第二部分代数引论

1、第二部分代数引论第1页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日要求掌握的内容群环的概念域的概念会判断子群、陪集的概念线性空间的概念第2页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日欧几里德除法设b是正整数，则任意正整数a b皆可唯一地表示成a = qb + r 0 r b，若a=bq+r，则(a, b)=(b, r)根据该定理可以求2个数的最大公约数欧几里德算法：给定任意正整数a,b，必存在有整数A，B使 (a, b) = Aa+Bb最小公倍数：设a,b为任意两个正整数，若有一整数M使a|M, b|M，则称M是a,b的公倍数，其中最小的正公倍数称为最小公倍数，记为a,

2、b或LCM(a, b)。第4页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日同余和剩余类同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称a、b关于模m同余，记为剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用第5页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日群(Group)的定义 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足：1) 封闭性。对任意，恒有2) 结合律。对任意，恒有3) G中存在一恒等元e,对任意，使4) 对任意，存在a的逆元，使则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示，若为乘法，恒等元称

3、为单位元第6页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日Examples:1、全体整数2、全体偶数3、全体实数6、模m的全体剩余类,4、全体复数5、全体有理数对加法构成群对乘法不构成群对加法构成群对加法构成群对加法构成群除0元素外，对乘法构成群对加法构成群除0元素外，对乘法构成群对加法构成群除0元素外，对乘法构成群对模m加法构成群对模m乘法，除0外，根据m值不同第7页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日有关群的几个概念群的阶(Order of a Group)有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group)加群、乘群阿贝尔群(Abel G

4、roup)半群、若群第8页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日群群G的单位元是唯一的群中每个元素的逆元是唯一的若a,bG，则(a*b)-1=b-1*a-1给定G中任意两个元素a和b，方程a*x=b和y*a=b在G中有唯一解令G为二元运算*下的一个群，H为G的一个非空子集，若 i) H在二元运算*下封闭，ii）H中任意元素a，a的逆元仍在H中，则H是G的一个子群。第9页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日四、环(Ring)的定义非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且

5、加和乘之间有分配律第10页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日Examples:1、全体整数2、全体偶数3、全体实数6、模m的全体剩余类,4、全体复数5、全体有理数构成环第11页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日五、有关环的几个概念有单位元环（对于乘法而言）可换环(Commutative Ring)有零因子环整环(Domain)，既无零因子环除环(有单位元、每个非零元素有逆元，非可换的环)第12页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日六、域(Field)的定义非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满足： 1) F关于加法构成阿贝尔群，加

6、法恒等元记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律第13页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日Examples:1、全体整数2、全体偶数3、全体实数6、模m的全体剩余类,4、全体复数5、全体有理数设q为素数，则整数全体关于模q的剩余类在模q的运算下(模q加和乘)构成q阶有限域GF(q)构成环，不构成域构成环，不构成域构成域构成域构成域第14页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日子群的定义子群：若群G的非空子集H对于G中定义的代数运算也构成群，称H为G的子群群G的非空子集H为G的子群的充要条件：1）若aH

7、, bH,则abH；2）若aH，则a-1HH是G的子群的充要条件：对任何a，bH，恒有ab-1H第15页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日陪集的概念定义：H是群G的一个子群，g是G中的任意一个元素，将g左（右）乘H中的每一个元素，得到一个集合，记为gH（Hg），该集合为子群H的一个左（右）陪集，g为该陪集的陪集首。Examples: 对整数全体，以3为倍数的整数全体是一个子群，可按此子群对全体整数划分陪集第16页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日陪集的概念若H是G的子群，则可利用H把G划分等价类用g1, g2,表示群G中的元素，用h1, h2表示子群H中

8、的元素子群H左陪集左陪集左陪集陪集首第17页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日陪集的性质令H为群G在二元运算*下的一个子群，则H的陪集中任意两个元素互不相同对群G的子群H，其任意两个不同的陪集之间没有相同的元素G中每个元素出现且仅出现在一个H的陪集中H的所有不同陪集之间互不相交H的所有不同陪集并构成群G拉格朗日定理：设G为一个n阶群，H为一个m阶子群。则m可以整除n且划分G/H由n/m个H的陪集构成。（有限群的子群的阶数，一定是整个群的阶数的因子）第18页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日线性空间如果域F上的n重元素集合V满足下述条件： 1、V关于加法构

9、成阿贝尔群 2、对对V中任何元素v和F中任何元素c， cvV。 我们称V中元素v为矢量(向量)， F中元素c为纯量或标量， 称乘c运算为数乘。 3、分配律成立， 对任何u， vV， c， dF恒有： c(u+v)=cu+cv ， (c+d)v=cv+dv 4、若c, dF , vV, 有: (cd)v=c(dv), 1v=v, 1F 则称V是域F上的一个n维线性空间或矢量空间， 一般用VnF表示。几个概念：线性子空间，线性组合，线性相关，线性独立，张成，基底，维数 第19页，共21页，2022年，5月20日，22点5分，星期日线性结合代数域F上的有限维线性空间A，若元素之间定义了乘法， 且有如下性质： (1) 乘法封闭。 对每一个a, bA， 恒有abA。 (2) 乘法结合律成立: 对每一个a, b, cA恒有 (ab)c=a(bc)。 (3) 分配律成立 a(ab+bc)=a(ab)+b(ac) (ab+bc)a=a (ba)+b (ca) a,bF， a, b, cA 则称A是一个线性结合代数。 它的阶数定义为它作为线性空间时的维数。 如果A关于乘法有逆