等差数列与等比数列的性质

1、等差数列与等比数列的性质第1页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二一、.等差数列的性质1若公差 ，则为递增等差数列， 若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.d0d0，则lgan是等差数列.（2k-1）ak第3页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二nda中8 在等差数列an中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇= ;项 数为奇数2n-1时;S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)a中(这里a中 即an );S奇S偶=(k+1)k. 9若等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn, 且 =f(n),则 = = =f(2n-1).10“首正”的递减等差数

2、列中,前n项和的最大值是所 有非负项 之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的 最小 值是所有非正项之和.思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列 的基本性质第4页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二2.等比数列的性质(1)当m+n=p +q 时，则有 , 特别地，当 m+n=2p 时，则有aman=ap2.(2)若an是等比数列，则kan、an2、1/an成等比数列；(3)若an、bn成等比数列，则anbn、 成等比数列;(4)若an是等比数列,且公比q-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n- S2n,也是 数列.当q=-1,且n为偶数时,数 列Sn,S2n-Sn,

3、S3n-S2n,是常数数列0,它不是等比数列.aman=apaq等比注意： 下标成等差，对应的项成等比与首末两项距离相等的两项之积相等,即 a1an=a2an-1=a3an-2=第5页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二(5)若a10,q1,则an为 数列；若a11,则 an为 数列;若a10,0q1,则an为递减 数列；若a10,0q1，则an为递增数列；若q0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( )A. n(2n-1) B. (n+1)2C. n2 D. (n-1)2C第20页，共41页，2022

4、年，5月20日，5点31分，星期二 本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.第21页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二 1 (2010湖北省模拟)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lgan与lgbn的前n项和, 且 = ,则logb5a5= . 由题知， = = = =logb5a5 logb5a5= .第22页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，

5、星期二 （1）两个等差数列an，bn的前n项和的比是 (7n2)(n3)，这两个数列中第7项的比a7b7.= ，(2)已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30， 则S3m_70_.(3)等差数列的前n项和为54，前2n项的和为60， 则前3n项的和为 18 .解答(1) .例3“和与部分和”性质第23页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二(2)解析：解法一：Sm10，S2m30， 整体消元技巧得1qm3，qm2.代入得 10， 10(把 整体作为未知元很关键)S3m (10)(123)70.解法二：an是等比数列，Sm，S2mSm，S3mS2m，即10,20，S3m30

6、满足10(S3m30)202，S3m3040，S3m70.答案：70第24页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二 巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要. 巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.第25页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二对于有穷的等差、等比数列的相关计算问题有着特殊的计算方法，比如在一个项数n为奇数的等差数列中 (其中 为中项) (1)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数 项之和为33，求该数列的中间项和项数(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为 3227，求等差数列的公差

7、例4第26页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二解答：(1)根据已知条件 设等差数列的项数为n，则 因此该数列中间项为11，项数为7. S偶 (S偶S奇)192.S奇162，d 5.第27页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二 .已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170.求这个数列的公比和项数解答：解法一：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则S偶qS奇q 2.又S2nS偶S奇 8517022n1255.2n8，故数列公比为2，项数为8.解法二：设该数列公比为q，项数为2n，则奇数项、偶数项也构成等比数列，且公比为q2，

8、可推出q21.故有 q2，n4.故这个数列的公比为2，项数为8.第28页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二1 知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意 三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差 d(公比q)这两个基本量的有关运算.【方法规律】2了解和掌握等差数列和等比数列的基本性质，有利于更深刻地理解等差数列和等比数列问题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确 巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，

9、又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.第29页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二(1)若等差数列an的项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan；(2)若等差数列an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd；(3)若等比数列an的项数为2n，公比为q， 则 q.(4)等比数列的相关结论可以看作是等差数列结论的“运算升级”.3除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：第30页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二(本题满分12分)若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数

10、列，(1)求数列S1，S2，S4的公比；(2)若S24，求an的通项公式.第31页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二【考卷实录】第32页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二【分析点评】1. 考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等差数列前n项和的特征SnAn2Bn.而第(2)问利用了已知Sn求an，要注意an 要注意对a1S1是否适合anSnSn1，n2的检验第33页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二2本题的一般解法具体如下：(1)由已知条件得 S1S4，即(2a1d)2a1(4a16d)，整理得：d22a

11、1d，又d0，则d2a1， 4，数列S1，S2，S4的公比为4.(2)由已知条件4a14，则a11，d2，ana1(n1)d2n1. 第34页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二学例1 (2009安徽卷)已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )BA. 21 B. 20C. 19 D. 18第35页，共41页，2022年，5月20日，5点31分，星期二 由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35. 由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33. 则由-得d=-2，所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n. an0 an+10，解得19.50),则在定义域上有 , a1 , a=1