二面角辅导讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业学生： 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师： 时间：20 14 年 月 日 时段课题二面角的求法教学目标熟悉找平面角的方法。熟悉三垂线法。熟悉射影面积法。重点、难点三垂线法与射影面积法的应用考点及考试要求二面角教学内容知识框架二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景

2、，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。PBCAEFDPBCAEFD解：过PC上的点D分别作DEAC于E，DFBC于F，连EF.EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，PCA=PCB=600，CE=CF=2a，DE=DF=，又ACB=900，

3、EF=，EDF=ABCNMPQ1. 在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=ABCNMPQPPOBA2. 如图，已知二面角-等于120，PA，A，PB，B，求APB的大小。 3. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。解：如图，PA平面BD，过A作AHBC于H，连结PH，则PHBC 又AHBC，故PHA是二面角P

4、-BC-A的平面角。在RtABH中，AH=ABsinABC=aSin30=；在RtPHA中，tanPHA=PA/AH=，则PHA=arctan2.CBMBCBMBAPNK6. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BCPC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。CDPCDPMBA8. 如图，已知ABC中，ABBC，S为平面ABC外的一点，SA平面ABC，AMSB于M，ANSC于N,(1)求证平面SAB平面SBC (2)求证ANM是二面角ASCB的平面角.AABCMNS9. 第8题的变式：如上图，已知ABC中

5、，ABBC，S为平面ABC外的一点，SA平面ABC，ACB600，SAACa，(1)求证平面SAB平面SBC (2)求二面角ASCBC的正弦值.ABCDA1B1C1D1EO10. ABCDA1B1C1D1EO11. 如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1= eq r(2)，求：二面角A1ABB1的大小。图4图4B1AA1BL EF三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA

6、平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。解：（垂面法）如图，PA平面BDBDAC BDBC过BD作平面BDHPC于HPCDH、BH BHD为二面角B-PC-D的平面角。因PB=a,BC=a,PC=a,PBBC=SPBC=PCBH则BH=DH，又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD，又0BHD ，则BHD=，二面角B-PC-D的大小是。PlCBA12. 空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.PlCBAABCSDABCSDII. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )四、射影面积法：利用面积射影公式S射S原co

7、s,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。解：（面积法）如图，同时，BC平面BPA于B ，故PBA是PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为，则cos= =45AHMD1C1B1A1BCDAHMD1C1B1A1BCD15. 如图，与所成的角为600，于C，于B，AC3，BD4，CD2，求A、B两点间的距离。AAlDCAlBCEBD 基础练习1.二面角是指（ ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从

8、一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2平面与平面、都相交，则这三个平面可能有（ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线 D 1条或2条或3条交线3在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( ) A 5 B 20 C D4下面四个命题中错误命题的个数是（ ）没有公共点的两条直线是异面直线；平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线；和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线；和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。 A 1 B 2 C. 3 D 45若直线是异面直线，与也是异面直线，则直线与的位置关系是（ ）A平行或异面 B相交，平行或异面C异面或相交 D异面6正方体中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和的中点，那