新教材北师大版必修第一册-第4章-3.1-对数函数的概念-课件(38张)

1、3.1对数函数的概念自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习课标定位素养阐释1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数.3.体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养. 自主预习新知导学一、对数函数的概念【问题思考】1.你能把指数式y=ax(a0,且a1)化成对数式吗?在这个对数式中,x是y的函数吗?提示:根据对数的定义,得x=logay(a0,且a1).因为y=ax是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应,所以x是y的函数.2.填空:(1)对数函数的相关概念:定义:给定正数a,且a1,指

2、数函数y=ax是定义在R上、值域为(0,+)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a0,且a1),其中a称为底数.定义域是(0,+);图象过定点(1,0).(2)两个特殊的对数函数:常用对数函数:以10为底的对数函数,记作 y=lg x ;自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作 y=ln x .3.做一做:下列函数是对数函数的是()A.y=log4xB.y=ln(x+1)C.y=logxeD.y=logx

3、x解析:由对数函数的定义知y=log4x是对数函数,其余三个均不符合对数函数的特征.答案:A二、反函数【问题思考】1.函数y=ax(a0,且a1)的定义域和值域与函数y=logax(a0,且a1)的定义域和值域有什么关系?提示:对数函数y=logax(a0,且a1)的定义域是指数函数y=ax(a0,且a1)的值域,对数函数y=logax(a0,且a1)的值域是指数函数y=ax(a0,且a1)的定义域.2.填一填:指数函数y=ax(a0,且a1)和对数函数x=logay(a0,且a1)刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;在对数函数

4、x=logay(a0,且a1)中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+).像这样的两个函数叫作互为反函数.3.做一做:若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()解析:由题意得f(x)=logax(a0,且a1).f(2)=1,loga2=1.a=2.f(x)=log2x.答案:A【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)函数y=log2x+1是对数函数.( )(2)对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为反函数.( )(3)函数y=logax(a0,且a1)的

5、图象与y=ax(a0,且a1)的图象关于直线y=x对称.( )(4)函数y=logax(a0,且a1)的图象过定点(1,0).( ) 合作探究释疑解惑探究一探究二探究三探究一 对数函数的定义【例1】 判断下列函数是不是关于x的对数函数?并说明理由.y=logax2(a0,且a1);y=log2x-1;y=2log8x;y=logxa(a为常数,x0,且x1);y=log5x.解:因为中真数是x2,而不是x,所以不是对数函数;因为中y=log2x-1常数项为-1,而非0,故不是对数函数;因为中log8x前的系数是2,而不是1,所以不是对数函数;因为中底数是自变量x,所以不是对数函数.为对数函数.

6、判断一个函数是不是对数函数的方法(1)看形式:判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否符合y=logax(a0,且a1)这一结构形式.(2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征系数为1;底数为大于0,且不等于1的常数;对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备,则不是对数函数.【变式训练1】 下列函数是对数函数的是()解析:因为A中真数是2x,而不是x,所以不是对数函数;因为B中真数是x2+1,不是x,故不是对数函数;因为D中lg x前的系数是2,而不是1,所以不是对数函数;C为对数函数.答案:C探究二 对数型函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域.(1)y=loga(3-x)+log

7、a(3+x)(a0,且a1);(2)y=lg(x-1)+log(x+1)(16-4x).1.若把本例(1)中的函数改为y=loga(x-3)+loga(x+3)(a0,且a1),求函数的定义域.函数y=loga(x-3)+loga(x+3)(a0,且a1)的定义域为x|x3.2.求函数y=loga(x+3)(x-3)(a0,且a1)的定义域,相比延伸探究1,定义域有何变化?解:由题意得(x+3)(x-3)0,解得x3.函数y=loga(x+3)(x-3)(a0,且a1)的定义域为x|x3.相比延伸探究1,函数y=loga(x+3)(x-3)(a0,且a1)的定义域多了(-,-3)这个区间,原因

8、是对于y=loga(x+3)(x-3)(a0,且a1),要使函数有意义,只需(x+3)与(x-3)同号,而对于y=loga(x-3)+loga(x+3)(a0,且a1),要使函数有意义,必须x-3与x+3同时大于0.求含有对数式的函数的定义域,需保证每个对数式有意义,即真数大于零,底数大于零且不等于1.【变式训练2】 求下列函数的定义域.探究三 求反函数【例3】 求下列函数的反函数.1.指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数.2.互为反函数的两个函数的定义域、值域相反,并且反函数是相对而言的.3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.【变式训练3】 写出下列函数的反函数(用x表示自变量,y表示函数).易 错 辨 析因忽视真数中字母系数的取值而致误【典例】 已知函数y=log2(ax2+ax+1)的定义域为R,求实数a的取值范围.错解 y=log2(ax2+ax+1)的定义域为R,ax2+ax+10在R上恒成立,解得0a0的条件.正解:当a=0时,y=0,满足条件,即函数y=0的定义域为R,解得0a0,不一定是一元二次不等式.随 堂 练 习1.下列函数是对数函数的是()A.y=loga(2x)(a0,且a1)B.y=lg(10 x)C.y=loga(x2+x)(a0,且a1)D.y=ln