士谔2018届第一学期期末作业6习题答案

1、习6AA2E.A的特征值A的特征值为A2 E 0A的特征值一定是方程2习6AA2E.A的特征值A的特征值为A2 E 0A的特征值一定是方程21=0 的n（2）n（3）1 1p2 1n p5602A1 A 的特征值和相应的特征向量；又问：A 可否对角化1C 使C1AC 为对角矩阵若可对角化，562AE ，得到特征方程为342240111得1 3 。由于 3 个特征值互不相同，因此 A 可以对角化。将征值分别代入(AEX 03q (2,1,0)T,q (33 3,13)T,q (33 3,1123所以相似变换矩阵C (q1q2q3 已知A2 ，求An的特征值为1 q (2,1,0)T,q (33

2、3,13)T,q (33 3,1123所以相似变换矩阵C (q1q2q3 已知A2 ，求An的特征值为1 2 ，对应特征子空间解.易算q1 2,1)T,q2 1,1)T 。因此相似变换矩阵C q1q2C1AC 0C1AnC 0 An C0C(n(n1 2(2)n11 120=1 n 1 1(2)n证明：以下两个方阵1,B An in 其中1i1,inn且互不相等证：1 i1,in n i1,in是1,2,n的一个排列E(i, j表示第i行（列j行（列）E(i, j)1 E(i, j)T E(i, j. A经过如B：E(n,in)E(n1,in1)E(1,i1)AE(1,i1)E(n1,in1)

3、E(n,in) 若设P E(1i1)E(n1,in1)E(nin，则可知P 是可逆的并 E(n,i )1E(n1,)1E(1,i )1 E(n,i )E(n 1,)E(1,i n1n1P1APBAB相似. (E(1,i)TE(n1,(E(1,i )E(n1,)E(n,i )T )T E(n,)T 1n1n所以P 事实上是一个正交阵，故 A 与B 是正交相似的，因此 A 与B 也是相合的PTAPB0A 2B a1b31解ABPTAPB0A 2B a1b31解ABB知11,2 2是它的两个特征值，因此这两个特征值是 A 的特征方程31a)2a4)2a40a 0A3 2 4403个特征值 23B3个

4、特征值为b3 2f() detAB) 有根1,A,B n 阶方阵B 可逆，又多两Xi是方程组Ai BX 0(X (x1,xn)Ti 1,nX1,X2,线性无关零解，证B可逆可知det(B1 0,f(det(AB) 0det(B1)detAB det(B1AE) 0B1A有两两互异的特1,n.BB1X 0只有零解，则AiBX 0B ABXB AEX 0 是同解方程。由于 B Aiii是相应的特征向量。1, 互异，所以 Xi 线性无证：存在可逆A，使得A1ABA EBA 00 AB相似，CDC与D相似证：由于 A 与B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得P1AP B ，同理存在可逆阵 00QQ CQ

5、DRQ,则000 R1 0RCD 0 R1 0RCD ，得证10. 设F上线性空间VV中某个非零元素被映到它自己的(F倍，即() (，那么称常数 是线性变换 的特征值，称 是属于特征值 的一个特征向量。在这个定义下n2，V是数域F上全体n阶方阵组成的线性空间，V换AAT将VAAT，求的特征值和相在由所有次数小于 n 的全体多项式组成的线性空间 Kxn 上，设线换 : f(x f(xKxnf(xf(x. 的特征值和相应的特征向量解:（1）设特征值为k，AAT kAAkaii ，对于非对角线上元素aji kaij =k2ajiaii0k1是一个特征值，这时aji aijA为对称阵，所以 V 中主对角线上元素不全为 0 的对称阵是相应的特征向量；aii0aij0，则k 1k1ajiaijAV的非零对称阵的全体是相应的特征向量k1aji aijA全体是相应的特征向量称阵，所以V综，特征值k1。k 1对应的特征向量