矩阵的特征值和特征向量二次型

1、矩阵的特征值和特征向量二次型第1页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五实验目的1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性第2页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五一、特征值与特征向量 第3页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第4页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计

2、算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)计算矩阵A的迹第5页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例1：求方阵的特征值、特征向量和迹解： A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; V D=eig(A) trace(A)第6页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000 trace(A)ans = 12第7页，共58页，2022年，

3、5月20日，9点22分，星期五答：特征值为：第8页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第9页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例2：求方阵的特征值、特征向量和迹解： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) trace(A)第10页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五二、矩阵的相似对角化第11页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。第12页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五解(1)： A=4

4、6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 3答：A可对角化，且V = 0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0D = 1 0 0 0 -2 0 0 0 1第13页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 2答：A不可对角化。解(2)：V = 0 0.6325 0.4511 0 0.6325 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701D = 1 0 0 0 1 0 0 0

5、 1第14页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。第15页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五function y=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; return;ende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e)return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); g=n-rank(A-d*eye(n); if f=g y=0; return;

6、end e(find(abs(e-d)10*eps)= ;end第16页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五function y=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; returnende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e) %若为空阵则为真第17页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); %特征值d的代数重数 g=n-rank(A-d*eye(n); %特征值d

7、的几何重数 if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d) A=4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2 trigle(A)ans = 0 A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1 ;1 1 1 1; trigle(A)ans = 1答：A不可对角化。 P D=eig(A)解(2)：第20页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五答：A可对角化，且P = -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.2113 0.5000 -0.5774 -0.2

8、887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0D = -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000第21页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五二、 二次型化标准型第22页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第23页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例5：判断下列矩阵是否对称A=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0;B=A;if(A=B) fprintf(A是对称矩阵)else if(A=-B) fprintf(A是反对称矩阵) else fpr

9、intf(A既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵) endendA是对称矩阵解：第24页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第25页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五Matlab中二次型化成标准形的命令为： P , T = schur (A)其中： A 二次型矩阵(即实对称矩阵)； T 为 A 的特征值所构成的对角形矩阵； P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵 ， P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量 P , T = eig (A)第26页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例6：求一个正交变换，将二次型解：该二次型所对应的矩阵为化成标

10、准形第27页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 A = 1 1 0 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1;-1 0 1 1; P , T = schur (A)P = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000 P , T = eig (A)第28页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五T = -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0

11、 0 3.0000答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：第29页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例7：求一个正交变换，将二次型解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形第30页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 A = 4 2 2;-2 1 1/2;2 1/2 1; P , T = schur (A)P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859第31页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0

12、 5.8423答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：第32页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五三、 正定二次型的判定第33页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第34页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1. 顺序主子式判断法 求二次型 F=XAX 的矩阵 A 的各阶顺序 主子式 Di (i=1,2,3.); 判断 Di 是否大于0 . 程序：建立函数文件 shxu.m第35页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五function C,M =shxu(A)% C为A的各阶顺序主子式组成的向量% M为判定向量: if C(

13、i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C= ; M= ; for i=1:n(1) A1=A(1:i,1:i); D=det(A1); C=C D; if D0 m=1; else m=0; end M=M,m; end 第36页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五2、特征值判别法 求二次型 f =XAX 的矩阵 A 的全部特征 值 （i=1,2,）； 判断 是否大于 0 .程序：建立函数文件 tezh.m第37页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 function T , M = tezh (A) n=

14、size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; else m=0; end M=M,m; end第38页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例8 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵第39页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法一 顺序主子式 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1第40页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法二 特征值

15、法 T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 T , M = tezh (A)答：此二次型是正定的。 第41页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例9 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵第42页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法一 顺序主子式 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 9 1134 6174 M = 1 1 1 第43页，共58页

16、，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法二 特征值法 T = 0.6576 65.0894 144.2530M = 1 1 1 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; T , M = tezh (A); 答：此二次型是正定的。 第44页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例10 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵第45页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法一 顺序主子式 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; C,M = shxu (A)答：此二次型不是正定的。 C = 10 4 -3588M = 1

17、 1 0第46页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法二 特征值法T = -17.4209 10.1708 20.2501M = 0 1 1 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; T , M = tezh (A)答：此二次型不是正定的。 第47页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第48页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五function C,M =shxuf(A)% C为A的各阶顺序主子式组成的向量% M为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; if C(i)0 m=1; elseif D0 m=

18、-1； else m=0; end M=M,m; end 第49页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 function T , M = tezhf (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; elseif T(i) A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; C,M = shxuf (A)答：此二次型是负定的。 C = -1 2 -6 24M = -1 1 -1 1第53页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五方法二 特征值法T = -22.1991 -7.4945 -2.2421 -0.0643M = -1 -1 -1 -1 A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; T , M = tezhf (A)答：此二次型是负定的。 第54页，共58页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1、已知矩阵(1) 求矩阵A的特征值;(2) 求矩阵A的特征值对应的全部特征向量. 习题第55页，共58页，2