离散3同态同构

1、主要内容：代数系统的基本概念代数系统间的关系同态同构的基本概念同态同构的性质1设S为非空集合，*1,*2,*n为S上的代数运算， 称 为一个代数系统/代数结构， S为该代数系统的定义域。有限代数系统：若S是有限集，其中|S|称为该系统的阶。例7：, , 其中: 7.1 代数运算与代数系统 4. 代数系统 时钟代数,称1为生成元。子代数。27.2 同态与同构 1. 基本概念(1)同类型：设A=和A=是两个代数系统, 如果iN(1in),*i和*i是同阶运算,则称A和A是同型的。例1: 和同型，其中：+m和m分别定义为： i,jNm, i+mj=(i+j)mod m imj=(ij)mod m 和

2、？ 和？运算个数和相应的阶都相同保持运算：设*和*分别是集合S,S上的n元运算，函数h:SS, 如果a1,anS,都有：h(*(a1,an)=*(h(a1),h(an), 则称h关于*和*保持运算。SSa1anh(a1)h(an)h:SSa*a*=h(a)例2:定义h:INm h(i)=i mod m 则h关于例1中的+和+m保持运算， i,jI,设i=q1m+r1,j=q2m+r2(q1,q2N,0r1,r2m),则h(i+j)=h(q1m+r1+q2m+r2)=h(q1+q2)m+(r1+r2)=(r1+r2)mod m=h(i)+mh(j)同态同构例3=r1+mr237.2 同态与同构

3、1. 基本概念(2)同态和同构：设A=和A=是同型的代数系统， 函数h:SS，如果iN(1in),h关于*i和*i都保持运算，则称 h为从A到A的同态映射，并称A和A同态。特别地(1) 若h单射，则称h为单一同态映射，称A和A单一同态；(2) 若h满射，则称h为满同态映射，称A和A满同态，用AA表示；(3) 若h双射，则称h为同构映射，称A和A同构，用AA表示；(4) 若A=A，则称h为自同态；(5) 若A=A且h双射，则称h为自同构；如例1中， h: INm h(i)=i mod m 满射且关于+和+m, 和m保持运算。P14847.2 同态与同构 1. 基本概念(3)例3：证明: 定义：h

4、:RR+, h(x)=ex (xR)（1） h是R到R+的函数， xR,都有R+中唯一的元素ex与之对应；（2） h双射， yR+，有lnyR, 使h(lny)=elny=y h满射 又 x1,x2R，当x1x2时, h单射（3） h关于+和保持运算， x1,x2R，=h(x1)h(x2) h是到的同构映射 2个系统间的同态/同构映射是否唯一？P149 例7.2.4,如何证明hk是自同态/自同构?5 7.2 同态与同构 2.同态同构的性质(1)定理7.2.1:设f为从A=到A=的同态映射， g为从A=到A=的同态映射，则 gof是从A到A的同态映射。证明：由合成函数的性质知： gof是从S到S

5、的函数。 iN(1in), a1,aniS, (其中：ni为*i的阶） gof(*i(a1,ani)=g(f(*i(a1,ani) =g(*i(f(a1),f(ani)=*i(g(f(a1),g(f(ani) f为从A到A的同态映射 g是从A到A的同态映射=*i(gof(a1),gof(ani)gof关于*i和*i(1in）保持运算，是从A到A的同态映射。6 7.2 同态与同构 2.同态同构的性质(2)定理7.2.2 设f为从A=到A=的同构映射， 则f-1是从A到A的同构映射。需证：iN(1in), a1,aniS, (其中：ni为*i的阶） f-1(*i(a1,ani)=*i(f-1(a1), f-1(ani)证明： f是从A到A的同构映射， f是从S到S的双射函数 a1,aniS, 有a1,aniS，使f(a1)=a1 ,f(ani)=ani 即 f-1(a1)=a1 , f-1(ani)=ani f-1(*i(a1,ani) = f-1(*i(f(a1),f(ani) = f-1(f(*i(a1,ani)f是从A到A的同构映射 =*i(a1,ani) = *i(f-1(a1), f-1(ani)7 7.2 同态与同构 2.同态同构的性质(3)代数系统间的同构关系具有自反、对称和传递性。