在单调递减，在单调递增，且，不满足对任意的 ，故舍去，综

7、上可知：题型三双变量的恒(能)成立问题例3 （1）函数，有两个极值点，(1)求实数a的取值范围(2)不等式恒成立，试求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，根据题意，先对函数进行求导，然后满足有两个根，列出不等关系，即可求解出实数a的取值范围；（2）由已知，根据，是的两个根，利用根与系数关系，即可得到，然后根据第（1）问实数a的取值范围，利用带入中，得到，的范围，然后带入中，通过参变分离，构建新的函数，求解该函数值域即可.（1）因为的定义域为，令，又因为函数有两个极值点，所以在有两个不等正实数根，所以，所以实数a的取值范围为.（2）由（1）知，从而，由不等式恒成立，所以恒成立

8、，又，令，所以，当时，恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是所以实数的取值范围是【点睛】在解题过程中要善于利用题意条件建立起的等量关系，如本题通过根与系数关系找到，之间的等量关系，并且需要注意的是，如果该题中含参数，要注意考虑，与参数之间的关系，从而借助参数的取值范围，求解出变量的取值范围.（2）函数.(1)若恒成立，求a的值；(2)若有两个不相等的实数解，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意由，要使恒成立，需使得为函数的最小值点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即可得解；（2）依题意可得，要证，即证：，不妨设，令，则需证：

9、，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：函数，则，要使恒成立，需使得为函数的最小值点，由当时，此时在R上单调递减，不符合题意；当时，令得，令得在单调递减，在单调递增，时取最小即(2)解：若有两个不相等的实数解，则，两式相减得：，即，故要证，只需证：，即证：，即证：，不妨设，令，则需证：，设，则，设，则，当时取等号，即，单调递减，故，即是，单调递减函数，故，即成立，故原不等式成立.巩固训练3.已知.(1)讨论的单调性；(2)当时，若在上恒成立，求的最小值【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)【分析】（1）求出定义域，求导，分与两种情况分类讨论，得到

10、的单调性；（2）利用第一问函数单调性，数形结合得到当直线与相切时，取得最小值，故取得最小值，利用切线斜率得到方程，求出，换元后构造函数，求出单调性和极值，最值情况，得到答案(1)定义域为，当时，单调递增，当时，当时，单调递增，当时，单调递减，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)当时，在上恒成立由（1）知：在上单调递增，而为直线方程，当时，为常函数或单调递减，故不能使得在上恒成立，舍去当时，当直线与相切时，可以使得在上恒成立，设切点为，则有，解得：，因为，所以，由于恒过点，当直线与相切时，取得最小值，故取得最小值此时，解得：故，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增

11、，所以在处取得极小值，也是最小值，故的最小值为.【点睛】导函数求解多元问题，要结合题目条件，将多元问题转化为单元问题，进行求解，注意换元后的定义域的变化.4已知函数(1)试讨论的极值；(2)设，若，使得，求实数的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），使得等价于，分别求出与，即可求解(1)函数的定义域为，当时，所以在上为增函数，此时函数不存在极值当时，由，解得，故在上单调递增由，解得，故在上单调递减此时函数在处取得极大值无极小值综上所述，当时，函数不存在极值当时，函数在处取得极大值，无极小值(2)由（1）知当时，在上为增函数，故无最大值，此时不符合

12、题意；当时，易知在上单调递减，所以因为，使得，所以，即解得，所以实数a的取值范围是课后练习1.若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（）ABCD【答案】A【分析】先求导，研究函数的单调性，根据参数不同的取值，分类讨论，求得函数的最小值，再利用分离参数，构造新函数，求最值，可得答案.【详解】令，求导得，当时，易知函数单调递增，函数值域为R，则不合题意；当时，令，解得，可列下表：极小值则，可得，令，求导得，令，可得，可得下表极大值则，则，故选：A.2已知函数(1)若，求函数的单调区间；(2)若任意， 求a的取值范围【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间(2)【分析】（1）由导数法判断单调性即可；（

13、2）令，则任意，等价为任意，分别讨论、，通过导数法讨论即可（1），令，解得，当，所以单调递减区间为，单调递增区间为（2）令，则任意，等价为任意，设，当时，不合题意；当时，由指数函数及二次函数的单调性易得在单调递减，又，不合题意；当时，则为增函数，令得 当时，则， 所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以，不合题意当时，时，又，在上单调递增；所以，所以在上单调递增；所以，符合题意.综上所述，.3已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)的递增区间为，无递减区间；(2)【分析】(1)对求导，得，令，对求导，利用 的正负确定的单调性及最小值，从而确实的正负

14、及的单调区间；(2)由(1)可得，然后分a2和a2两种情况讨论的单调性及最值，即可得答案.（1）解：当时，求导，设，则，令 ，解得： ；， 在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，则，在（0，+）上恒成立，的递增区间为（0，+），无递减区间；（2）解：，由（1）知：，又因为在（1，+）单调递增，则g（x）g（1）2，当a2时，在1，+）单调递增，满足题意当a2时，设，则，当时，在1，+）递增， ，使，在1，+）单调递增，当时，0，即0，所以在上单调递减，又，当时，不满足题意的取值范围为，综上可知：实数的取值范围（ ，24已知函数的图像在处的切线与直线平行(1)求函数的单调区间；(2)若，且

15、时，求实数m的取值范围【答案】(1)在递增，在递减(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求出，直接利用导数求单调区间；（2）根据式子结构构造，由在为增函数，得到在恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求解.(1)的导数为，可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，由，可得，由，可得，则在递增，在递减(2)因为，若，由，即有恒成立，设，所以在为增函数，即有对恒成立，可得在恒成立，由的导数为，当，可得，在递减，在递增，即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得则实数m的取值范围是【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值

16、）；（3）利用导数求参数的取值范围.5已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设，若，且，使得，求的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出导函数，然后对分、三种情况讨论即可求解；（2）由题意，当满足时，取得最大值，令，求出的值即可得答案.(1)解：因为，所以，当时，令，可得或，令，可得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，所以在R上单调递增；当时，令，可得或，令，可得，所以在和上单调递增，在上单调递减；(2)解：因为，所以由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，因为，且，使得，所以当满足时，取得最大值，令，所以当时，同理可得，所以当时，所以此时，即的最大值为.6已知函数f（x）=.(1)讨论函数f（x）的单调性；(2)设t1，t2为两个不等的正数，且t2lnt1t1lnt2=t1t2，若不等lnt1+lnt20恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在（，0）上单调递增，在（0，+）单调递减(2)1，+）【分析】（1）首先对函数求导，令导数大于零，求得增区间，令导数小于零，求得减区间；（2）令x1=lnt1，x2=lnt2，将式子t2lnt1t1lnt2=t1t2转化为，实数x1，x2满足f（x1）=f（x2）且不等式x1+x20