高中 高三 数学《三角函数图象与性质》学案设计

1、 三角函数图象与性质 姓名：_知识点梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：_，_，_，_，_。 在余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：_，_，_，_，_。 五点法作图：列表、描点、连线(注意光滑)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域值域奇偶性单调性周期性对称性3.辅助角公式, 例题精讲题型一 三角函数的定义域与值域 1.函数ytan 2x的定义域_ 2函数ycos2x2sin x在eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,4)上的最大值为_方法提炼：1.三角

2、函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的范围直接求(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域题型二三角函数的性质考法(一)三角函数的周期性3.函数的最小正周期是 _.4.函数最小正周期为 _.方法提炼：三角函数的周期求法：(1)利用周期定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为eq f(2,|)，y

3、tan(x)的最小正周期为eq f(,|).考法(二)三角函数的奇偶性5.若函数f(x)cos(2xeq f(,3)(0)是奇函数，则_.变式：函数f(x)3sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，(0，)(1)若f(x)为偶函数，则_； (2)若f(x)为奇函数，则_.考法(三)三角函数的单调性6.已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的单调性方法提炼：已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单

4、调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq f(1,4)周期列不等式(组)求解三、练习巩固1(2021沈阳模拟)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1 BT2，A1 CT，A2 DT2，A2 函数ylg sin x eq r(cos xf(1,2)的定义域为_ 函数f(x)3sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)在区间eq blcrc(avs4a

5、lco1(0，f(,2)上的值域为_ 函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)图象的对称中心是_ (2021青岛模拟)函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_6(2021合肥联考)函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)cos 2x的图象的一条对称轴的方程可以是()Axeq f(,6)Bxeq f(11,12) Cxeq f(2,3) Dxeq f(7,12) 7(2021八省联考模拟卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)_.8.已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）求的单调递增区间（3）求f(x)在区间上的最大值和最小值三

6、角函数图象与性质(答案) 姓名：_一、知识点梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(eq f(,2)，1)，(，0)，(eq f(3,2)，1)，(2，0) 在余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(eq f(,2)，0)，(，1)，(eq f(3,2)，0)，(2，1)五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR，且xkeq f(,2)，kZ值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在eq f

7、(,2)2k，eq f(,2)2k(kZ)上是递增函数，在eq f(,2)2k，eq f(3,2)2k(kZ)上是递减函数在2k，2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在(eq f(,2)k，eq f(,2)k)(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xeq f(,2)k(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(keq f(,2)，0)(kZ)对称中心是(eq f(k,2)，0)(kZ)3.辅助角公式, 二、例题精讲题型一 三角函

8、数的定义域与值域 1.函数ytan 2x的定义域_ 解：由2xkeq f(,2)，kZ，得xeq f(k,2)eq f(,4)，kZ，所以ytan 2x的定义域为x|xeq f(k,2)eq f(,4)，kZ2函数ycos2x2sin x在eq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(,4)上的最大值为_解析：设sin xt，则teq blcrc(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2).y1sin2x2sin x(t1)22，teq blcrc(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，故当teq f(r(2),2)，即xeq f(,4)时，yma

9、xeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)1)22eq f(2r(2)1,2).方法提炼：1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的范围直接求(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域题型二三角函数的性质考法(一)三角函数的周期性3.函数的最小正周期是 _.解：因为，所以的最小正周期4.函数最

10、小正周期为 _.解:，方法提炼：三角函数的周期求法：(1)利用周期定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为eq f(2,|)，ytan(x)的最小正周期为eq f(,|).考法(二)三角函数的奇偶性5.若函数f(x)cos(2xeq f(,3)(0)是奇函数，则_.解：因为f(x)为奇函数，所以eq f(,3)eq f(,2)k(kZ)，eq f(5,6)k，kZ.又因为0，故eq f(5,6).方法提炼：函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)(xR)是偶函数keq f(,2)(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是奇

11、函数keq f(,2)(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)变式：函数f(x)3sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，(0，)(1)若f(x)为偶函数，则_； (2)若f(x)为奇函数，则_.答案(1)eq f(5,6)(2)eq f(,3)考法(三)三角函数的单调性6.已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的单调性解析：(1)f(x)sin xcos xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1

12、(xf(,4)，且T，2，于是f(x)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4).令2xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)，得xeq f(k,2)eq f(3,8)(kZ)即函数f(x)图象的对称轴方程为xeq f(k,2)eq f(3,8)(kZ)(2)令2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(,2)(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,8)，kf(3,8)(kZ)注意到xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，所以令k0，得函数f(x)在eq blcrc(avs4alco1

13、(0，f(,2)上的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,8)；同理，其单调递减区间为eq blcrc(avs4alco1(f(3,8)，f(,2).方法提炼：已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq f(1,4)周期列不等式(组)求解三、练习巩固1(2021沈阳模拟)若函数y2sin 2x1的

14、最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1 BT2，A1 CT，A2 DT2，A2 答案：A2ytan 2x的定义域是_ 答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(k,2)f(,4)，kZ)3函数f(x)3sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的值域为_ 答案：eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，3)4函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)图象的对称中心是_ 答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f

15、(,4)，0)(kZ)5(2021青岛模拟)函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_答案：eq blcrc(avs4alco1(kf(,4)，kf(3,4)(kZ)6(2021合肥联考)函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)cos 2x的图象的一条对称轴的方程可以是()Axeq f(,6)Bxeq f(11,12) Cxeq f(2,3) Dxeq f(7,12) 答案：B7(2021八省联考模拟卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)_.解析：由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)Asin x(A0)，满足f(x)sin xf(x)，即是奇函数 根据最小正周期Teq f(2,)2，可得.故函数可以是f(x)Asin x(A0