工科数学分析曲线积分曲面

1、2008-4-1单连通区域上v Px, yz)i Qx, yz)j Rx, y2008-4-1单连通区域上v Px, yz)i Qx, yz)j Rx, yz)k是梯度向 x y P 证明：（充分性）构造函，验证知v i j (x, y) P(x,y,z)dx Q(x0, y,z)dy R(x0,y0, 证明：（充分性）构造函Q(x, y) P(x,y)dx (y) Q(x,y)dx (QxyQx0yy)，故Qx0y) y) y) Qx0，验证知v i (x, y) P(x, y)dx Q(x0,(x,y) P(x, y)dx (P(x,y) Q(x,梯度向量场(gradient field)

2、、位势函数(potential 设f (x)在点x可微，则 f , f 为函数f(x)在点x的梯度向量向量 x 简称梯度，记作gradf或f，即gradf f f x 反之，f 称为f 的一个例f(x,y,z) yi f(x,y,z) xi yj 例f(x,y,z) xi yj x2 y2 2008-4-2例求解常微dy f (x 方程构造变, 上述方程变形2008-4-2例求解常微dy f (x 方程构造变, 上述方程变形du 1 f u x dy p(x)y x p(tx p(ty y0 x0例求解常dy y x3，x0，未知函数y y(分方程1解：两边乘xe x x x y 1 x4 C

3、,x 例求解常微分方程：x2 1y2 1dx xydy 其中未知量y 两边除以y1x，得到 x1 y dxdy 0，两边积yx ：y1Ce 例求解常微分方程2xsin y 3x2ydx x3 x2cos y y2dy 其中未知函数为y yx3 x2cosy y2 2xsin y 3x2y解：注意到 由于P,Q在全平面连续，故取x0 , y0 ) (0构造位势函(x,y) 2xsin y 3x2ydx 由d 0计算得x2sin y x3y 1 y3 3例v y3i 3xy2jv 2xyzi x2zj x2yk v y4i 2xyj y3x x2yz2008-4-3r(t) x(t)i y(t)j

4、 z(t)k,(a t b)为一空间曲2008-4-3r(t) x(t)i y(t)j z(t)k,(a t b)为一空间曲线的参数化形式，从几何的观点看，此曲线由点 x(t)，y(t)，z(t) a t b组成考虑一个任意向量场Fx, z),并将其限制的空间曲线r上，即向量F x(t), y(t), 例求解常dy y2 分方程例求解常微分方程 dy y2 1 , ：z 1 代入方程得到y21z 1 2 x得到通y x1tgC 1lnx例求解常微分方程： y方程两边乘以x,并构造变,方程变形du 2uuCe2x x2 x 2u 例求解常微分方程dy x x 解：构造变，上述方程变1u du 1

5、dx, 1 u2故得到通arctg x2 y2 y 例xy2 sin求解常微分方2构造变, 上述方程变形dvxvsinx v 2008-4-4例：箕舌线(Witch of 引一条过原点及点P的直线，其中P是圆心为(0, a) 半径为a的圆上的任意一点，求此直线与水平线y 2a的交点Q，从Q引一条垂线和过点P的水平线相2008-4-4例：箕舌线(Witch of 引一条过原点及点P的直线，其中P是圆心为(0, a) 半径为a的圆上的任意一点，求此直线与水平线y 2a的交点Q，从Q引一条垂线和过点P的水平线相交，这些交点的集合即witch of Agnesir(t) (2atant,2acos验证

6、星形线公式可以(acost,asint),0t 即x y a例：星形线(The 让半径为a的圆在半径为a的圆内滚动，设开始小圆在(a,0)点与大圆 弧长，t是大圆圆心到新接触点的连线与x轴正向的角度，是小圆过的角度（以接触点测量），得到s at,且s a ,故 4t,小圆相4于圆心的坐标为a s3t a sin3t小圆圆心移动到3a cost3a s 因而相对原点接触点移动 cos3t cost, sin3t s 考虑以下形式的摆线：x( y() Aa( sinB a(1cos质量的粒子在摆线上的(x , y)点以点对应于参数表示中的角度t，在重力作用下（假设无摩擦），证明对任何选定的初始角度

7、t 粒子总是经过时间T a (其中g为重g度）就滑到摆线的底端( vy 提示： gy y), y x 11 1 T y a 1cos a 2cos g cos cos d g 2arcsin 1假设一个半径为a的圆放在x轴上并与(0, 0)点接触，现让它沿x轴正方x ats 滚动，与x轴接触点的轨迹y a1cost触点连的r(t) x(t)i y(t)j r(t t)切向量：r(t) lim 切线方程：X(u) r(t) 2008-4-5正则曲线(regularcurve)、正则点、奇点、光滑曲如果r(t) 0, 称t是曲线的一个正则点，如果r(t) 0, 2008-4-5正则曲线(regul

8、arcurve)、正则点、奇点、光滑曲如果r(t) 0, 称t是曲线的一个正则点，如果r(t) 0, 称rt是曲线的一个奇点。如果曲线全部由正则点组成，称曲线为正则曲线，如果正则曲线切向量的三个分量都是连续函数，则称曲线为光滑曲线。r(t) (acost,as ,bt),r(t) r(t) (t,t例1 求圆r r(acosasin)的切向量，0，22 证明螺线(a costas , bt)在每一点的切向量与z轴夹成定角y c2 c2 c c2 x dy c2 y2 c追逐线(A pursuit 假设敌机从(0, 0)点起飞，且以v的恒定速度沿y轴飞升从(a, 点发射，速度是常速v在热探测器控

9、制下追击敌机的击线由如下微分方程给出y xy v1 yv提示：由y vt y 有y v t 两边对x微分并利用x2 y2 v2i 悬链线(The 假设悬悬挂，只考虑自身重量，此时曲线的形状y1 cosha(xC)C :V(xx)V(x) 提示，V、H为张力的垂直分量和水平分量 H(xx)H长细线所受重力。由中值定理并令x 0得到V (x) s利用y(x) V(H(x)y(x)V(x) ds 1得H(y 1(y)a 1(y(x)y,y(x) H(x) 例：螺旋线(The r(t) (acost,as ,r(t) a2 b2 r(t) acost,as ,2008-4-6 r(s) 定义曲线切向量

10、：T(s) 例x acos2008-4-6 r(s) 定义曲线切向量：T(s) 例x acost,y as ,z 2 la2 sin2 ta2 cos2 tc2dt2 a2 00t yx y x a,aby2 a2 sin2 t b2 cos2 0 a b cos a2 /2 4a1 a2 cos tdt 1 cos 0a2 其中= 为椭圆离心a例xa(ts y a(1cosa2(1cost)2 a2 sin2 tdt 0光滑曲线的弧长(arc r(t) x(t)i y(t)j z(t)ka t b,设x(t), y(tz(t)在ab上有连续导limx()y()z()t x(t)y(t)z(t

11、)记tab,设s(t) r(t则s(t)是曲线C从a到t的弧长ds r(t)特别，以弧长为参r(s) =1 ds2 dx2 dy2 2008-4-7主法向量(principal normal vector)、次法向量(binormal)曲线的主法向量，N(s)= 次法向量:B(s)=T(s) r(s); T(s), 2008-4-7主法向量(principal normal vector)、次法向量(binormal)曲线的主法向量，N(s)= 次法向量:B(s)=T(s) r(s); T(s), N(s), B(s)，称为曲线在该点的Frenet例求抛物线y x2在原点的曲率在平面曲线的0的

12、点P的曲率圆（或密切圆）是曲线所在平面上在点P切于曲在点P和曲线有相同的曲位于曲线凹的一侧或内主法向量(principal normal N(s)= T(s) 1 T(s)T(s) T(s) T(s),故T(s)为曲线的一个法向量，如(s) 0,则向量Ts)有完全确定的方向，将这个方向的向量记作N(s)，其为曲线的主法向量N(s)= dT/ds dT/dt ,这里T v ,v ds dT/dsvdT/例直线的曲率是半径为a的圆周的曲率为a1 r(t)=(a,2 r(t)(acost,as ),v dr as ,acosv= as acostT v s ,cost,dT (cost,s (s)

13、a1vv2sin T(s) = r(s) lim T(s+s) T(s) lim lim 定义曲率：(s) (s)= T(s) dT dt dt 1，这里v , T vv1ds/2008-4-8(t)r(t)v(t) 2008-4-8(t)r(t)v(t) T r(t) r(t)T r(t) r(t)T r(t dT ds T r(t)2ds r(t)r(t) r(t)3 (t)TN r(t)3 x y x y z x y vvr(t)rC的渐伸线，同时称C是C的渐缩线dv ddsa dt dt2 T dt T v2 dv d ds d2s dT ds dtT dt T dt 2 dt2 ds

14、 dt 2 dt2 dtdtv法平面(normalplane)、从切平面(rectifyingplane)、密切平面(osculating plane)以T为法向量的平面称为曲线的法平面，以N为法向量的平面称为曲线的从切平面，以B为法向量的平面称为曲线的密切平面法平面：X r(s)T(s) 从切平面：X r(s)N(s) 密切平面：X r(s)B(s) 挠率挠曲线的切向量(s)和主法向量N(s唯一地确定了曲线的第二个法向量（次法向量）,(s为向量，故(s) (s直接计算得到(s)(s)N(s)(s)N(s)=(s)N(s，故B(s) T(s)，于记B(s)= (s)N(s),(s) = B(s

15、)B(s)=T(s) 例r(t) (cos,t),r(t) r(t) (cost,s ,t),v dr s ,cosv= s cost1 T v 1 s ,cos2(s) 1 1vv2008-4-9设区域D 3,光滑曲线 D,函数f : D 连续，设有向量参2008-4-9设区域D 3,光滑曲线 D,函数f : D 连续，设有向量参表示r r(tta,b,那么f pds= f Dr(t) r(t) 第一型曲线积分( egral)设D 3是一个区域，函数f : D ,可求长曲线 D,其两个端点分别记作AB在上依次取一点列pii 0,1,n,使得p0 =A, p B称p为的第i段线段，令s spq

16、p,即的第i段曲线的pp 如果极于点 在p 的选择，那么把这个极限值记或f x, y, zds称之为f 在曲线上的第一型曲线积f plim f i设r = r(s)和r = r (s)是R3中两条以弧长s为参数的正则参数曲线，如果它们的曲率处处不为零 ，并且它们的曲率和挠率分别相等，则有R3中的一个刚体运动 ,它把曲线r = r(s)变为曲线r = r(s)设 (s), (s)是在区间a, b上任意给定的两个可微函数，且 (s) 则在空间R3中存在正则曲线r = r(s)，a s b,以s为弧长参数，以给定的函数(s)， (s)为它的曲率和挠率，且这样的曲线在空间R3中是完全r(s) T(s)

17、 0 T(s)N(s) (s) N(s)B(s) 例xyz求曲线在(0, 0,1)处的曲率和Frenet标xy1 1 方法一：参数方程r(t) cost, s cost2 2 x2 s y2 s z2 s x2 sy2s x,微分法二： xsyszs(0) 5，T(0) (0,1,0),N(0) 2 5 , 5 5 ,0 5 5 2 5B(0) 5 例求螺旋线的曲率和挠率r(t)(acost,a,bt),r(t) , a2 a2 2008-4-质量为m的质点对于某一个轴的静力矩等于m与乘积对于2008-4-质量为m的质点对于某一个轴的静力矩等于m与乘积对于x轴的静力：dMyds对于y轴的静力矩

18、：dMxds重心坐：, S M 例计算曲线ylnx在有横坐标x1及x2两点间这一段的质量，假设曲线每1m x ds 1x21x13例计算第一型曲线积分 yds,C为抛物线y2 2x上介于(22)与(22) x y+zdxy 1dy 例将f(xyz)=x y z2在下列从(0,0,0)到(1,1,1)的所给路径上积1 C：r(t) tit2j,0t1，C :r(t)ijtk,0t2 C1：r(t)tk,C2 :r(t)tjk,0t1，C3 :r(t)tijk,0t例x acos计算第一型曲线积分 ds,线 x 为圆柱螺 y as , t 02 z x b ab a 8b ab3a 例xacos计

19、算第一型曲线积分 x2 y2 +z2ds,C为圆柱螺线 y as t02的一段 x y+z akt ak2008-4-力F FxFy ds的方向（即曲线在点M的切线方2008-4-力F FxFy ds的方向（即曲线在点M的切线方向）与x轴的夹角为Fds=Fx,Fy cosds，sin =Fx cosdsFy sin Fxdx 设区域D 3,光滑曲线 D,F:D3连续，设是一条有向的光滑曲线，它具有参数向量方程r r(t), t a, b,并且参数t的增对应着的定向，那Fpdp= f Dr(t)设D3是一个区域， FD 3,可求长曲线 D,其两个端点分别记作AB,在上依从A到B的方向顺次取一点列

20、pii0,1,2,n,使得p =Ap B称p为的第i段线段，令p p p ,即的第i曲线的弧长，在pp 任取一点 ,如果极是一个限数，并且不依赖于点 在pp 的选择，那么就把这极限值记称之为f 在曲线上的第二曲线积如果p x, yzF=(P,QR),Fpdp=PdxQdy Fplim Fi 例计算 xyds其中为球面x2 y2 z2 a2与平面x y z 0 x a 6 cos 2 sin y a 6cos z a 6 cos 2 sinds ad, xyds 1r r() aecos esin, 0,2e(1,2,1),e 1,0,1,e例x设椭圆柱面 1被平面z y与z 0所截，求位于第一

21、 内所截下部分的侧面 yds,其中C参数方程x 5costy 3s , 0 t 例设有一半圆形金属丝，质量均匀分布，求它的质心和对直径的转动关于x轴的静力矩:Mx 质心纵坐标y M金属丝对直径（即x轴）的转动Ix= y2008-4-例设Fx, yz) 2xyi x2j k，比较曲线积分2008-4-例设Fx, yz) 2xyi x2j k，比较曲线积分 Fdr, (t)=(t,t ,t ),0 t 3 Fdr, (t)=t,sin 5 t,t,0 t 假设点A, B固定，曲线积分 Fdr是否依赖于联结A和B的路径例计算1xdx ydy2zdx xdy 其中为球面x yza与平面x yz0交成的

22、圆周,从x acos sin y acos z acos sin e 1 (1,2,1),e 1 1,0,1 ,e 例例计算 yzdx xzdy2zdz,其中C是螺旋线x acost, y as , z 上对应于从t0到t的有向计算 6xydx10 xdy其中C是曲线y x从点(2,8)到(1,1)的一例质量的理想气体吸收的热量（内能的变化记），de cVdT ApdV ,其中cV为固定体积下气体的热容量，A为热功当量, 利用理想气体状态方得到pdV Vdp RdT，从而dT 1 pdV Vdp，Rcc ARccpde VVdp pdV VVdp pdV,其中c为固定压力下气体的热容，质量的内

23、能变化为如果过程是绝cVdp cpdV 的，则故pVk ck ce cVdp cpV2008-4-例设流体的速度场u xi zj yk,求沿螺线r(t2008-4-例设流体的速度场u xi zj yk,求沿螺线r(t costi s jtk0 t 2的流 解：流量=uTds=udt 2 求场ux y)i xj绕圆r(tcostis j0 t 2的环流解：环流量= FTds= F dt dt 如果r(t)为速度场速度场F的定义域内的一条光滑曲线C，则曲线从t 到t b的流量是如果曲线是闭曲线，此流量又称为沿曲线的环流量=FTds F例设r(t) (cos(t),),0 t 2,曲线方向如图，计v

24、r yzdxxzdy解：位势函数:x, yz) 闭曲线（close 如果曲线r(t)在区间atb是一条闭曲线，即r(a)r(b),那么它的线，则 F dr=0(1 , 2 2xsin(x2y)dx x2sin(x2解：位势函数x, y) cosx2 如果F是梯度向量场，则曲线积分 F dr与联结点A和B的光滑路r无证明：Fdr=dr= dx dy dzr b dx dy dza x y z dt ba dx(t),y(t),z(t)dt r(b)2008-4-rotFk=lim vF向量场F Pxy2008-4-rotFk=lim vF向量场F Pxy)iQxy)j在点xy)处的散度底：Fxy

25、jx Qx, 顶：F(x,y+y)jx Q(x, 右：Fx+xyiy Px+x, 左：Fxyiy Px上下边相加：Qx, y+y)x Qx, y)x y P 左右边相加：P(x+x,y)yP(x,y)y x y x 穿过矩形边界的通量 P 上两式相加并除以xy 矩形面x divF P x G是2的一开区域，F(M)在G内有定义，设M G，任取一光滑封闭线CG,C包围的区域为S(面积也记为S），S包含M0且SG，当区域S缩n为C的外法向量存在，它与C的F取无关，称此极限为向量场F在M点的散度，记divF(M lim lim F例Fx yi xj,求穿过xy平面内圆x2y2 1的流 Fnds Pd

26、yQdx 如果C为向量场F (P(x, y),Q(x, y)的定义域内的一条光滑曲线，n为曲线 假定曲线以逆时针方向运行，此nTk dxi dy jk dyi dx j,如果F Pxy)iQxy)j那ds Fn=P(x,y)dy Q(x,y)故F ds PdyQ F例设Fxyzx2 y2i xyj，计算 F Fdr= x2 y2dx2008-4-vxi0jf(xx, y) f(x,y2008-4-vxi0jf(xx, y) f(x,y)k xi f w0iyjf(xx,y y) f (xx, y)yi f vw x 0 0 y f 2 f vw 1 x y 例用Green公式计算椭圆 x2 y

27、2 1的面a2 r (acost,bs Sv xdy abcos2 tdtvPdx P(x,g1(x)dxP(x,g2 P(x,g2(x) P(x,g1(x) P dy y Pv Qdy Q设2是由有限条分段光滑的曲线所围成的闭区域，场F Pi如果函数Pxy)和Qxy)在上连续并有连续的偏导数，那么就有通量散度形其中为区域的边界其定向这样确：沿着正向行时，区域左手侧。： Fnds PdyQdx P Q x y ： FTds PdxQdy Q P x y F Px, y)i Qxy)j在点x, y)处的旋度的k 分量底：F(x, y)ix P(x, (x x,y 顶：F(x, y y)ix P(

28、x, 右：Fx+x, y jy Qx+x, 左：Fxyjy Qx, P 上下边相加：-P(x, y y)x P(x, y)x y 左右边相加：Qx+x, y)y Qx, y)y Q x 绕矩形的环量 Q P 上两式相加并除以矩形面x rotFk=Q x 2008-4-曲面S：r r(uv)是正则参数曲面，对于任意点(u0v0 D,因rr2008-4-曲面S：r r(uv)是正则参数曲面，对于任意点(u0v0 D,因rr(y,z),(z,x),(x, y) (u,v) (u,v) (u,v) 不妨设(x, 0，故由反函数定理知存在点(u ,v )在D内 u,0 邻域U，使得函数x x(u,v)，

29、y y(u,v)在U上有反函数u u(x, y), v v(x, y),此,则曲面S的参数方成,于是区域U与S 之间的点的一一对应是uxyvx, y) x, yzxy)给出的r x,y,z(x, ，z z(u,v) z(u(x,y),v(x,曲面S在点p(uv)的两个切向量r (u ,v ) ,r (u ,v ) ，则曲面S在点p(u, v)是正则规定向量rr所指的一侧为曲面的正侧，因此参数u, v的次决定了正则参数曲面的定rS:D3，若在2和3中分别建立了直角坐标系，用(u,v)记2中点的坐标，用x, y, z)记3中点的坐标，则参数曲面S的方程可以表示 y y(u,v),u,vz或者写成参

30、数形式r r(u, x(u,v), y(u,v),z(u,例计算半径为R的球的表面面解：z fxy R2 x2 面积S 1 x 2R x 2Rx y R R x 2R drd 4R例求平面x2y6z 12在椭圆柱面x y的那一块的面25 解：z fxy 112x26f f 面积S 1 y 41 5 41dxdy f 2 f 面积S 1 xy2008-4-r(ucosv,usinv,av)2008-4-r(ucosv,usinv,av) r (utanhu,sechvcosv,sechusinr (Rrcosu)cosv,(R rcosu)sinv,rsinr coshucosv,coshusi

31、nv,旋转面(surface of 假定C是坐标平面Oxz上的一条曲线 它的参y 0 , a v 并设f (v) 0 则它绕z轴旋转一周所得r r(u,v) f (v)cosu, f (v)sinu,上把u-曲线称为纬线，v -曲线称为x2 y2 x y z r (acosu,asinu,r (acoscos,acossin,asin正则曲面（regular 设S是的一个子集，如果对于任意一点pS,必须存在点p在中的一个邻域V ，以及中的一个区域U，使得在U和V S之间能够建立一一的双向都连续的对应，并且该对应r:U V S 本身是一个正则参数曲面，则称S是中的一张正则曲面注：直观上正则曲面是

32、把一片片正则参数曲面粘起来的例球面方程：x2 y2 z2 上半球面的参数方程：z a2 x2 y2x2 y2 下半球面的参数方程：z a2 x2 y2x2 y2 2008-4-II=d2rn drdn其中LruunM2008-4-II=d2rn drdn其中LruunM ruvnN rvvr(u0 u,v0 v)r(u0,v0r u r v 1r ( u)2 2r u v r ( v)22 o(u)2 (v)2 (u,v) r(u0 u,v0 v)r(u0,v0)=1L(u)22MuvN(v)2 o(u)2 (v)2 L(du)2 2Mdudv N dudu dv弧长：L a r(t) dt

33、a E dt 2F dt dt G dt 面积：S D ru(uvrv(uv) r(u,v) r(u,v)sinr,r面 其中F(uvr (uvr (uG(u,v) (u,v) (u,S EGFdr(u,v) ru(u,v)du rv(u,E(u,v)ru(u,v)ru(u,v)F(u,v) ru(u,v)rv(u,v) rv(u,v)ru(u,G(u,v)rv(u,v)rv(u,v)表示切向量dr的长度的平dr = Edu2FdudvGcosr ,r rr u r I dr(u,v)dr(u,v) du,dvE FduF Gdv 曲面S上经过p点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面S

34、在点p的切向量。切平面参数方程：X r u,v ru,v du ru,v dv法线：n(uv) r(uvr(u法线参数方程：X(t) r(uv) tn(uX(,) r(u,v)r(u,v) r(u,dr(u,v) r(u,v)du r(u,例 =light2,orien ion=-74,71)直纹面(ruled 曲线r=a(u)称为直纹面的准线，而v 曲线称为直纹面的直母x y zx y4 9 4 r r(u,v)a(u)2008-4-Christoffel记号： g , 1 g g g 2 u 2008-4-Christoffel记号： g , 1 g g g 2 u 的几何意义是向量r 用

35、自然标架分解时在切向量r 上的分量，的几何意义是向量r 在切向量r 上的正交投影 u r r b n b r(u1,u2 ,r r(u ,u ),r u, 1,dr dr(u1,u2) r(u1,u2)du r(u1,u2)du,g rrbrnrnrngdetg ,bdetb ,g :g,gg r r C n Dr D C ,D b g b,D g , 1g gg2 u u IIbI gr;r,r, 平均曲率为零的曲面称为极曲面M x x(uvy y(uvz f (uv)是极小曲面1 f2f (1 f2)f u u v 曲面上曲线的法曲率(normalcurvature)、曲面的主曲率 (pr

36、incipal curvatures)、平均曲率(mean curvature)、Gauss曲曲面S的参数方程为r r(uv)，其上的曲线C用参数方程u u(sv 表示，s为曲线弧长参数切向量为T，定义曲面上曲线的法曲率正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率取最大值和最小值的方向称为曲面在该点的主方向，相应的法曲率1,2称为曲面在该点的主曲率。H 1 2 1 LG 2MF NE 称为曲面的平均曲率EG FLN MK12 称为曲面的Gauss曲率，或EGFdu du dv dvn ds n L ds 2M ds ds N ds I平面ruv0n 0Idrdr du2 dv2 ,IId2rn圆柱面

37、r (acosuasin u r (sin u ,cos u ,0),r (0,0,1),r r (cosu ,sin u ,0) r ( 1cosu, 1sin u,0),r r a I dudv,II 1 a2008-4-例计算半径为a的球的表面面x y z r2008-4-例计算半径为a的球的表面面x y z r (acoscos,acossin,asin , 2 S EGFdd 4a假定曲线CSnDS连通区域，则g是曲线CKS的us曲率，曲线C在角点s s的外角。3 nDgdsDKd 2 i曲面S上一条曲线是测地线当且仅当它或者是一条直线或者它的主法向量处处是曲面的法向量.C是曲面S上

38、的一条曲线，则的弧长在它的任意一个有固定端点的变分C中达到临界值的充分必要条件是曲线C是曲面S上的测地线。 0 d u (s) du (s) du (s) 0， (geodesiccurature)，测地挠率、测地线 e(s) (s) (s)e (s) e(s) (s) e e(s) n(s) g0 e3(s) n e1e3 n,曲面沿曲线切方向的法曲率测地曲率： re2 n,r,测地挠率：g e2nn的曲线称为曲面S是定义在D E2上的两个二次微分形b b b 如果满足Gauss-b b b b , 则在任方程 b b b b 一点u1u2 D必有它的一个邻域U D,以及在空间E3中定义在该

39、 邻域U上的一个正则参数曲面S : r r(u1,u2u1,u2)U,使得它的第一基本形式和第二基本形式分别是和，并且在E3中任意两块满足上述条件的曲面必定能够在E3的一个刚体运动下彼此重合。 gdudu, b设1,2D若在每一点u1,u2D曲面S ,S都有相同的第一基本形式1 和第二基本形式，则曲面S1,S2是彼此重合的。2008-4-例计算积分 x y zdS为上半球面x2 y2 z2 2008-4-例计算积分 x y zdS为上半球面x2 y2 z2 a2z f 2 f x yd 1dxdy 1dxdy x y z z x y zd xd yd zd dxdy a设S 3是一张可求面积的

40、曲面，函数f : S ,分划把S分成若干更小的曲面片, ,定义分划的宽度为 maxdiam,i 在每小片上取一点pk，如果lim f pk 是一个有限数，并如果曲面是正则区面，参数 fpd= f Drru(u,v)rv(u,v) 选择，那 f p 1 面积S 1x2y2dxdy r 1r2dr1R2 6 2 S 2ab1c23 用极坐标表示的柱面的准线方程为r2 a2sin2S 2a210 3 3 2 4 S 4R(R R2 2 例求下列各个被割下的曲面部分的面双曲抛物面z xy被柱面x y Rxy0)所椭圆抛物面z xy被柱面xyc所2a a双曲抛物面xy az被柱面x y2axy所4 球面

41、x y z R被柱面x y ( R)所例求曲线y f x)( f x) 0a x b)绕xz2 y2 f 2f f S 21x 2f(x) 1f(x)例球面x2 y2z2a2被柱面x2 y2 ax所截，求截下的曲面面 将球面坐标系y rsinsin 柱面方程得到sin cos sin 2 2 2D,0, /S 4 a2sindd 4a22a2 2008-4-对于正则参数区面：r r(uv)，u,v D此时曲面的法向量n(uv2008-4-对于正则参数区面：r r(uv)，u,v D此时曲面的法向量n(uv ru(uvrv(uv，ru(u,v)rv(u, FPDr QDr RD FDrru(u,

42、v)rv(u,v)dudv zu 特别，当曲面S表示为：z fxy)时，代入上式 PdydzQdzdxRdxdy f Pf QRdxdy,其正负 向量与z轴的正向夹成锐角，因此cos 0,此时取正号。d=nd ru (u,v) rv(u,v)如果F (P,QR),指定S一侧的法向量为ncoscoscos ,为n的方向角，即分别为n与x, y, z轴的正向的夹角， Fnd= Pcos Qcos Rcos = Pdydz Qdzdx 分别表示面元d 在yz, zx, xy平面上的投影，这个投影的面积可正可负，全看d 上的法向量与x轴，yz轴正向的夹角是小于 还是大于 而dydz cosd,dzdx

43、 cosd,dxdy cosFnd F如果在正则曲面的每一点的邻域内都能选定一个正则参数表示，使得在邻域 的部分其任意两组参数的变换都保持定向不变，则称这样的正则曲面是可定向的对于正则参数曲面：r r(uv)，因为ru rv 0定向的，定义 法向量 rrru正方向指向的一侧叫做曲面的正侧，相反的那一侧叫做负侧，凡是能明确地区分正 负两侧的曲面，叫做双侧曲面例设半径为R的球面上均匀分布着某种质量，计算其产生r Rsincos,Rsinsin,Rcos,0 ,0 rrRsin,引力在z轴上的分GR2(Rcos l)Fz d=2x2 y2 zl R2 l2 2lRcos G4G2 1 Rl1 ,l

44、l2 R 0,l例计算积分 x2dS为球面x2 y2 z2 a2z S x2d 1 x2 y2 z23 1 a2d 4 3 2008-4-例设有流速场x, y0),曲面S是z 1 x2 y2，求流速场流入S的流z2008-4-例设有流速场x, y0),曲面S是z 1 x2 y2，求流速场流入S的流z1x2 y2 f xy)为曲面的方程，因f 2x f 2, FndS 2x2 y2dxdy x2 y2例设有流速场xy0),曲面S是半球面x2 y2 z2 1z0，求z 1x2 y2 f (x, y)为半球面的方程，因f 1 2 21 f1 2 ,x 1x2 y2 1x2 S FndS=xy12 2

45、 dxdy 1 x 1x y 例设有流速场yzzxxy),曲面S是圆柱体x ya,0 z h的表面，求记圆柱面的那部分为S1,下底和上底分别为S2 , Fnd (yz,zx,xy) x , y ,0d a a Fnd (0,0,xy)0,0,1d Fnd (hy,hx,xy)0,0,1d 求F yzizk穿出曲面S的通量，S为柱面yz1，z0被平面截下n yj+zk,Fnd 例曲面S是中心在原半径为a的球面，正向为外法线方向，计算积分 xdydzS xdydz ydzdx (x,y,z) x, y , z a a a例 xdydz ydzdxzdxdyS是三角形xyz 0 x yz 1,法向与

46、(1,1,1)同方 zdxdy (1x (1xy)dydx xdydz 2008-4-给定一向量场F，给定双侧曲面S,指定一侧n,向量场沿曲面S第二型曲面积分SFdS S FndS2008-4-给定一向量场F，给定双侧曲面S,指定一侧n,向量场沿曲面S第二型曲面积分SFdS S FndS=S Pcos Qcos Rcos称为向量场通过曲面S的通场如果空间中或空间中部分区域内任一点都有一物理量与之对应，称这种物理量的分布为场，如果物理量是向量，则称此场为向量场，如果物理量是数量，则称此场为数量场。不论是数量场还是向量场都有两类一类是不随时间而变化的，称为稳定场，另一类是随时间而变化的，称为不稳定

47、场场的图形表示 数量场的等值线或等值面，向量场的例双侧曲面S两侧均匀分布正 负电荷，求带电面在A(, )点所产生的双层位势W (, ) r n S其中S具有指定侧，rr=(x)iyjz 当A为原点时W(0,0,0) rn dS 1 dS 当A为无穷远点时lim W(,) rn cos(rn)dS 例xyabc曲面S是椭球+ =1的外侧，计x dydz y dzdxz x acos 椭球参数表示y bcossin D ,0 2 2z cr (acossin,bsinsin,ccosr (asin cos,bcos cos,n r r ABC),其中C absincos,由于S是外侧， z3dxd

48、y= z3cosdS c3sin3absin cosdxdy 4同理 x3dydz y3dzdx z3dxdy4abca2 b2 c2例设有流速场(x2, 2xz, y),曲面S为边长为1的正方体，求流速场流出S的流SSSSSSS，其中S：z0S：z1,S：yS2：y 1S5：x 0S6：x 1,因F=Fn1dSFn2dS Fn3dSFn4dSFF=ydxdyydxdy2xzdxdz0例设有流速场( x, y, 0),曲面S半径为1的球面，求流速场流出S的流SS(S(，其中S(由函数z 1x2 y2给出，S(由函z 1x2y2给出，因FndS=FndS F 1x2 1x2 y2 + 1x2 y

49、2 1x2 y2 dxdy 2008-4-引入角速度矢量，与转动轴重合，指向与旋转方向作成右手系的方向， =，在轴上选定一点,刚体上任一点A，A点速度v可以JJJG表示为v 2008-4-引入角速度矢量，与转动轴重合，指向与旋转方向作成右手系的方向， =，在轴上选定一点,刚体上任一点A，A点速度v可以JJJG表示为v O引入速度场的环量vFdl与方向旋lim vFdl，研究它们与转轴与角速度的关系例S为分片光滑的双侧闭曲面，求带电面S在A(, )点所产生的双层位W(, rn S其中r=x)iy jzk，n为外法向3 当A在S所围区域内：W(, 1 x)dydzydzdxz 记F P,QR 1

50、x iyjzk,则 F , xyz , r，记与S所围区域为V , divFdV W 1 (x)dydzydzdxzdxdy 其中 取外法向量，故W(x)dydzydzdxz= x)dydzydzdxz dxdy=4,当A在V外时，W 例 xdydz ydzdx z 2(x y 8R3(abc) 设V是欧式空间的有界区域，V的边界时有界（分片）光滑曲面V,如果F是V中的光滑向量场，则其通过区域边界的通量，等于此场的散度在该区域的积分，即 divFdV F设F是G内的C1向量场，如果F在M点散度存在divF(M) P(M) Q(M) R(M设G是3的一开区域，F(M )在G内有定义，设M G，任

51、取一分光滑封闭曲面S G, S包围的区域为V (体积也记为V），V 包含M0 ，n为S的外法向量SF作divF(M ) lim Flim F 2008-4-例位置向量场F xi yj zk对任何圆盘是否有自旋rotF 2008-4-例位置向量场F xi yj zk对任何圆盘是否有自旋rotF x y 例已知自旋向量场为Fyixj，计算一圆盘（面积为1）放xy 平面的原点时的旋spin= Fn k y 注1取好自一已知点出发的任一方向,在与一以闭路为边界的平面块S围起来，则rotF= mvFl2、设F P,Q, R 是G内C1向量场，M是G内一点，F在M点绕x轴y轴、z轴的方向旋量为hxhyhz

52、,则向量场F在M点的旋度为rotF()h ih jh k x y rotF()hxihyj若在场F(M中一点M处存在这样一个向量，其方向为使得F在点M方向旋量最大的方向，其模等于方向旋量的最大值，则称此向量为场F在点M的旋度，记作rotF或curlF设向量场F是G内C向量场，C是G内一条分段光滑封闭曲线取定C为某一定向，称线积分vF dl为向量场F沿C的环量设M 0为G内任意点，n是任意指定的一个方向，过M 0作一个平面，法线方向为n, 在上取一围绕M 0点的段光滑封闭曲线C，C的正向取与n成右手系，如果FC的环量与C所包围的平面区域的面积S之比vFS取无关，则称此极限为向量场在M 0 例在旋

53、转轴上任取一点O,过O作一平面垂直旋转轴，在此平面上作小圆，引入v沿C的线积分vvdl rrd 2r2，此积分与C所包区域的面积之比h vvdl 过O点作一平面对于任一方向n，可引入方向旋量h vv有不等式0 h 转动角速度矢量的方向是方向旋量hn取最大时n的方向，2 是最大2008-4-1、齐次线性微分方程组的解的线性组合还是它2、令齐次线性微分方程组在(a,b)区间上的所有解组成的集合为S,则S是n维线性空间其中2008-4-1、齐次线性微分方程组的解的线性组合还是它2、令齐次线性微分方程组在(a,b)区间上的所有解组成的集合为S,则S是n维线性空间其中aijx)和fix)在区间a xb上

54、连向量dy Ax)yfdy aij(x)yj fi(x)，i 1,例计算曲线积分y2 z2dxz2 x2dyx2 y2x2y2z2 l为曲线,z 0,0b a,眼睛从点(b,0,0)看去 是逆时针方向绕(y z)dx (z x)dy (x yx 1 a y zz xx z z 2z ydS 2zdS 2z 1x y dxdy 2 例设有向曲面S为x y z 1xyz0,其法线与(1,1,1)同向，求力F y2z2x2绕S的正向边界S一周所做的S向量n 1 3 Fdl 1 dS 3 x y 注cos(n,x) cos(n,y) cos(n, PdxQdy Rdz 设S是3在S及S其中SSS Fd

55、l S rotF2008-4-例d y 1 1 y 1 2008-4-例d y 1 1 y 1 的一个基解矩阵，并求其通解，其中x dx y 0 x yy y ex (x1) 解，(x) ,det(x) y2 x yex x通解： c c 0 x 非齐次线性微分方程组的通解表达式设(x)dy A(x)y的一个基解矩阵，1、非齐次线性方dy A(x)y f(x)的通其中c为任意常数列向2Ay+f(x)y (x)1(x )y (x) 1(s)f0 y(x)(x)cx 1(s)f如果x)dy Ax)y的一个基解矩阵，构造特解 得x)c(x) fx),c(x) 1x)fx),从而cx) 1(s)f(s

56、)ds,(x) (x) 1(s)f(x) (x)c(如果(x)是dy A(x)y的一个基解矩阵，(x)是dy A(x)y+f(x) 的一个特dy A(x)y + f(x)的任意解可以表示，其中c是一个常数列向y(x) (x)c( y11(x) y1n(x)对于解组y (x) # ,y (x) ， y (x) y (x) Y(x) y (为方程组dy A(x)y+f(x)dY(x) dyij (x) 计算知 dx dx kaij(x) yij( A(x)Y(如果上述解组为基本解组，则称相应的解矩阵基解矩称齐次线性微分方程组的n个线性无关的解为一基本解2008-4-例0 A0 计算 a n 200

57、8-4-例0 A0 计算 a n 常系数非齐次线性微分方程组的通解1dyAyf(x)的通解2 Ay +f 的y exxAy e(xs)Af0 xyexAc e(xs)Afdy Ay的标准（即(0)E） xk(x) kkbbb# 如果对矩阵A,存在Q满足Q1AQ b 则构造变,dQz AQzzzzzb zn1 Ee Fe z ey(x) dz Q1AQz dy Ay,如果矩阵A的n个特征值对应的特征向量彼此线性无关构造变, 其中T是由上述特征向量按的矩阵0 0 0 e ATz z(x) # # 0 e0 0 0 e0 y(x) Tz(x) y(x) T # # 0 edz T 1ATz y(x) dy Ay+f(齐次齐次： 其中A为n阶常数矩阵，f ( x)是(a, b)上连续的向量函数2008-4-例1 2008-4-例1 i1 i,r2 e(1i)x ie(1i)x 解矩阵为：yie(1ix e1ix c，c为任意列向例 28 3 16 10解：系数矩阵的特征根为0 ，1 1，相应的特征向量22 2 r 1,r 1,r 0,通解：y C 1 C 1ex C 0e 1 2 11 2 1 设n阶矩阵A有n个互不相同的特征根1，n，则矩阵函dy Ay的一个解矩阵,其中r是A的与相应的特i(x)exr,exr 例0 1 1 00 0 1 1A0 0