新教材北师大版必修第一册-第5章-1.1-利用函数性质判定方程解的存在性-课件(38张)

1、1.1利用函数性质判定方程解的存在性自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习课标定位素养阐释1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系.2.掌握函数零点存在定理.3.能结合图象求解零点问题.4.初步理解函数与方程思想.5.感受数学抽象的不同层次,感受直观想象的作用,提高数形结合的意识. 自主预习新知导学一、函数的零点【问题思考】1.函数的零点是点吗?提示:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点,因此函数的零点不是点,是方程f(x)=0的解,即函数的零点是一个实数.2.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是

2、否所有的函数都有零点?并说明理由.提示:不一定.因为函数的零点就是方程的根,并不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如:指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点,对数函数有唯一一个零点.3.填一填:使得 f(x0)=0 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.做一做:若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则实数a的值等于()答案:D 二、零点存在定理【问题思考】1.若f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?提示:不一定.如y=x

3、2-1在区间(-2,2)上有两个零点,但f(2)f(-2) 0.2.结合教材,你认为求函数零点个数的常用方法有哪些?提示:方法1:利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点.方法2:利用函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数,从而判定零点的个数.方法3:结合函数的单调性.若函数在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)f(b)0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.方法4:转化成两个函数图象的交点问题,两个函数图象有几个交点,就说明有几个零点.3.填一填:零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条 连续的曲线,并且在区间端点

4、的函数值一正一负,即 f(a)f(b)0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.4.做一做:已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(-,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)答案:B【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)零点即函数y=f(x)的图象与x轴的交点.( )(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点.( )(3)若函数y=f(x)在区间(a,

5、b)上有零点,则一定有f(a)f(b)0.( ) 合作探究释疑解惑探究一探究二探究三探究四探究一 判断函数零点所在区间【例1】 (1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)(2)函数 的零点所在的大致区间是()A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)解析:(1)因为f(0)=e0+0-2=-10,所以f(0)f(1)0.由零点存在定理,f(x)的零点所在的一个区间为(0,1).(2)由题意可得f(x)的定义域为(0,+),可知f(x)在区间(0,+)上是增函数.f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2

6、0,可得f(1)f(2)0,由零点存在定理,可知f(x)的零点所在大致区间是(1,2).答案:(1)C(2)C判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数,求出函数的值.(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则在该区间内至少有一个零点.【变式训练1】 函数f(x)=x+lg x-3的零点所在的大致区间是()答案:C 探究二 求函数的零点【例2】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x

7、)=2x-1-3;解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1,或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.求函数零点的两种方法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.【变式训练2】 若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值,并求函数f(x)其余的零点.解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2

8、-3-a=0,得a=6.所以f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3,或x=2.所以函数f(x)还有一个零点,是2.探究三 判断函数零点的个数【例3】 判断函数f(x)=ln x+x2-3零点的个数.解法1:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=ln x和函数y=3-x2的图象(如图).由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,从而方程ln x+x2-3=0有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.解法2:由于f(1)=ln 1+12-

9、3=-20,所以f(1)f(2)0.又f(x)=ln x+x2-3的图象在区间(1,2)上是不间断的,所以f(x)在区间(1,2)上必有零点.又f(x)在区间(0,+)上是增函数,所以f(x)只有一个零点.判断函数零点个数的方法(1)对于一般函数的零点个数的判断问题,可以先确定零点存在,然后借助于函数的单调性判断零点的个数;(2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中画出函数y1=g(x)和y2=h(x)的图象,利用图象判定方程根的个数;(3)解方程,解得方程根的个数即为函数零点的个数.【变式训练3】 函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为()A.

10、1B.2C.0D.不能确定解析:如图所示,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数y=ln x,y=x-2的图象,可知两函数有两个交点,即f(x)有两个零点.答案:B探究四 一元二次方程根的分布问题【例4】 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有且仅有一个零点.若本例条件不变,关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1,求实数a的取值范围.解:因为方程有一根大于1,一根小于1,所以图象大致如图所示.令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,又f(1)=-30.故当a0时,方程ax2-2(a+1)x+a

11、-1=0的一根大于1,一根小于1.解决一元二次方程根的分布问题应注意以下几点(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.(2)结合草图考虑三个方面:开口方向;与0的大小;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系.思 想 方 法用数形结合思想判断函数零点的个数【典例】 试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(aR)的零点个数.分析:函数f(x)的零点个数即为方程f(x)=0的解的个数.令f(x)=0,即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则方程x2-2|x| =a+1的解的个数即为函数g(x)与h(x)的图象交点的个数,故将问题转化为函数g(x)与

12、h(x)的图象交点个数的问题.解:令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1, 函数g(x),h(x)的大致图象如图所示.又g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,由图可得,当a+1-1,即a0,即a=-2,或a-1时,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点;当-1a+10,即-2a-1时,函数g(x)与h(x)的图象有4个交点;当a+1=0,即a=-1时,函数g(x)与h(x)的图象有3个交点.综上,当a-1时,函数f(x)有两个零点;当-2a-1时,函数f(x)有4个零点;当a=-1时,函数f(x)有3个零点.在函数与方程问题中,可以把函数的零点、方程的根等问题转

13、化为两个函数图象交点的问题,依据函数图象的特征,构造关于参数的不等式求解.随 堂 练 习答案:D 2.对于函数f(x),若f(-1)f(3)0,则()A.方程f(x)=0一定有实数解B.方程f(x)=0一定无实数解C.方程f(x)=0一定有两实数解D.方程f(x)=0可能无实数解解析:函数f(x)的图象在区间(-1,3)上未必连续,故尽管f(-1)f(3)0,但方程y=f(x)=0在区间(-1,3)上未必有实数解.答案:D3.方程2x-x2=0的解的个数是.解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x及y=x2的图象(图略),可看出两图象有两个交点,故2x-x2=0的解的个数为2.答案:24.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点