7正弦定理和余弦定理及解三角形-2018年高考数学(文)热点题型和提分秘籍含解析-5718

1、学必求其心得，业必贵于专精1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题2本部分是高考取的重点察看内容,主要察看利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相联合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、【2017山东】在C中,角，C的对边分别为a，bcC为锐角三角形,且知足sin12cosC2sincosCcossinC,，若则以低等式建立的是（A）a2b（B）b2a(C）2（D）2【答案】A【剖析】sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC因此2sinBcosCsinAco

2、sC2sinBsinA2ba,选A。【变式研究】(1）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB错误!b，则角A等于(）A。错误!B.错误!C.错误!(2)在ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c。若a学必求其心得，业必贵于专精1，c42，B45,则sinC_。【答案】（1)A（2)错误!因此sinC错误!错误!错误!。【提分秘笈】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形拥有不唯一性，过去依照三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。【贯串交融】在ABC中,内角ABC的对边分别是abca2b2，,若错误!bc

3、，sinC2错误!sinB，则A(）A30B60C120D150【答案】A【剖析】sinC2错误!sinB，由正弦定理，得c2错误!b，cosA错误!错误!错误!错误!，又A为三角形的内角，A30。学必求其心得，业必贵于专精热点题型二判断三角形的形状例2、在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC。(1)求角A的大小;(2)若sinBsinC错误!，试判断ABC的形状。【提分秘笈】判断三角形形状的方法技巧解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，尔后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系

4、式，尔后利用常有的化简变形得出三边的关系。其他，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响.【贯串交融】在ABC中,内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是(）学必求其心得，业必贵于专精A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】A热点题型三与三角形面积相关的问题例3【2017浙江,14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2点为AB延伸线上一点,BD=2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_【答案】15,1024【剖析】取BC中点E,DC中点F，由题意：AEBC,BFCD，ABE中，cosABCBE1,cosDBC1,sinDB

5、C1115,AB44164SBCD1BDBCsinDBC1522又cosDBC12sin2DBF1,sinDBF10，44cosBDCsinDBF10,4综上可得，BCD面积为15,cosBDC1024【变式研究】在锐角ABC中，内角A，B,C的对边分别为a，b，c,且2asinB3b。学必求其心得，业必贵于专精(1)求角A的大小；(2）若a6,bc8,求ABC的面积。【剖析】（1)由2asinB3b，得2a错误!，又由正弦定理错误!错误!,得错误!错误!，因此sinA错误!，因为为锐角，因此A错误!。2)由（1）及a2b2c22bccosA,得b2c2bc（bc）23bc36，又bc8,因此

6、bc错误!，由S错误!bcsinA，得ABC的面积为错误!。【提分秘笈】三角形面积公式的应用原则(1）关于面积公式S错误!absinC错误!acsinB错误!bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。2）已知三角形的面积解三角形。与面积相关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。【贯串交融】在ABC中，内角A，B,C所对的边分别是a,b，c.若c2（ab）26，C错误!，则ABC的面积是（）A3B。错误!C.错误!D3错误!【答案】C学必求其心得，业必贵于专精126错误!错误!。1.【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4,BC=2点D为AB延伸线上一点,BD

7、=2，连接CD，则BDC的面积是BDC_，cos=_【答案】15,1024【剖析】取BC中点E，DC中点F，由题意:AEBC,BFCD，ABE中，cosABCBE1，cosDBC1,sinDBC1115，AB44164SBCD1BDBCsinDBC1522又cosDBC12sin2DBF4sinDBF4，1,10cosBDCsinDBF10，4综上可得，BCD面积为15，cosBDC10242。【2017课标1】ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为a23sinA（1）求sinBsinC；(2）若6cosBcosC=1，a=3,求ABC的周长。学必求其心得，业必贵于专

8、精【答案】(1）2.（2）333。33。【2017课标3】ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。已知sinA3cosA0，a=27,b=2。1）求c;(2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积。【答案】(1)c4;（2)3【剖析】（1）由已知得tanA3，因此A2.3在ABC中，由余弦定理得3，即284c24ccos2c22c240。解得：c6(舍去)，c4。学必求其心得，业必贵于专精（2）有题设可得CAD=，因此BADBACCAD621ABADsin故ABD面积与ACD面积的比值为2611ACAD2又ABC的面积为242sin23，因此的面积为3.1BACABD【考点】余弦

9、定理解三角形；三角形的面积公式4。【2017天津】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知ab，a5,c6，3。sinB（）求b和sinA的值;（）求sin(2A4)的值.【答案】（1)b13。(2)7226cos2A12sin2572.A。故sin(2A)sin2Acoscos2Asin26134441。【2016高考新课标3理数】在ABC中,B,BC边上的高等4学必求其心得，业必贵于专精于1BC,则cosA（）3(A）31010（B）1010（C)1010（D）31010【答案】C【剖析】设BC边上的高为AD,则BC3AD，因此ACAD2DC25AD,AB2AD由余弦定理，

10、知cosAAB2AC2BC22AD25AD29AD210，应选C2ABAC22AD5AD102。【2016高考新课标2理数】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA4，cosC5，a1，则b513【答案】21133【。2016高考天津理数】在ABC中，若AB=13，BC=3,C120,则AC=（）（A)1（B)2(C）3（D）4【答案】A【剖析】由余弦定理得139AC23ACAC1，选A.4【.2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，学必求其心得，业必贵于专精则tanAtanBtanC的最小值是.【答案】8.【剖析】sinAsin(B+C)2si

11、nBsinCtanBtanC2tanBtanC,又tanB+tanC,因tanA=tanBtanC1-tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC8,即最小值为8.【2015高考天津，理13】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ABC的面积为315，bc2,cosA1,则a的值4为.【答案】8【剖析】因为0A，因此sinA1cos2A15，4115bc2又SABC2bcsinA8bc315,bc24,解方程组bc24得b6,c4，由余弦定理得a2b2c22bccosA6242264164，因此

12、a8。42015高考北京,理12】在ABC中，a4,b5，c6,则sin2AsinC【答案】1sin2A2sinAcosA2ab2c2a224253616【剖析】sinCsinCc26251bc6【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中,A=B=C=75，BC=2，则AB的取值范围是。【答案】（62,6+2）学必求其心得，业必贵于专精2015江苏高考，15】（本小题满分14分）在ABC中，已知AB2,AC3,A60。(1）求BC的长；2)求sin2C的值【答案】（1)7；（2）4732015高考湖南，理17】设ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，abtanA,且B为钝角

13、.学必求其心得，业必贵于专精（1)证明：BA2;（2）求sinAsinC的取值范围。【答案】（1)详看法析；（2）(2,9.28sinAasinA【剖析】(1）由abtanA及正弦定理，得cosAbsinB，sinBsin(A)sinBcosA，即2，又B为钝角，因此2A(,)BABA2，故2，即2；（2）由（1）知，C(AB)(2A2)22A0,A(0,4)，于是sinAsinCsinAsin(22A)sinAcos2A2sin2AsinA12(sinA1)29,0A，0sinA2,4842因此22(sinA1)299，由此可知sinAsinC的取值范围是(2,9.248828（2014湖北

14、卷）某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似知足函数关系:f(t）10错误!cos错误!tsin错误!t，t0，24)(1)求实验室这日的最大温差(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温?学必求其心得，业必贵于专精2014江西卷）已知函数f(x)sin（x）acos（x2)，其中aR,错误!。(1）当a2,错误!时，求f（x）在区间0,上的最大值与最小值；（2)若f错误!0，f(）1，求a，的值学必求其心得，业必贵于专精（2014四川卷）已知函数f(x）sin错误!。(1）求f（x）的单一递加区间;2）若是第二象限角，f错误!错误!cos错误!cos2，求

15、cossin的值【剖析】(1)因为函数ysinx的单一递加区间为错误!，kZ，由错误!2k3x错误!错误!2k，kZ，得错误!错误!x错误!错误!,kZ。因此,函数f（x)的单一递加区间为错误!，kZ。(2)由已知，得sin错误!错误!cos错误!(cos2sin2）,因此sincos错误!cossin错误!错误!错误!(cos2sin2），即sincos错误!(cossin）2（sincos）学必求其心得，业必贵于专精当sincos0时,由是第二象限角，得错误!2k，kZ，此时，cossin2。当sincos0时，(cossin）2错误!。由是第二象限角，得cossin0,此时cossin错

16、误!.综上所述，cossin错误!或错误!.1.在ABC中，sinA=sinB是ABC为等腰三角形的)A.充分不用要条件B.必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不用要条件2.在ABC中,若A=3，B=4,BC=32，则AC=（)A.23B.3C。23D.45【剖析】选C.由正弦定理可得:sinABC=sinBAC，BCsinB32sin=2.433.在ABC中，若a2+b2c2，则ABC的形状是（）A。锐角三角形B。直角三角形学必求其心得，业必贵于专精C.钝角三角形D。不能够确定222【剖析】选C.由余弦定理:a+b2abcosC=c，因为a2+b2c2，因此2abcosC0,因此C为钝角

17、，ABC是钝角三角形.4.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,且cc-ba=sinC+sinBsinA，则B=(）A.6B。4C。3D。345.在ABC中,角A，B,C所对的边长分别为a，b，c。若C=120，c=2a,则（）A.abB。abC。a=bD.a与b的大小关系不能够确定【剖析】选A。由余弦定理得2a2=a2+b22abcos120，b2+aba2=0，即(ba)2+1=0，=-1+251，故ba。6。在ABC中,内角A,B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A.257B.257C。257D。2524学必求其心得，业必贵于专精【剖析】

18、选A。由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理及8b=5c得cosB=sinC2sinB=c2b=，因此2cosC=cos2B=2cosB-1=24(5)21=257。7.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b，c，若B=A+3，b=2aB=(A。6B.4C.3D。2【剖析】选D.由正弦定理及b=2a得sinB=2sinA，由B=A+3，则sin(A+3)=2sinA，sinA+23cosA=2sinA,3sinA=3cosA，tanA=33，0A,即有A=6，B=6+3=2.8.如图，在ABC中,已知点D在BC边上，ADAC，22,AB=32，AD=3，则BD的长

19、为.sinBAC=3【答案】3学必求其心得，业必贵于专精9。在ABC中,C=90，M是BC的中点.若sinBAM=，则sinBAC=。【答案】36【剖析】设AC=b，AB=c，BC=a，在ABM中由正弦定理得1sin2aBAM=sincBMA,因为sinBMA=sinAC，CMA=AM又AC=b=2a2212232,c-，AM=b+4a=c-4a22因此sinc-a.BMA=322c-4a12ac又由得1=c2-a2,3232c-4a两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0，因此2c23a2=0，因此sinBAC=6.310.在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=.学必求

20、其心得，业必贵于专精【答案】3611。在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2Csin2B=3sinAsinC，则B=。【答案】6【剖析】在ABC中，因为sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC，因此利用正弦定理得:a2+c2b2=3ac，因此cosB=a2+c2ac2-b2=23，因此B=6.12.如图，在ABC中,B=45，D是BC边上的点,AD=5,AC=7，DC=3，则AB的长为。【答案】526学必求其心得，业必贵于专精13.ABC中，点D是BC上的点，AD均分BAC，BD=2DC.(1)求sinBsinC。(2)若BAC=60，求B

21、。【剖析】(1)如图，由正弦定理得：AD=sinBsinBD，BADAD=sinCsinDC，CAD因为AD均分BAC,BD=2DC,因此sinBsinC=BDDC=.2）因为C=180（BAC+B，）BAC=60，因此sinC=sin（BAC+B)=23cosB+sinB，由（1)知2sinB=sinC，因此tanB=33，即B=30。14。在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.1)求cosB的值.学必求其心得，业必贵于专精(2）若BABC=2,且b=22，求a和c的值。(2）由BABC=2，可得accosB=2，又cosB=，故ac=6，由b