连续系统的时域分析

1、第二章连续系统的时域分析求响应：,经典法：已知f (t)、x0v全响应 y (t) = Vf (t) +yx (t)卷积积分法：先求n (t),已知f (t) yf (t) =h (t)f (t)主要内容：一 经典法求LTI系统的响应：代齐次解j自由响应了瞬态j零输入I特解 I强迫响应 I稳态(阶跃、周期)I零状态二 冲击响应与阶跃响应：(定义、求解方法仍为经典法)三 卷积积分：(定义、图示法求卷积)四卷积积分的性质： 2.1 LTI系统的响应(经典法)一常系数线性微分方程的经典解n 阶：y(n)(t)+ an-iy(n 1)+ + aiy(t)+ a0y(t)=bm f (m)(t)+ bm

2、-1 f (m 1)(t)+ b 1 f (1)(t)+ bof(t)全解：y(t)=齐次解yh(t)+特解yp(t)、_ n + 1齐次解：yh(t)=Cie it (形式取决于特征根)i 1特征方程：(t)+ an-1 (n %)+ + a1(t)+ a0=0特征根：决定齐次解的函数形式，表 2-1如为2个单实根1、2 yh (t) =C1e 1t +C2e 2t如为 2 重根(+1)2=0,= - 1, yh(t)=C1te-t+C0e-t系数Ci：求得全解后，由初始条件确定2特解：函数形式：由激励的函数形式决定，与特征根有关系，表 2-2如：f为常数(t),yp(t)=P0f(t)=t

3、2,yp(t)= P2t2+ P1t+ P0f(t)=e-t,= - 2,不等yp(t)=P e-tf(t)= e-t,= - 1,相等yp(t)=P1te-t+P0e-t系数R：由原微分方程求出n3 全解：y(t)= yh(t)+ yp(t)=Cie it + yp(t)i1此时利用y(0), y (0),求出系数Ci例 2.1-1: y (t)+ 5y (t)+ 6y(t)= f(t) f(t)= 2e-t, y(0)= 2 y (0)= -1解：(1) 齐次解：yh(t)= Cie-2t+C2e-3t2+5 +6 = 0,1= - 2,2= - 3特解：yp(t)= e-t设 yp(t)

4、= Pe-t TOC o 1-5 h z 代入原方程：Pe-t+5(- Pe-t)+6 Pe-t = 2e-t-P=1全解：y(t)= C 1e-2t+C2e-3t+ e-t求 Ci: y (t)= - 2 C1e-2t - 3c2e-3t - e-t齐次解 特解一数学角度y(t)= 3e-2t - 2c2e-3t + e-tt0自由响应 强迫响应一系统角度 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document (2)P44例 2.1-2: y (t)+ 5y (t)+ 6y(t)= f(t) f(t)=10cost y(0)= 2 y (0)= 0解： yh(t

5、)= C1e-2t + C2。3typ(t)= Pcost+Qsint=cost+sint=V2 cos (t -) 4yp (t)、yp (t)、yp(t)代入方程，求得 P=Q=1y(t)= C1e-2t + C2e-3t + 2 cos (t)4由初始条件可解得 孰=2, C2 = - 1y(t)=2e-2t - C2e-3t + 0二 关于0-和0+初始值若f(t)在t=0时接入系统，方程的解适用tA0求解的初始条件：严格是指t=0+时刻的值，y(0+)、y (0+)” 已知系统初始状态：t=0-时，檄励未接入，y(0-)、y (0), 反映 系统的历史情况。求解微分方程时，要先从yi

6、(0-)求出yi(0+)例 2.1-3: y (t)+3y (t)+2y(t)=2 f (t)+6 f(t)已知：f(t)= (t) , y(0-)=2 , y (0-)=0,求：y(0+)、y (0+)解：y +3y (t)+2y =2 (t)+6 (t)00_ 00 y (t)dt + 3 0 y (t)dt + 2 0 y(t)dt=2；(t)dt + 6；(t)dty (0+)- y (0-) + 3 y(0 +)- y(0-) + 2X0 = 2X1 + 6X0y(t)在 t =0 是连续的y(0+)=y(0-)=2y 在 t =0 是跃变的y (0+)=y (0-)+2=2结论：当

7、方程右端含有(t)及(n)(t)函数时，y(t)及各阶导数有些 将发生跃变；当方程右端不含有(t)及(n)(t)函数时，y(t)及各阶导数 一般不发生跃变，可直接等。三零输入响应和零状态响应nnny(t) = yx(t) + yf(t) = Cxie it + Cfie it + yp(t)=Cie+ yp(t)i 1i 1i 1初始值:y(j)(0-) = yx(0-) + yf( j)(0-)y(0+) = yx(0+) + yf(0+)对零状态响应：yf(0-)=0 yx(0-)= y(0-)对零输入响应：由于f(t)=0,故：yx(0+) = yx(0-)= y(0-)1经典法求yx(

8、t)和yf(t)例 2.1-4: y (t) + 3y (t)+2 y(t)=2 f (t)+6 f(t)已知：f(t)=(t) , y(0-)=2 , y (0-)=0解：求yx(t)即f(t)=0满足 yx (t) + 3yx (t)+2 yx(t)=0,且满足 y (0+)的解初始值:yx(0+)=yx(0-)= y (0-)=2，一、 ，一、 ，一、yx (0+)=yx (0-)= y (0-)=0响应形式：yx(t)= Cx1e-t+Cx2e-2t- 一 Cx1 +Cx2=2yx (t)= -Cx1e-t-2Cx2e-2t-Cx1 -2Cx2 =0Cx1 =4Cx2 =-2 .yx(

9、t)= 4e-t-2e-2t=4e-t-2e-2t -(t) 求yf(t)f(t)=(t),初始状态为零满足：yf (t) + 3yf (t)+2 yf(t)=2 (t) +6 (t)且 yf (0-)=yf(0-)=0同前可求得:yf(0+)=yf(0-)=0yf (0+)=2+yf (0-)=2对于 t0 时，万程写为:y (t) + 3yf (t)+2 yf(t)= 6齐次解：Cfie-t+Cf2e-2t特解：设为Po,求得Po=3yf(t)= Cfit+Cf262t +3,求得：Cfi= -4, Cf2=1 yf(t)= -4e-t+e-2t +3 t0全响应 y(t) = yx(t)

10、 + yf(t)= 4e-t-2e-2t-4e-t+e-2t +3= - e-2t +32用LTI系统零状态响应的线形性质和微分性质求yf(t)例：y (t) +2y(t)= f (t) + f (t)+2 f(t) f(t)= (t)求 yf(t)输入分为3部分：设 f(t)1系统 y1(t)=T0,f(t)满足万程：y1 (t) +2y1(t)= f(t) 且 y1(0-)=0y0+)=0齐次解：Ge-2t y/t )=C102t +-1 =-1 e-2t +1 =1 1-e-2t(t)特解：P。J2f (t)系统 y1 (t)y1 (t)= 1(1-e-2t) - (t) + e-2t

11、(t) = e-2t (t)f (t)“系统一 y1 (t)y1 (t)= e-2t (t) -2 e-2t (t) = (t) -2 e-2t (t)yf(t)= y1 (t)+ y1(t)+2 y (t)= (t) +(1-2 e-2t) (t) 2.2冲击响应和阶跃响应求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法.在这种方法中，冲击响应和阶跃响应是非常重要的概念.是系统的基本响应，反映系统特性.经典法方法二二5方法二二5仕)周b代)表示一1LTI一 “十招_用h仕)表示一冲击响应 h(t) def T0,(t)1定义:2 h(t)的求解方法:情况一：等号右端只含激励f(t), -经典法y(n)

12、 (t)+ an-iy(n 1)(t)+- + aiy (t)=f(t)h(n)(t)+ an-1h(n 1)(t)+-+ &h (t)= (t)输入为(t) h(j) (0-)=0, j=0、1、2 n-1初始状态为 00+初始值h(0+)= h(j)(0-)=0 j=0、1、2 n-2h(n 0(0+)= h(n 1)(0-)+1=1nh(t)的形式:h(t)= ( Cie 与 (t)i 1j一一一J八、例：2.2-1 h(t)满足h (t)+5 h (t)+6 h(t)= (t)h (0-)= h (0-)=0确定0+初始值：方程两端奇异函数平衡h (t)连续，h (0+) =h (0-

13、)Lh 跃变，h (0+)#h (0-)方程两边积分：0,0,000h(t)dt+5 0h(t)dt+6 0h (t)= 0(t)dth (0+)- h (0-)+5 h (0 +)- h (0-)+0=1. h (0+) =h (0-)=0h (0+)=h (0-)+1=1 考虑t0(或t=0+以后)的系统响应，此时激励为0 P52齐次万程：h (t)+5 h (t)+6 h(t)=0 TOC o 1-5 h z 解的形式：h(t)= C1e-2t + C2e-3tt0h (t)= -2C1e-2t -3c2e-3th h(0+)= C1+ C2 =0c C1 =1_ 、 _l h (0+)

14、= -2C1-3C2=1匚 C2= - 1h(t)= (e-2t - e-3t) -(t)情况二：等号右端除f外，还有f(m)(t)y (t)+ an-1y(n 1)(t)+ + &y + ay(t)+ b 1 f (t)+ b0f(t)=bm f + b 1 f (t)+ b0f(t)广 h(n)(t)+ an-ih(n 1)(t)+-+ aih(1) (t)+ a0h (t)0+时,9。)=齐次解+特解=de it+i 1a情况二：等号右端含f及各阶导数，求0+较困难由线性性质和微分性质求g(t) j第一步：(t) g1(t) 【第二步：用性质例 2.2-3: P5577(1)解：(1)列

15、写微分方程：左区：x (t)+3x (t)+2x(t)=f(t)右：2y(t) =-2x (t)+2x(t)3y (t) = -3x (t)+6x (t)10 一y (t)= - x (t)+2x (t)y (t)+3 y (t)+2 y(t) = - x (t)+3x (t)+2x(t) +2x (t)+3x (t)+2x(t). y (t)+3 y (t)+2 y(t) = -f (t)+2f(t)(2)求g(t),属情况二第一步：设输入为(t)时，响应为gi(t) gi (t)+3gi (t)+2gi(t)= (t)/ gi(t) = Cie-t+C2e-2t +“ gi (0+)=3g

16、i (0+)=0g gi (t)=-Ciet-2c2e-2tgi(0+)=Ci+ C2 + 2 =0Ci = - i-gi (0+)= - Ci -2C2=0- C2 =:gi(t) =(- e-t + ie-2t +-1) (t)第二步：用线性和微分特性g(t) = - gi (t)+2gi(t)=-(-e-t + 2e-2t +2) - (t) - (- e-t- e-2t) - (t) +(-2e-t +e-2t+i) - (t)=(-3e-t +2e2t+i) - (t)三 h(t)与g(t)三 h(t)与g(t)的关系-(t)=u0(3)求 g(t) 令 uS(t)= (t)f g

17、(t)+6g (t)+25g(t)=25 (t)g(0+)=g (0+)=0g(t)= e-3t Ccos(4t)+Dsin(4t)+1g (t)= e-3t-4Csin(4t)+4Dcos(4t)-3e-3tCcos(4t)+Dsin(4t)12C=0L g (0+)= 4D-3C=2C=0L g (0+)= 4D-3C=2D= = - 0.75g(0+)= C+1=0. g(t)=1- e-3tcos(4t)+0.75sin(4t) (t) t0典型二阶电路：(图2.2-5)特征根：入1, 2= -1P2 ,四种情况(书图2.2-6)030,入1、入2为实负根，衰减，过阻尼=3 0,人为2

18、重负根，临界3 0, 一对共钝复根，欠阻尼0=0, 图(a),取R=0, 一对共钝虚根j 3 0,等幅振荡h(t)= g (t) = 1- e-3tcos(4t)-0.75sin(4t) (t)-e-3t-4sin(4t)+3cos(4t) (t)+3e-3tcos(4t)+0.75sin(4t) (t)=(t)- (t)-0+4e-3tsin(4t)+2.25e-3tsin(4t) (t)=6.25e-3tsin(4t) (t)13 2.3卷积积分卷积积分的定义：1.提出的思路：f Ct）LTIf Ct）LTI对不同的 f(t) ： (tm、eL sint),对不同的 f(t) ： (tm、

19、eL sint),设不同的特解，求多次微分方程yf (t)对复杂的f(t)= t - e-t求解困难经典法的缺点：。求解微分方程的次数多;对复杂的f较困难优点：可求yx(t)解决的办法：将复杂的信号f分解为简单信号之和2 f(t)的分解:20142014第k个波形：1宽度=2n 幅度 f(k - A t )、位置 pn (t-k -Ar)f(t)= f(k - A t ) - pn(t-k - At ) 3求y f (t)对LTI系统，自变量为t小户邛)=f(k - A r ) - T p (t-k -Ar)kn=f(k , A r )-Ar-hn(t-k -Ar)k令f 0, p dp ,

20、k , A r rlimf(t)= kf(t)= k00 kf(k - A r ) ,Ar- pn (t-k -Ar)f( t ) - S (r)drf(t)y (t)=0 f(k - A r ) -Ar- hn(t-k -Ar)f k 0f( t ) - h(t- t) - dr =f(t) * h(t)即:零状态响应yf (t)是激励f与冲击响应h(t)的卷积积分4用卷积积分求yf(t)的步骤：先求系统的单位冲击响应h(t),用经典法. y f (t)=f(t) * h(t)15优点：灵活、简便、适用于复杂信号，是时域分析中的重要方法。15缺点：只能求yf，不能求yx(t)5 一般定义：f

21、(t)=f 1(t) * fl(t) def fl(T)f2(T )积分变量-oo+oo 变化参变量t：-00+00 变化二卷积的计算(图示)图解的步骤:求t=t1时亥f(tl)的步骤: fl(t) f fl) ,f fl(t) f fl) ,f2(t)反转f2(-T) f2(- T ) f(tl) =ti1616当t从-+连续取值时，将f2(t- P )连续地沿P轴右移求得 f(t)= fi(r) - f2(t- t ) dr关键：积分上下限的确定I参变量t的分段例 2.3-1： f(t)= fi(t) * f 2(t)=fl( T ) f2(t- T)dT第-i步：fl(t)-fl( TT

22、 )f2(t)- f2(-)第二步：t：变化区间为(。，+00),当t从-8逐渐增大时，f2(t- P )沿P轴从左向右平移，将t分为数段，由于每一段图形相交 情况不同，计算结果也不同.-oot-2fl( T )和f2(t- T )非零值无相交，乘积为0f(t) = 0-2t0fl (T)和f2(t- T )非零值相交，变区间为(-2,t)二 f(t)= ；fi(T ) - f2(t- T ) dr = 1 2X 3dr = - (t+2)22420ct-2fi 和f2(t- t )非零值相交，区间不变(-2-t,t)宽度为2,积分值为一固定值t33 f(t尸2 t 2Xdr = 1 (t+2

23、-t)=32Vt4,f(t)=0 (两函数无相交)结果：0 0t -23(t+2)-2t02 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document f(t) =30ct23一3(4-t)2 t4从上例可看出，计算卷积时，确定积分上下限是关键，而图解可帮助我 们正确的确定上下限.特例:2个因果函数的卷积,t 0时，力=0, f2(t)=0贝U： fi(t) * f 2(t)= 0 fi(r) f2(t-T)dr例 2.3-2: fi(t)=3 e-2t (t) f2(t)=2 (t)f3(t)= 2 (t 2)解：(1) fi(t) * f 2(t)=3 e-2t

24、(t) - (t )dr = 0 3 -2tx2dT =3(1- e-2t)= 3(1-e-2t) (t)3 e-2t (t) 3 e-2t (t) 2 (t 2) dr fi(t) * f 3(t) =_ t 2=03。2tX2dr=3i- e-2(t-2)= 3i-e-2(t-2) . (t 2)如果将fi(t)看作系统的冲击响应h(t)i8i8*卷积存在的讨论：存在：若函数均为有始的可积函数，则卷积存在如：(t)* ( t)=( ) (t )d-： 1dt(t)不存在：(t)无起始点，* ( t)=( ) (t ) dp = 01dp 不存在不一定：e- t无起始点e-，(t) * e-

25、，=e- t ( ) * e- (t ) , d r TOC o 1-5 h z =0 e- t , e( - ) d r =-?e()|oe t()=? lim e()1B % 时，lim e()=0 存在19 2.4卷积积分的性质一卷积的代数运算1 交换律：fl(t) * f2(t)= f2(t) * fl(t)证明：fl(t) * f 2(t)=fl( T ) f2(t- T )d Ttfl(t ) f2(刀)(-d Y)= fl(t-Y) f2( T )d Y =f2(t) * f l(t) TOC o 1-5 h z 例：fi(t)=e- t-(t)f2(t)=(t)解：fi(t)

26、* f2(t)= 0 e - d T = -e |0=-(1 e ) (t)f2(t) * fi(t)=() e (t) (t )dr=：e (t )d r=et：e dr0011=e t(e 1) =(1 e ) (t)几何意义：曲线下面积相等2 分配律：f1(t) * f 2(t)+f3(t)= f 1(t) * f 2(t)+ f 1(t) * f 3(t)物理意义:设二f盘尸叵+东切=以。*及肚鼠好附20 fl(t)激励，f2(t)+f3(t)h(t)h2(t) + h3(t) = h(t) 一 表示并联y芦二石期等效(t)+(t)+ h(t) +3 结合律:fl(t) * f 2(t

27、) *f 3(t)= f3 结合律:fl(t) * f 2(t) *f 3(t)= fl(t) * f 2(t) * f 3(t)证明：fl(t) * f2(t) *f 3(t)fl( T ) f2( T - T )d T f3(t- T )d T交换次序fl( ) ) f2( T - T )f3(t- T )d T d Tfl(r) f2(x)f3(t- T -x)dxd Tfl( T ) f23(t- T )d T=fl(t) * f 2(t) * f3(t)物理意义：fl(t)激励，f2(t尸 h2(t) ,f3(t)= h3(t)h(t)= h2(t) * h 3(t)表示级联G(t)

28、*岫yG(t)*岫y/二n纣町等效fl(t) * h:(t) R)21二f(t)与的卷积:(t)与一个函数相乘，积分时具有特殊的性质：抽样性;与函数卷积 时也有特殊性.基本形式：f(t) * (t) = (t) * f(t)= f(t)某函数与冲击函数的卷积就 是它本身.证明：f(t) * (t) = f( T ) - (t ) d T = f(t)由以上基本公式，可推出几个移位公式：移位形式 1： f(t) * (t tl)= (t tl)* f(t)= f(t-t l)移位形式 2： f(t-tl) * (tt2)=f(t-t2)* f(t-t 1)= f(t-t 1-t2)移位形式 3：

29、若 f(t)= fl(t) * f2(t)贝！J ：fl(t-t 1) * f 2(t-tz)= fl(t-tz)* f 2(t-tl) = f(t-t 1 -t2)证明：f1(t-t1) * f 2(t-t2)= f1(t) * (t t1) * f 2(t-t2)=f1(t) * (t =) * f2(t-t2)= f 1(t) * f 2(t-t1-t2)=f1(t) * f2(t) * (t t1 t2) =f(t) * (t t1 t2) e-2t (t 3)* e-2t (t 3)* (t 5)例 2.4-2： (1) (t 3) * (t 5)6 解：(1)方法一：(t 3)*

30、(t 5)= (t)* (t)* (t 3 5)=t (t)* (t 2) = (t-2) (t 2)方法二：方法二：(t 3)* (t 5)=(3) (t 5) dr=t 5 1 1 d t =(t-2) (t 2) 3e-2t (t 3)* (t 5) = t 5 e-2 dr = 3= 1e 2(t 5) e6 = 1e 2t?e10 e62222= e61 e 2。% (t 2)例2.4-3:求T (t)与f(t)的卷积T(t)=- (t 2T)+ (t T)+ (t)+ (t T)+ (t 2T)+.= (t mT) m f(t)=f 0(t)*T(t) = f0(t)*(t mT)m=fo(t)* (t mT) = fo(t-mT)mm% (0结论1” T,波形将重叠结论2:周期信号的表示 任意f(t)= fo(t-mT)三卷积的微分与积分他)=f l(t) * f 2(t)= f2(t) * fl(t)1微分：f(t)=皿dtf(t) = fl(t) * f 2(t) =fl(t) * f2(t)(1)证明：f(1)(t) = - f1( T ) f2(t- T )d T = f1(T) - f2(t- T )d T dtdt=f1(t) * fN)(t)2323f(x)dxf(-1)(t) = fi(-1)(t) * f 2(t) =f i(t) * f 2(