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文档简介

1、电磁学中几个基本矢量的性质杨东杰 2900103013摘要本文在学习完电磁学的基本矢量知识的基础上,统一地推导研究电磁学中各个矢量E-D.豆.瓦元的性质,即散度、旋度及其边界条件。字 队三9耳盘散度旋度边界条件引言 在学习了第二章关于电磁场的一些基本规律之后,我们知道 了很多电磁场的基本理论知识,但是书本上都是分别逐一地对各个 矢量的性质,如散度、旋度及边界条件进行推论,所以本文意在对 各个矢量的性质作一个统一的推导总结,从而加深对知识的理解。正文一,电场强度M的散度、旋度及边界条件。1, 散度。用电荷按体密度口顼i分布库伦定律:利用A三:=-三可将巨顷写为鞘=-盐1啤)质(式1)对上式两边取

2、散度,得V = -法泸 g)dV利用关系式三=一二3(一产!,上式变为V 庄矛)V 庄矛)dV(式2)在利用函数的挑选性,有fT3 ,积分区域不包含衬3的点pfrjofr r )dV = Lp(f)f积分区域包含衬=歹的点则由式(2)得_( 0,亡立于区域V外V勒= ;P力,弛于区域V内因已假设电荷分布在区域V内,故可由上式得的E散度V - E =|-式 3)2, 旋度。在静电场中,由式1,微分算符F是对场点坐标,求导,与源点坐标无关,故可将算符F从积分中移出,即S-喘件dV对上式两边取旋度,即VxE(r)= -VX:零wVxE(r)= -VX上式右边括号内是一个连续标量函数,而任何一个标量函

3、数的梯度 再求旋度时恒等于0,则得在时变电磁场中,变化的磁场会产生电场。在一回路中,由法拉第电磁感应定律,得利用斯托克斯定理,上式可表示为f 一- f dB上式对任意回路所谓面积S利用斯托克斯定理,上式可表示为f 一- f dB上式对任意回路所谓面积S都成立,故必有- dB3, 边界条件。在参数分别为七疽:-.乙的两种媒 质的分界面上,设分界面法向单位矢量为虱, W是沿分界面的切向单位矢量。则在垂直于分界面的矩形闭合路径abcda上,由麦克斯韦第二方程,当上-U时有故得旧故得旧-RW = 0 或 &-匚=。也可写为X(E- E?) = 0也可写为表明电场强度E的切向分量是连续的。二,电位移矢量

4、万的散度、旋度及边界条件。1, 散度。在电介质中,在外场作用下电介质发生极化,产生极化电荷。电介质中的电场可视为自由电荷和极化电荷在真空中产生电场的叠 加,即E = ET-Eo将真空中成立的式3推广至电介质中,得即极化电荷公也是产生电场的通量源。由式 = -P(后面会推导) 代入上式得 疝3) + 尸3) = p而由于Wi =八;二打我们得到V D (r) = p2, 旋度。由于本构关系E =占,我们可以由M的旋度直接得到:在静电场中,V%D(f) = O而在时变电磁场中,VXO = VXeE = -e|33, 边界条件。如同以上M边界条件的界定下,在分界面上取一个扁圆柱形闭合面,当其高度 上

5、-口时,圆柱侧面对积分 寥云的贡献可忽略,且此如同以上M边界条件的界定下,在分界面上取一个扁圆柱形闭合面,当其高度 上-口时,圆柱侧面对积分 寥云的贡献可忽略,且此时分界面上存在的自由电荷面密度为四,则得= * 或 J = * 或 J =公当两种媒质都不是理想导体的边界条件时,有四=。,则谖何瓦)=0三,磁感应强度豆的散度、旋度及边界条件。1, 散度。由体电流密度下的毕奥-萨伐尔定律我们得到,我们得到,明一务站W (泠1)朋再利用矢量恒等式F =,顶;=值1 ? F -5工匚上式可写为帆=务她、饵一禹网伽又因算符F是对场点坐标进行微分,而及I仅是源点坐标的函数,故有 rx;(rj. = o,

6、于 是有上式对两端取散度,由于对任意矢量函数F有V ; V X F = S故得到VB(f) = 02,旋度。对式4两端取旋度,利用矢量恒等式F =氏矿项;-FF,得= PXVX4tt Jvr-T=澈1/=澈1/,与1心篇I而如气扃冲(式5)应用=- F j和3函数的挑选性,上式右边第二项可表示为再利用恒等式.房)=M W -崩,再利用恒等式.房)=M W -崩,矿-及亍=、厂顼=,可得到将上式代入式5右边第一项,并用散度定理,得(式6)0 (式 7)式中的S是区域V的边界面。由于电流分布在区域V内,在边界面S上,电流没有法向分量,故顷1顼宁=。.将式6,式7代入式5,得以上是在恒定电流情况下产

7、生恒定磁场的旋度表达式。而在非 恒定电流场中,因为位移电流的出现,需要对上式进行修改。先假定静电场中的高斯定律 = 口对时变电场任然成立,将其带入电荷守恒定律(以后会证明),得此;-M即为全电流,此时的旋度公式修订为V X B +3此;-M即为全电流,此时的旋度公式修订为V X B +3, 边界条件。仍然在媒质分界面上作一个底面积为拓,高为上的扁圆柱形闭合面。因里足够小,故可认为穿过此面积的磁通量为常数;又因上一 0,故圆柱侧面的面积分顷 妄的贡献可忽略。将麦克斯韦第三方程应用于圆柱形闭合面,得B dS= B dS+ B dS-F B dSJ顶面J底面J侧面=I B- endS I B2 en

8、dS = 0J顶面J底面故得 -i;37- B; = 0 M 邑. =四,磁场强度鼻的散度、旋度及边界条件。1, 散度。由本构关系反及磁感应强度豆的散度公式,我们直接得到2, 旋度。仍然由本构关系去及耳的旋度公式,我们可以得到:在恒定电流产生的恒定磁场下= J(r)在非恒定电流场中,加入对位移电流的考虑,我们得到一-祯.履刁+瓦3,边界条件。在垂直于两种媒质分界面的矩形闭合路径abcda上,应用麦克斯韦第一方程,得当脆=北=3 -。时,上式变为式中=村不:,即寥T。时,如果分界面上存在自由面电流泠则闭合回路罚:将包围此面电流。这里的W 是回路所围面积s的法向单位矢量,与绕行方向济圣成右手螺旋

9、关系。另外,因为M为有限值,故有项=眼因此式8变为(瓦一瓦)布成=h -e;dl而或=卒:用=f kKdl利用矢量恒等式,(、C、x . = C - x3j,上式变为因x(西一瓦)诺由=h-dlJmJ却故得 -x-X-:=A M 土-土=孔当两种媒质电导率有限时,分界面上不会有面电流分布,此时有慕 X(瓦一瓦)=0 或 Hlt-H2t = 0五,电流密度矢量;的散度、旋度及边界条件。1, 散度。根据电荷守恒定律,单位时间内从闭合面S内流出的电荷量应 等于闭合面S所限定的体积V内的电荷减少量,即f - dq d f3 =-,瓦严设体积V不随时间变化,则应用散度定理,上式写为在恒定电流场中,电荷在

10、空间的分布不会随时间变化,因此必然有2,旋度。2,旋度。在线性和各向同性的导电媒质中,由欧姆定律;=在线性和各向同性的导电媒质中,由欧姆定律;=,正,及电场强度M的旋度公式,我们得到在恒定电场中,-!= 0在时变电场中,二 dB3, 边界条件。在两种媒质分界面上取扁圆柱形闭合面,将 有笠=-.三史./应用在该闭合面上,当Mn - U时,圆柱侧面对积分一云贡献可忽略,所以有且由于工】-0,碧w吐票dS所以得到无)慕dS =商口)=-誓当在恒定电场中时,=。,所以有司(X一舌)=0六,极化强度矢量的散度、旋度及边界条件。1, 散度。在电介质中的任意闭合曲面S上取一面积元上其法向单位矢量为标 并近似

11、认为泌上的尸不变。在电介质极化时,设每个分子的正负电 荷的平均相对位移为d,则分子电偶极距为=点,F由负电荷指向 正电荷。以二S为底、F为斜高构成一个体积元=、.: = 。显然只有 电偶极子中心在己矿内的分子的正电荷才穿出面积元二5。设电介质单 位体积中的分子数为N,则穿出面积元f的正电荷为Nqd dS= P dS = P- edS(式 9)因此,从闭合面S穿出的正电荷为.己二。与之对应,留在闭合面 S内的极化电荷量为qP = -jp AS= j V-PdV因闭合面S是任意取的,故S限定的体积V内的极化电荷体密度为Pp = -P所以得到尸的散度公式而由关系式夺:及M的散度公式得VP = V-x

12、 = XoP这里g为自由电荷密度。这里我们还可以得到自由电荷密度与极化电 荷密度的关系,即Pp = Xep2, 旋度。根据关系式? =及M的旋度公式,我们可以得到在静电场中,矿工F = o在时变电磁场中,由变化磁场产生电场,从而有变化的极化强 度,- dBVXP = -睥侦3,边界条件。在两种媒质(其电极化率乙不同)分界面上,作一个底面积为己E高为Ah的扁圆柱形闭合面。因Ah-O,所以从该闭合面穿出的极化 电荷就是分界面上的极化面电荷,由式9可知, 2) % 招=PsP 拓P为为分界面上的极化电荷面密度。故en -舌)=PSP七,磁化强度疝的散度、旋度及边界条件。1, 散度。根据磁介质的本构关

13、系M = y日,可以得到V QH + X V H = X v hmmmm由上文的结论V H=O,有VM =02, 旋度。设磁介质单位体积内分子数为N ,每个分子的磁矩为p =庭,则与长度元丑交链的磁化电流为 mdi = NiAS - dl = Np - dl = M dlMm穿过整个曲面的磁化电流为I =dlM -dl = f VxM dSML MLQ同时又有I = J dSM o M两式比较可以得到Vx M = JM3, 边界条件。求M的边界条件类似于求H的边界条件,将麦克斯韦第一方程代入包含分界面的矩形闭合面内,有j M - dl aM - dl +Jm - dl =j (M - M ) - e dl = j JC12M 1

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