计算智能混沌计算

1、第五章 混沌计算车生兵中南林业科技大学计算机科学学院0、概述1963年，Lorenz将“非周期性流”称为“混沌解”。J.Ford认为，20世纪物理学的三大发现是，相对论、量子力学和混沌。混沌是自然界普遍存在的现象。应用：时间序列预测、模式识别、数据压缩、通讯编码与保密等。0、概述自然界只有一个，但其表现行为纷繁复杂，根据其复杂程度的不同可以分为确定论系统和随机系统。确定论系统指的是：根据系统的运动方程及初始条件就可以确定系统行为的演化。确定论系统的运动方程往往有闭型解，其解是用初始状态来表示任意时刻状态的公式，因而只要知道初始状态和最终时间就可以预测未来，与状态的中间过程无关。即使初始条件有微

2、小的偏差，其结果的偏差也不大，即系统的行为是完全确定的，牛顿力学是确定论的典型代表。 0、概述不论是确定论系统，还是随机系统，都是构成物理世界的两个极端情况，而且也不是绝对的。出人意料的是，只有很少几个参量的确定论系统竟会产生随机性为，这种随机性行为并非来自外界的干扰，而是系统的一种根本性质。事实上，许多具有确定的微分方程（或离散变量的映射）的非线性系统，在一定条件下表现出了随机行为，更令人惊奇的是，这种随机行为中蕴涵着一定的秩序。我们把非线性的确定论系统表现出的随机行为称为混沌。 0、概述对混沌系统最直观的描述是状态空间的引入，它是一种抽象的结构，其坐标为状态的各个分量（或动力系统的自由度）

3、。在力学系统中状态空间可以由位置和速度来描述，而在生态系统中，状态空间是由虫口数描述的。以稳定的单摆系统为例，在近平衡条件下，非阻尼摆的状态空间由图一所示，系统的每一状态与状态空间的一点对应，当摆来回摆动时，状态空间中的点形成一椭圆轨道。 图0-1单摆轨道 0、概述对于混沌系统来说，由于其长期行为的不可预测性，因此必须用渐进的方法来探索系统的状态，并得到一系列的状态值，我们把动力系统中的一点或一个数连续迭代所产生的序列称为轨道。上述单摆系统的轨道是一个椭圆，它表示系统的运动是周期性的。阻尼摆的运动不再是周期性的，在状态空间的轨道盘旋缩小，最后静止在原点的一条螺旋线，可以看出，状态空间能以直观的

4、几何形式表现系统的行为，阻尼摆最终会停下来，这意味着轨道最终会趋于一个不动点，它好象吸引了邻近轨道，因此称为吸引子，所谓吸引子是指系统反复出现或越来越逼近的状态集。 图0-2 阻尼摆轨道 1 混沌的概念周期倍分叉到混沌混沌的定义蝴蝶效应等混沌特征一、周期倍分叉到混沌一维迭代映射从倍分叉到混沌1.1.1 一维迭代映射一维迭代映射 Xn+1=f(Xn)，n=0,1, ，又称为离散动力系统。 不动点的定义。 周期K点的定义。1.1.1 一维迭代映射不动点的定义若存在 ，使得 成立，则称 为映射f( )的一个不动点。1.1.1 一维迭代映射周期K点的定义若 成立，且 ，则称 为f( )的周期K点。记为

5、：P-K 点。因此，f的不动点是否f的P-1点，f的P-K点 的不动点。1.1.2 从倍分叉到混沌考虑人口方程Logistic Xn+1=Xn(1-Xn) 其不动点为：0和 。 当=3.569 945 672 时，出现混沌。 Feigenbaum常数=4.669 201 660 1.1.2 从倍分叉到混沌u=2.6:0.001:4.0;x=0.1;for i=1:300 x=u.*x*(1-x);endfor j=1:80 x=u.*x*(1-x); plot(u,x,k.,markersize,2) hold on;endgrid on; 当u3.599456,4 之间时处于混沌状态。也就是

6、说，由初始条件x0 在Logistic映射的作用下所产生的序列 Xn ; n=0,1,2,3.是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感。 1.1.2 从倍分叉到混沌倍周期分岔以更快的速度进行，再次进入混沌状态。如果将周期窗口放大，发现其结构与分岔图的整体结构具有相似性，而且是一种无限嵌套的自相似结构。 可以看出，通过改变系统参量，使系统进入混沌的第一种模式是倍周期分岔，即由不动点周期二周期四无限倍周期进入混沌状态。当然通向混沌的道路不只于此，第二种通向的道路是：从平衡态到周期运动，再到拟周期运动，直到进入混沌状态。第三种通向混沌的方式是阵发（或间歇）道路，即系统在近似周期运动的过程中，通过改变参

7、量，系统会出现阵发性混沌过程，随着参量的调整，阵发性混沌越来越频繁，近似的周期运动越来越少，最后进入混沌.图1-1 Logistic映射分差图 混沌地带二、混沌的定义基本定义 常见的有：Smale马蹄映射，奇怪吸引子，横截同窗点，符号动力系统等。不严格的定义 如果一个系统具有对初始值的敏感性，而且存在非周期性运动，那么可以认为该系统是混沌的。其他，如：Li-York定义等三、蝴蝶效应等混沌特征蝴蝶效应：对初始值的敏感性。奇怪吸引子：Lorenz研究大气环流时的非线性动力学方程具有的特性如下： 吸引性：当 时，轨道极限集； 分维性：轨道的维数为D=2.06，具有无穷自嵌套、自相似结构； 非周期性

8、：轨道不自我交叉、不自我重复。三、蝴蝶效应等混沌特征蝴蝶效应在发现混沌现象之前，科学家们一直认为微分方程的解只有四种类型：不动点；极限环；二维环面；发散轨道。1963年麻省理工学院的气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究天气的不可预测性时，从流体的运动方程出发，通过简化方程获得了具有三个自由度的系统，并再计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化，意外地发现，初始条件的极微差别可以引起模拟结果的巨大变化，这表明天气过程以及描述它们的非线性方程是如此的不稳定，以至巴西热带雨林的一只蝴蝶偶然拍动一下翅膀，几星期后可以在美国德克萨斯州引起一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应” 三、蝴蝶效应等混沌特

9、征蝴蝶效应罗沦兹方程的具体形式为 图1-2 Lorenz混沌吸引子 其中x、y、z为无量纲量，分别表征对流强度，对流中升流与降流间的温差和竖直方向温度分布的非线性度。任意给定初值，系统最终都会回到状态空间的特定区域内，其吸引子具有精巧而奇特的结构，如图1-2所示，表明系统进入了混沌状态。 三、蝴蝶效应等混沌特征蝴蝶效应蝴蝶效应表明，初始条件的极细微变化，随着时间的推移会显著地影响系统的宏观行为，反映在状态空间中，初始状态非常接近的二条轨道，只在很短的时间内靠的比较近，然后会迅速散开，因此根据初始状态预测系统的长期行为，会由于误差的迅速扩大，使长期行为的预测受到了根本的限制。混沌吸引子较平庸吸引

10、子要复杂的多，其最大特点是，初始状态相近的二条轨道会迅速散开，然后再次靠近，再迅速散开，且这种聚散行为具有随机性，所以混沌吸引子也称为奇怪吸引子。 三、蝴蝶效应等混沌特征蝴蝶效应：对初始值的敏感性对xn+1=4xn(1-xn),n=0,1,2,3,，取三个初始值进行迭代，有右面的结果：nx000.10.100000010.1000000210.360.36000000320.360000006210014782444990.1478125182500.27756908100.43565739970.0550053776510.80209438620.983129834

11、60.2079191442520.64395592740.06634225160.65875509462 Lyapunov特征函数Lyapunov指数基本思想 Lyapunov指数的计算例子2.1 判别方法根据拓扑特征来判别 Smale马蹄，横截同窗点，有限子位移根据统计特征来判别 功率，Lyapunov指数，K-熵，分数维数2.2 Lyapunov指数的基本思想对非线性方程对非线性系统2.3 Lyapunov指数的计算一维映射 例子：帐篷映射Tent，它存在混沌。n 维映射 定义：3 基于混沌的跳频编码跳频技术与混沌跳频编码混沌跳频编码的的设计方法3.1 跳频技术与混沌跳频编码跳频：通讯中扩

12、展频谱的方法，载波频率在一定范围内不断地跳变。在发射端，由伪随机码改变发射频率。在接收端，保持与发射端相同的伪随机码改变频率接受信号。跳频技术分类：一类是基带跳频，在基本带宽内跳变。另一类是射频跳频，用两台发射机发射信号，一台发射基带信号，一台用于伪随机码控制。跳频技术优点：抗干扰性强，保密性能好。应用例子：移动GSM系统，跳变217次每秒。低速无线局域网，跳变小于50次每秒。3.2 混沌跳频编码的的设计方法利用混沌映射产生混沌时间序列 利用Logistic迭代映射产生初始序列； 不同初始值产生N1个长度为N2的混沌序列； 级联N1个长度为N2的混沌序列得到长度为N1N2的混沌序列。进行混沌序列量化编码 量化；编码。4数字图像的混沌加密基于混沌的数字图像加密算法1、基本思路2、算法说明 当u=3.74时，加密后的图片出现了明显的周期现象，这是由于计算机数值表示精度不够造成的，并不是Logistic方程出现了周期现象。所以，u值的选择很重要。 通过对图4-1的分析可知，当u3.65时，Logistic映射进入混沌状态，图像渐渐达到了混沌效果，但是仅当u3.85后，图像才达到较好的加密效果。根据加密图像的不同效果，容易发现Logistic方程迭代函数存在局部周期性，由图4-1可以看出u=3.63，3.74，3.83，3.84，3.85时加密图像呈现出条纹状，这说明相邻点的像素值也