五年级奥数容斥问题讲座及练习答案

1、五年级奥数集训专题讲座（七）包含与排除包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合 B组成一个新的集合 C，再计算C的元素时为：C=A+B-ABA AB B（韦恩图）例 1：一个班有 48 37 人举手。 42 没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37+42=79 的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 7948 = 31（人）37 + 4248

2、=31（人）答：语文、数学作业都完成的有 31 人。想一想：下面算式有何道理？( l ) 37（48 42 ) = 31 （人）( 2 ) 42 （ 48 37 ）= 31 （人）(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152122=30（人）答：语文数学都优秀的有 30人。(2）四年级一班有 54 人，订阅 小学生优秀作文

3、 和 数学大世界 两种读物的有 13 人，订 小学生优秀作文 的有 45 人，每人至少订一种读物，订 数学大世界 的有多少人？解：根据两种读物的有 13 人，订 小学生优秀作文 的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了 数学大世界 54-45=9 13人，所以订了 数学大世界 的有：13+9=22（人）答：订 数学大世界 的有 22人。(3 24 17人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？解：24+17-8=33（人）答：这个文艺组一共有 33人。例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15

4、人。问多少个同学两题都答得不对？【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 2515 10 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数 10 + 23 = 33都答得不对的有 3633 = 3 36( 25 15 ) + 23=3（人）想一想：下面算式有何道理。(l) 36( 2315 ) + 25 = 3 （人）(2) 36 ( 25 15 ) + ( 23 15 ) + 15 3 （人）(l）五（ 1 ）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 19 人两个小

5、组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？解：19 人两个小组都参加则只参加数学小组为 2519=6人，只参加航模小组为 2319=4人所以参加小组活动的为 4+6+19=29人，两个小组都没参加的为 4029=11人(2）一个班有 55 名学生，订阅 小学生数学报 的有 32 人，订阅 中国少年报 的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？解：订 小学生数学报 的 32 人，订 中国少年报 的 29 人，两种报纸都订的有 25人，实际上订阅的总人数是：29+3225=36人，那么两种报纸都没订的有 5536=19人。答：两种报纸都没订的有 19人。(3

6、50 3 27 14 解：只获作文比赛奖的 14-3=11 人，只获数学比赛奖的12-3=9 人。获奖人数一共有 11+9+3=23 人，没获奖的就有50-23=27 人。例 3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 5625=3128 + 27 31 = 24 28+27（ 56 25)=24（人） 答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。想一想：下面算式有何道理( l ) 28（56 2527 ）= 24（人） ( 2 ) 27 （562528 ）= 24 （人） (1）一

7、个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？解：因为除了两样都不会的 4 人，有364=32 人，这32 人分为会英语的，会法语的，两样都会的，而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是：24+18=42（人）比 32 人多的人数就是两样都会的人数，即 4232=10综合列式：答：两样都会的有 10人.(2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？解：解法同上题：即：69+52这两种棋都会下的有30人.( 3）三年级一班参加

8、合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？解：参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，那么共40+20=60人，其中14个两60人， 46+10=56人。即：40+20答：这个班共有 56人例 4：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法共有多少幅？【思路导航】由题意知， 24 22幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24 + 2

9、2 =46年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的10 幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以2，即可求出其它年级参展的作品。(24+2210)2=18（幅）答：其他年级参展的作品共有 18 幅。练一练( l ）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。其他年级参展的作品共有多少件？解：由“有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的”可知二年级比一年级多10 件，根据“一、二年级参展的作品共有 32 件”可得一年级展出科技作品数是

10、（3210）2=11 件，则二年级展出作品数是 3211=21 件，全校展出作品总数为：11+110=121件或：21+100=121件。那么除了一二年级的展出作品数外，其它年级展出作品数为：12132=89件。答：其他年级参展的作品共有 89件.(2）六（ 1 ）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有 8 幅，其他年级参展的画共有多少幅？25 19幅画不是四年级的，那么四年级展出的图画作品比三年级多 2518=6幅.由于三四年级共有 8幅，所以三年级的作品有（86）2=1幅。那么四年级的有 81=7幅。则展出作品总数为：1+25=26，或 7+19=26幅，那么其它年级展出作品数为 268=18幅。答：其他年级参展的画共有 18幅。(3 28 幅不是五年级的，有 24 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少 4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？