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文档简介

1、第三节 格林公式及其应用一、格林(Green)公式二、积分与路径无关三、二元函数的全微分求积四、小结、思考题、作业一、格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD1、区域的连通性分类2、格林公式定理1注1. 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知3、简单应用一、简化曲线积分的计算例1其中L为圆周解由格林公式有对称性的正向.对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时

2、,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性; (2) 曲线L是封闭的,并且取正向.例2. 计算分析但由可知非常简单.其中AO是从点的上半圆周到点此积分路径不是闭曲线!为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的由格林公式解的方程为故所以,解yxoxyoLxyo(注意格林公式的条件)2. 简化二重积分xyo3. 计算平面面积解小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3. 格林公式的应用.格林公式; 若区域 如图为复连通域，试描述格林公式

3、中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：Gyxo二、曲线积分与路径无关BA如果在区域G内有1、曲线积分与路径无关的定义显然：积分与路径无关等价于在G内沿任意封闭曲线的积分等于零.2、曲线积分与路径无关的条件定理2两条件缺一不可有关定理的说明：例 (课本例6)例 (课本例8)三、二元函数的全微分求积考虑表达式如果存在一个函数使得则称并将全微分式,为一原函数. 由例可知:都是分别是上面的原函数.全微分式.定理3 下面说明一般怎样求原函数判断全微分式必要性. 由设P、Q的偏导数连续,因而即设存在某一函数证于是连续.所以使得充分性.设已知条件 由定理2可知:当起点M0(x0,

4、y0)固定时,在G内恒成立.则于是把曲线积分写作:上述积分x, y的函数, 记为即曲线积分在区域G内与路径无关.M(x,y).起点为M0(x0,y0), 终点为M(x,y)的此积分的值取决于终点 下面证明函数u(x,y)的全微分就是:因为P(x,y),Q(x,y)都是因此只要证明(1) 偏导数定义,(3) 积分中值定理.(2) 曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点:连续的.注：D(x0 , y)或原函数积分表示例 (P161例10)判断求法曲线积分法不定积分法分组凑微法例6问 是否为全微分式?求其一个原函数.如是,解在全平面成立所以上式是全微分式. 因而一个原函数是：全平面为单连通域，法一(x,y)这个原函数也可用下法“分组”凑出:法二因为函数u满足故从而所以,问 是否为全微分式?求其一个原函数.如是,由此得y的

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