2023届广东惠州第一次考试数学(理)

1、 惠州市2023届高三第一次调研考试 数 学 (理科 本试卷共4页，21小题，总分值150分。考试用时120分钟。本卷须知：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题给

2、出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1复数其中为虚数单位的虚部是 2集合，那么以下结论正确的是 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高三年级抽取的学生人数为 ( )4等差数列的前项和为，假设，那么 ( )43233正视图侧视图俯视图43233正视图侧视图俯视图5在二项式的展开式中，含的项的系数是 6假设某几何体的三视图如右图所示，那么此几何体的体积等于 7都是区间内任取的一个实数，那么使得的取值的概率是 8向量与的夹角为，定义为与的“向量积，且是一个向量，它的长度，假设，那么 二、填空题本大题共7小题，分为

3、必做题和选做题两局部每题5分，总分值30分一必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数的定义域是.10以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是.11用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量满足，那么的最大值是.13函数的定义域为，对任意，那么的解集为 .二选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14坐标系与参数方程选做题极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，那么APOB15(几何证明选讲选做题)如下列图，是等腰三角形，是底边延长线上一点，且，那么腰长=. 三、解答题：本大题共6小

4、题，总分值80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤16本小题总分值12分.(1)求的值； (2)求的值17本小题总分值12分去年2月29日，我国发布了新修订的?环境空气质量标准?指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2023年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，那么样本数据的平均值为.(3) 如果空气质量指数不超过，就

5、认定空气质量为“特优等级，那么从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中到达“特优等级的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O51525354518.本小题总分值14分如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1) 求证：；BA1CAB1C1(2) 假设直线BA1CAB1C119本小题总分值14分数列中，前项和(1) 求数列的通项公式；(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？假设存在，求出的最小值；假设不存在，请说明理由20本小题总分值14分椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；(2) 假设直线与椭

6、圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标FF2OxyPABF1A2l21本小题总分值14分关于的函数，其导函数为记函数 在区间上的最大值为(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；(2) 假设，证明对任意的，都有；(3) 假设对任意的恒成立，试求的最大值惠州市2023届高三第一次调研考试数学 (理科参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每题5分，总分值40分题号12345678答案CCBDACAD1. 【解析】化简得，那么虚部为，应选2. 【解析】集合,应选3. 【解析】三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，

7、应选4. 【解析】由题意，等差数列中，所以，应选3243第6题图5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，那么得，所以含项3243第6题图的系数为，应选6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，应选7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，那么事件A的概率为，应选8.【解析】由题意，那么，得，由定义知，应选二填空题：共7小题，每题5分，总分值30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9101112 121314159. 【解析】由得，那么定义域为：10【解析】抛物线焦点，那么双曲线中：，且，得，又得，O

8、CBOCBA11-1xyy=-x11【解析】由题意，没有重复数字的偶数，那么末位是2或4，当末位是时，前三位将，三个数字任意排列，那么有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个。12【解析】由约束条件画出可行域如下列图，那么目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为。13【解析】设函数，那么，得函数在上为增函数，且，所以当时，有，得，故不等式的解集为14【解析】由题意，直线，圆的标准方程，那么圆心到直线的距离为，且圆半径，故15【解析】以为圆心，以为半径作圆，那么圆经过点，即，设与圆交于点且延长交圆与点，由切割线定理知，即，ABPOCABPOCD三、解答题：16本小

9、题总分值12分解：1，那么-1分-2分 -4分 -5分2原式-7分 -9分-10分-11分-12分17本小题总分值12分 (1) 解：由题意，得，1分 解得.2分2解：个样本中空气质量指数的平均值为3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为.4分3解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级，且指数到达“特优等级的概率为，那么.5分的取值为，6分，.10分 的分布列为：11分.12分 或者18本小题总分值14分解：1证明：如右图，取的中点，连接， 1分因，那么2分由平面侧面，且平面侧面，3分得，又平面， BA1CABBA1CAB1C1DE因为三棱柱是直三棱柱，那么，

10、所以.又，从而侧面，又侧面，故. 7分2解法一：连接，由1可知，那么是在内的射影即为直线与所成的角，那么8分 在等腰直角中，且点是中点，且，9分 过点A作于点，连 由1知，那么，且即为二面角的一个平面角 10分 且直角中： 又，且二面角为锐二面角，即二面角的大小为14分 解法二向量法：由1知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下列图，且设，那么， ， ， ， ， ， 9分设平面的一个法向量由， 得： 令 ，得 ，那么10分设直线与所成的角为，那么得，解得，即12分又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，那么，且，得 锐二面角的大小为。 14分19本小题总分

11、值14分解：1解法一3分 整理得 两式相减得5分 即 ，即7分 数列是等差数列 且，得，那么公差8分解法二 3分 整理得 等式两边同时除以得 ， 5分即6分 累加得 得8分2 由1知10分12分 那么要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为14分20本小题总分值14分解：1由题：左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = EQ R(2 + c) 2 + 1 2) = EQ R(10) 2分由可解得c = 1 ，a = 2 ，b 2 = a 2c 2 = 33分 OxyPABF1F2A2l所求椭圆 C 的方程为 EQ F(x 2Oxy

12、PABF1F2A2l2设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2x1 + x2 = EQ F(8km,4k 2 + 3) ，x1x2 = EQ F(4m 212,4k 2 + 3) ， 6分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 EQ OAC(A2A,SUP6() EQ OAC(A2B,SUP6() = 07分所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x22) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m

13、) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1) EQ F(4m 212,4k 2 + 3) (km2) EQ F(8km,4k 2 + 3) + m 2 + 4 = 0 10分整理得7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = EQ F(2,7) k 或 m = 2k 都满足 012分假设 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；13分假设 m = EQ F(2,7) k 时，直线 l 为 y = kx EQ F(2,7) k = k (x EQ F(2,7) )， 恒过定点 ( EQ F(2,7) ,0) 14分21本小题总分值14分解：1 ，由在处有极值，可得，解得，或2分 假设，那么，此时函数没有极值；3分 假设，那么,此时当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 4分2证法一： 当时，函数的对称轴位于区间之外在区间上的最值在两端