线性代数主观例题

1、2015线性代数例题精选-1 设Q为有理数域，令Q( 3)ab 3 abQ，证明Q( 3【证】(1000 3Q( 3)，110 3Q( 3)(2)sab 3, t 2015线性代数例题精选-1 设Q为有理数域，令Q( 3)ab 3 abQ，证明Q( 3【证】(1000 3Q( 3)，110 3Q( 3)(2)sab 3, t cd 3Q( 3st (ab 3)(cd 3) (ac)(bd) 3Q( 3)st (ab 3)(cd 3) (ac3bd)(ad bc) 3Q( 3)c若t 0，即c,d 不全为0，从而cd 3 0(否则，c d 3，注意c,dQds ab 3 = (ab 3)(cd

2、3) ac3bd (bcad) c2 3dcd (cd 3)(cd t ac3bd bc 3Q( 3)c23dc2 3d( QR，复数域C，至少还有数域Q( 3)2 75236714 1 1，273 求n元排列1 1，273 求n元排列(n1)(n2)321nn 逆序，n1与后面n-2,n3，n4, 3, 2, 它n2与后面n3,n4, , 3，2,(n3)个逆序，依此下去，1与后面n有1个序，n 处在最后面，逆序为 0，因(n1)(n2)321n)n2n33210(n1)(n，2(n1)(nn4k(4k 1)(2k 1)2(n1)(nn4k1 2k(4k 1)2(n1)(nn4k2 2k(4

3、k 1)2(n1)(nn4k3(2k 1)(4k1)2 21452x11xD4。 421452x11xD4。 4 1 列的元素3x (1)(1234)3xxxx 3x4故该行列式中(也即含 x 的最高次幂)的项仅此一项 x3 项，此项为：(1) (1432)3x(x x4 12x3 (2)如果取(1, 2)位(指第 1 行第 2 列元素，以下同)元素 x ，则类似方法可知，含 x3 项为(1)(2134)x1xxx3，(1)(2431)x(x)x1 x3(3)如果取(1, 3)位元素 5，无论取第 2、3、4 行哪些元素，类似方法可含x3项为：(1) (42312xxx1 2x3 (4)如果取

4、(1, 4)位元2x ，则类似方法可知，x3的项为12x3x3x32x3 8x3该行列式是x 的 4 次多项式，其中的系数为 3，含 x3 项的系数为 8 5 n1 nn nn123nn234nnaaa0b1142312001100010(1)801。53 1142313813300880011801 801 100原式8113810 n1 nn nn123nn234nnaaa0b1142312001100010(1)801。53 1142313813300880011801 801 100原式8113810 1511800 3812123137 5350381811111431 0012 1

5、2 12 (2)从倒数第 2 行开始，上一行乘以(-1)加到下一行，依行列式的性质 5n11000001121110n00001原式n211(3)将第k列乘以(bk) 加到n列，k 12,n1，依行列式的性质 5，行列式的值不变 k a1000100001k000 k 原式a b a b kkk a2ana1b2 a2anana1(1)Dna2an(2)Da2ana1b2 a2anana1(1)Dna2an(2)Dn n bb a aaaaan12n2ib0D 12000n200b1nnn 1)b b 1 nbi(2)当b1b2,bn中至少2个相等时Dn 0。下面不妨设b1b2bn两两不等a2

6、anb2b2bnbna2an11111 0D (b b )(b b n1n2a1a1D b )(a b )(a b )(a b )a b 21a a 3150013510120 。【分析】本例直接的方法是分别计算 4 3 阶行列式M31M32M33M34 ，再取和，但式的定义，M31 M32 M33 M34 A31 A32 A33 A3430135101205A 3A 2A 2A 503015110011M31 M32 M33 MA31 A32 A33 A34 ，0030135101205A 3A 2A 2A 503015110011M31 M32 M33 MA31 A32 A33 A34 ，

7、00 015100351003010301510M31 M32 M33 M341 + 1 + 1 + 00000011 011 (7)=5(-035021-1428M31 M32 M33 M34 A31 A32 A33 31100135110013115110105120107 57 282【评】相对于分别计算四3阶行列M31M32M33M34M31M32M33 式之和A13A23A33A43A13A23 A33 3500331001315013012100(1)13 2 2 1 000(7)(1)32 12(7)(1)3202(7)(1)3203(1)11 12551135003310013

81)13 2 2 1 000(7)(1)32 12(7)(1)3202(7)(1)3203(1)11 12551132142213 393150013111101203130011300110100A13A23A33 A43 3300110111(1)1 391式的代数和2A13A233A335A43315001320101203130011201002A13A233A335A43 3302530001231348 aaaaa00000000000ba01110 xx1xx000 x(1)Dn ；(2)Dn。0 x 00a000b000000000a00b0a0ba00

9、0ba0ba aD n0an bn0110 xx1x001x01x001x1001000a000b000000000a00b0a0ba000ba0ba aD n0an bn0110 xx1x001x01x001x100100110000 Dn0002列, 3列00100100110001)n1n1xn200110010010011。9 aaa222123000123bcd331233110001000100011111000100010001原式1b2c31b2c3dd331233333231111000100010001111000100010001123123dd3332311111000

10、100010001111000100010001123123dd3332311aaaaaa1233123123(a2 a1)2a3 a2)2a3 a1)2 (3)x1x2 x4 x (3)x 10 下述齐次线性方程组有非零解，问应取何值？ 1x2 (3)x3 x3 (3)x4 010101-10111100110(-D0110111210 (-(-001111001(3)( (3)(5)1(1)(3)2(5)1D0，即1或3或5 x0000 x00000 x000000 x0000 x x x0000 x00000 x000000 x0000 x xDn xn an1xn1a1xa0n2D x

11、2 a xa 2x1x0000 x00000 x000000 x0000 x akxDk1 0 x0000 x00000 x000000 x0000 x akakxx0 x00 x01k x x(xk akxk1a2xa1)a0(1)k xk1 ak xk a2x2 a1xa0 的情形 Dk ，直接代入结论，后者为一上三角行列第一步：验证对于低阶(比如n2n3阶)行列式结论成立否？如果不成立，则结论不正确。如果成立，进入第二步：假设n k 时结论成立，考查当n k 1 时结论成立否？k1阶行列式化为几个knk时的结论，代入abababba12 计算2n阶行列式第一步：验证对于低阶(比如n2n3

12、阶)行列式结论成立否？如果不成立，则结论不正确。如果成立，进入第二步：假设n k 时结论成立，考查当n k 1 时结论成立否？k1阶行列式化为几个knk时的结论，代入abababba12 计算2n阶行列式(0)D2n。bababan1D2 a2 b2n2，取定第nn1ab(1)(12n)(12n) (a2 b2，同，(a2 b2D a2b2D 42(a2 b2)D2n2 (a2 b2)D2n4 D (a2 b2)D 42上数第 2 式两端乘以(a2 b2 ，第3 式两端乘以(a2 b2 )2 ，依此类推b2 ，然后左边相加，右边(a2b2)n1D (a2-b2)n2当n1abba a2 b22

13、ba(1)(12n)(12n) abba a2 b22ba(1)(12n)(12n) (a2 b2(a2 b2) b D(a2 b2)2(a2b2)n1D (a2 b2)nababaabaaaaaababa0baa2 b2na0a013 计算下述n阶三对角行列式(a100a000a0Dn aba13 计算下述n阶三对角行列式(a100a000a0Dn aba1若a0 bn ，若b 0an，当nnnaaD aab，D (ab)2 aba2 abb212Dn (ab)Dn1 ab1Dn2 (ab)Dn1 abDn2 DnaDn1 b(Dn1aDn2), bn2(D aD )D n21abD a2 abb2D aD b21221Dn aDn1 b nDnbDn1 a(Dn1bDn2)Dn bDn1 a nan1 bn1 a bDn ，n1, 2 nn123nn23434512n12 n14 计算下述nDn 。 n(n nn123nn23434512n12 n14 计算下述nDn 。 n(n2n1, 2D111, D2 3 nn11234n134512n12nn n(n1) Dn2111 1110000211113111 1 1n 11 n(n2 1 111111111 11111 n(n21 11111111 111