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1、第二节 矩阵的运算、定义设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为一、矩阵的加法说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如2、 矩阵加法的运算规律1、定义二、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设 为 矩阵， 为数）例.已知求3A-2B三、矩阵的乘法1、引例(意义)设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位：台）为如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万甲乙那么这两家公司的月利润 (单位：万元) 为多少? 元台)为 甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为由例题可知矩阵、的元素之间有下列关系34.1万元.

2、依题意2、定义若规定其中注：1）条件左矩阵的列数等于右矩阵的行数2）方法等于左矩阵 的第 行与右矩阵 的第 列对应元素左行右列法矩阵乘积 的元素乘积的和.3）结果左行右列左矩阵的行数为乘积的行数，右矩阵的列数为乘积的列数.特别：与矩阵的乘积与矩阵的乘积为为一阶方阵，即一个数一个阶方阵例3 若求AB.解:解例4设例5设解3、矩阵相乘的三大特征1、无交换律2、无消去律3、若4、运算规律（假定所有运算合法， 是矩阵， ）（1）（2）（3）（4）（5）注不尽相同， 亦不尽相同.定义对于矩阵 ，若 ，称 与 可交换.例6设 ，求 的所有可交换矩阵.解设，于是即建立方程组得所以四、方阵的幂1、定义规定若注

3、：(1) 一般矩阵的幂无意义，除了方阵.(2) 只能是正整数.（1）（2）2、运算规律（设 均是 阶方阵， ）（4）（3）（5）（6）注：（1）（2）（7）例7设，计算解下用数学归纳法证明猜想当 时，等式显然成立. 当 时，等式成立，即等式成立.所以猜想正确.要证 时成立，此时有解例8设，计算 .易见把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .例五、矩阵的转置1、定义2、运算规律（假定所有运算合法， 是矩阵， ）（1）（2）（4）（3）特别例9已知解所以而且显然对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.如3、对称矩阵定义设 为 阶方阵，若 ，即 ，那么 称为对称矩阵. 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.特别定义设 为 阶方阵，若 ，即 ，那么 称为反对称矩阵.反对称矩阵的主要特点是:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.如 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵.特别4、反对称矩阵证明例10设列矩阵 ，满足为 阶单位矩阵，且 ，证明 是对称矩阵，且 .是对称矩阵.又 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得

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