含参量正常积分课件

1、一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.1 含参量正常积分数学分析 第十九章含参量积分*点击以上标题可直接前往对应内容四、含参量正常积分的可积性五、例题一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量设是定义在矩形区域上的 定义在上以 y 为自变量的一元函数. 在上可积, 是定义在 上的函数.二元函数.1 含参量正常积分定义连续性可微性含参量正常积分的定义例题可积性上的定值时, 函数 是当 x取倘若这时 后退

2、前进 目录 退出则其积分值 设是定义在矩形区域上的 定义在上以 y 为自变量的一元函数.其中c (x), d (x)1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上的二元函数, 一般地, 设 为定义在区域 上可积, 是定义在 上的函数.若对于上每一固定的 x 值, 作为 y 的函数在闭区间 则其积分值 上的连续函数, 为定义在其中c (x), d (x)1 含参量正常积分定义连续性用积分形式(1) 和 (2) 所定义的这函数 与通称为定义在 上的含参量 x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分. 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性用积分形式(1) 和 (2) 所定义的这函数 与通称为定

3、义在含参量正常积分的连续性1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性 定理19.1（ ）若二元函数在矩形区域上连续, 在 a , b上连续.则函数含参量正常积分的连续性1 含参量正常积分定义连续性可微性由于 在有界闭区域 R上连续, 就有 于是证 设 对充分小的 (若x 为区间的端点, 则仅考虑 ), 即对任意总存在对R 内任意两点 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性从而一致连续.只要由于 在有界闭区域 R上连续, 就有 于是证 设 对充分小即 I (x) 在 上连续.同理可证: 若在矩形区域 R上连续,量 的积分 在c ,d 上连续.所以由(3), (4)可得, 1 含参量正常积

4、分定义连续性可微性例题可积性则含参即 I (x) 在 上连续.同理可证: 若在矩形区域 R上连若在矩形区域 R 上连续,都有 这个结论表明, 定义在矩形区域上的连续函数, 其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.为任意区间. 注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式: 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则对任何 若在矩形区域 R 上连续,都有 这个结论表明, 定义在矩形区 定理19.2（ 的连续性）若二元函数在区域 在上连续.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性证 对积分(6)用换元积分法, 则函数 其中c(x), d(

5、x)为 上的连续函数,上连续, 令 定理19.2（ 的连续性）若所以从(6)式可得 由于被积函数 在矩形区域 上连续, (6)所确定的函数 F(x) 在a, b连续. 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性当 y 在c (x)与d (x)之间取值时, t 在 0, 1 上取值, 且 由定理19.1得积分 所以从(6)式可得 由于被积函数 在矩形区域 上连续, (6含参量正常积分的可微性 定理19.3（ ）若函数 与其偏导数 都在矩形区域 上连续, 则函数 在上可微, 且1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性含参量正常积分的可微性 定理19.3（ 证 对于 内任意一点x, 设(若 x

6、为区间的端点, 就讨论单侧导数), 由拉格朗日中值定理及 在有界闭域 R上连续(从而一致连续), 就有1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则只要 对证 对于 内任意一点x, 设(若 x为区间的端点, 就讨论这就证明了对一切 有1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因此这就证明了对一切 有1 含参量正常积分定义连续性可微性 定理19.4（ 的可微性）c (x), d (x)为定义在上其值含于 p, q内的可微函数, 在上可微, 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性在 设上连续, 则函数且 定理19.4（ 的可微性）c (证 把 F(x) 看作复合函数: 由复合函数求导法则及

7、变动上限积分的性质, 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性有证 把 F(x) 看作复合函数: 由复合函数求导法则及变注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 和定理19.4其中 为任意区间. 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上连续，注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 和定理19.4其由定理19.1与定理19.2推得: 定理19.5（ ）含参量正常积分的可积性若在矩形区域 上连续,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则 与 分别在和上可积. 由定理19.1与定理19.2推得: 定理19.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性为书写简便起见, 今后将上述

8、两个积分写作 与 前者表示先对 y 后对 x 求积分, 求积顺序相反.它们统称为累次积分.后者则表示这就是说: 在连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分: 与 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性为书写简便起 定理19.6则 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性在连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.若在矩形区域 上连续, 定理19.6则 1 含参量正常积分定义连续证 记 其中对于 则有1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为 与都在R上连续, 证 记 其中对于 则有1 含参量正常积分由定理19.3, 故得 因此对一切 有 即得当 时, 取 就得到所要证明的(8

9、)式.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性由定理19.3, 故得 因此对一切 有 即得当例题解 记由于 例1 求 都是 a 和 x 的连续函数, I (a) 在 处连续, 所以1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性由定理19.2 已知例题解 记由于 例1 求 都是 a 和 x 的连续函数例2 讨论函数的连续性.解 易见的定义域为令上连续, 而在上连续. 上连续. 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上连续, 因此的任意性可得在由从 例2 讨论函数的连续性.解 易见的定义域为令上连续, 而在上例3 计算积分解 令上满足定理19.3的条件, 显然 且函数 在1 含参量正常积分

10、定义连续性可微性例题可积性于是例3 计算积分解 令上满足定理19.3的条件, 显然 且函所以1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为所以1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为因此 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性另一方面 所以 因此 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性另分小时, 函数 (9) 的各阶导数存在，且 例4 设 在 的某个邻域内连续, 验证当|x|充1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性解 由于(9)中被积函数 以及其偏导数 在原点的某个方邻域内连续, 于是由定理 19.4 可得 分小时, 函数 (9) 的各阶导数存在，且 例4 设 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性同理如此继续下去，求得 k 阶导数为特别当 时有 于是 附带说明:当 x = 0 时, 及其各导数为1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性同理如此继续例5 求解 因为 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性条件, 又由于函数 上满足定理19.6 的 所以交换积分顺序得到例5 求解 因为 1 含参量正常积分定义连续性可例6 设 求 解 显然, 本题不宜先求出 , 再算积分值. 可试用交换积分次序的方法求出积分值.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上连续, 设 则 在由定理19.6,