2011新增部分自动控制课件3.1时域分析

1、控制系统的分析方法分析控制系统第一步 建立模型第二步 分析控制性能分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法第三章 控制系统的时域分析法时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析稳定性分析稳态误差计算第三章 控制系统的时域分析法3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析

2、和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。3.1.1 典型试验信号 Typical test signals(1) 实际系统的输入信号不可知性(2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系(3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。突然受到恒定输入作用或突然的扰

3、动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Step function） 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function） 速度 （单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 （单位）脉冲函数（Impulse function） 正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。（1）单位阶跃作用1(t)其数学描述为：其拉氏变换式为：L1(t)=1/s(

4、2)单位斜坡作用t1(t)其数学描述为 其拉氏变换式为其拉氏变换式为：Lt 1 (t)=1/s2(3)单位脉冲作用(t)其数学描述为 其拉氏变换式为： L(t)=1tr(t)0(4)单位加速度作用 t2 /2其数学描述为 其拉氏变换式为： L(t)=1/s3LAsin0t = A0/(s2+ 02)其拉氏变换式为(5)正弦作用Asin0t 。r(t)3.1.2 动态过程和稳态过程 瞬时响应和稳态响应在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。1 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。2 稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态

5、，表征系统输入量最终复现输入量的程度。3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。 系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，

6、此 后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破 坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。 稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。称动态过程。在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态

7、所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。 动态性能指标延迟时间 ：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快 峰值时间 ：响应曲线达到过调量

8、的第一个峰值所需要的时间。 动态性能指标调节时间 ：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%） 超调量 ：指响应的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比 或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。N 评价系统的阻尼程度。 振荡次数N 0 tts内,曲线穿越h(t)次数的一半3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a）所示的RC电路，其微分方程为 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环

9、节。 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。3.2.1 一阶系统单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由下式可知为 对上式取拉氏反变换，得 注*：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要tT时，输出c(t)就能达到其终值。 由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标： 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数

10、相同，即 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应当 对上式求拉氏反变换，得：因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 由于系统存在惯性，从 0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。 减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。 3.2.4 一阶系统的单位加速度响应 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表3-1一阶系统对典型

11、输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。3.3.1 二阶系统的数学模型R(s)（-） C(s)二阶系统的开环传递函数简化为：相应的闭环传递函数 为了使研究的结果具有普遍意义，可将上式表示为如下标准形式 自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼

12、比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程： 此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。特征根分析 （欠阻尼）特征根分析 （临界阻尼）此时s1,s2为一对相等的负实根。 s1=s2=-n特征根分析 （过阻尼）此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。特征根分析 （零阻尼）此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。S1,2= jn特征根分析 （负阻尼）此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。特征根分析 （负阻尼）此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应阻尼比是实际阻尼系数与临界阻尼

13、系数的比值，两个正实部的特征根，位于右半S平面，发散，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统，为两个相等的根，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根(1)欠阻尼 ()二阶系统的单位阶跃响应令衰减系数 阻尼振荡频率对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为稳态分量 瞬态分量：稳态分量为1，表明该系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为阻尼振荡频率 包络线决定收敛速度时，这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为故称为无阻尼振荡频率。 由系统本身的结构参数确定 (2)临界阻尼()临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当

14、时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程， 二阶系统的单位阶跃响应(3)过阻尼( ) 02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82z=00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0z=21.5wntC(t)表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标欠阻尼情况在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取 其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示如,可采用近似算法。 在式 令，在较大的值范围内，近似有

15、 时，亦可用中 ，求得 一定，即一定， ,响应速度越快 对原始方程式求导，并令其为零，求得 ,根据峰值时间定义，应取 超调量在峰值时间发生，故即为最大输出 时，当时过渡过程时间（调节时间）的计算 正确表达调节时间ts 的关系式比较困难。在初步设计时，常采用下列近似公式计算当阻尼比 0.9 取5误差带时 ts=3/n 取2误差带时 ts=4/n 振荡次数N的计算N ts/Td= ts/2tp取5误差带时 ts=3/n 有 取2误差带时 ts=4/n若已知考虑到则N与的关系为：取2误差带时取5误差带时阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下,瞬态特

16、性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。总结在欠阻尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。 越大，（当 一定时）为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8， 则超调量在25%1.5%之间。先根据的要求求出再根据对等指标的要求确定3.3.4 二阶系统举例设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。输入：单位阶跃系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：系统的闭环传递函数：与标准的二

17、阶系统传递函数对照得：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：无系统在单位阶跃作用下的响应曲线小结j0j0j0j0j03.3.5 二阶系统的单位冲激响应通过将二阶系统的单位阶跃响应对时间求导，得出其在各种情况下的单位冲激响应。欠阻尼时的单位冲激响应：无阻尼时的单位冲激响应：临界阻尼时的单位冲激响应：过阻尼时的单位冲激响应：3.3.6 二阶系统的单位斜坡响应1. 欠阻尼时的单位斜坡响应：进行反拉氏变换：3. 过阻尼时的单位斜坡响应：2. 临界阻尼时的单位斜坡响应：二阶系统的单位斜坡响应由稳态分量和瞬态分量组成。瞬态分量为：输入信号与输出信号之差为：说明二阶系统的单位斜坡响应与输入信号

18、之间存在误差。其中，稳态分量为：小结典型输入作用及其之间的关系瞬态过程和稳态过程瞬态过程的性能指标（动态性能指标）一阶系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位冲激响应典型二阶系统的单位阶跃响应无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统典型二阶系统的动态性能指标二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的.第二，初始条件为零。3.4 高阶系统的时间响应概述定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。设高阶系统闭环传递函数的一般形式为将上式的分子与分母进行因式分解，可得： 将式（3-47）用部分分式展开，得 由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成 输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。 闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。 闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号