平面图与图的着色

1、平面图与图的着色第1页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三平面图 设G是一个平面图，由它的若干条边所构成的一个区域内如果不含任何结点及边，就称该区域为G的一个面或域。包围这个域的诸边称为该域的边界。为了讨论方便，我们把平面图G外边的无限区域称为无限域，其他的域都叫做内部域。如果两个域有共同的边界，就说它们是相邻的，否则是不相邻的。如果e不是割边，它一定是某两个域的共同边界。第2页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三平面图 设G是平面连通图，则G的域的数目是 d = m n + 2。 证明：G是连通图，有支撑树T，它包含n-1条边，不产生回路，因此对T来说只有

2、一个无限域。由于G是平面图，每加入一条余树边，它一定不与其他边相交，也就是说一定是跨在某个域内部，把该区域分成两部分。这样，加入G的m-n+1条余树边，就生成了m-n+2个域。第3页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三平面图 若平面图G有k个连通支，则 n m + d = k + 1。 对一般平面图G，恒有 n m + d = 2。第4页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三平面图 设平面连通图G没有割边，且每个域的边界数至少是t，则 m t (n - 2) / (t 2) 证明：设G有d个区域，每个域的边界数至少是t，且每条边都与两个不同的域相邻。因此td2

3、m。 代入欧拉公式： (2m / t) m - n + 2， 即， m t (n - 2) / (t 2)。第5页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三4.2 极大平面图 设G是n=3的简单平面图，若在任意两个不相连节点之间加入边就会破坏图的平面性，就称G 是极大平面图。性质1 G是连通的。性质2 G不存在割边。性质3 G的每个域的边界数都是3。第6页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三极大平面图定理 4.2.1 极大平面图G中有m=3n-6,d=2n-4。证明：由极大平面图性质4，3d=2m。代入欧拉公式d=m-n+2（性质1）。推论 4.2.1简单平面图满

4、足m=3n-6,d=2n-4。第7页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三极大平面图 例 4.2.1 若简单平面图G有6个节点12条边，则每个域的边界数都是3。 例 4.2.2若简单平面图不含K3子图，则有 m=2n-4。第8页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三极大平面图 定理 4.2.2 简单平面图G中存在度数小于6的结点。 例 4.2.3 节点数不超过11的简单平面图G一定存在度数小于5的节点。例 4.2.4 K7图不是平面图。 第9页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三4.3 非平面图如果图G不能嵌入平面，满足任意两边只能在结点处相交

5、，那么G就称为非平面图这样，按平面性质进行划分，图G分为两大类：可平面图和非平面图。第10页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三非平面图 是非平面图。 证明：在 中，n=5，m=10。如果它是可平面图，应该有m3n-6。而此时3n-6=9，矛盾。 是非平面图。 证明：假定 是可平面图，由于n= 6，m=9。由欧拉公式，d=5。但G中没有 子图，因此4d2m，亦即2018，矛盾。第11页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三非平面图约定 和 分别记为 和 图。 在 和 图上任意任意增加一些度为2的结点之后得到的图象为 型和 型图，统称为 型图。 是可平面图的充要

6、条件是 不存在 型图。第12页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三4.5 对偶图 满足如下条件的图G*称为G的对偶图。G中每个确定的域 内设置一个结点 。对域 和 的共同边界 ，有一条边 并与 相交一次。若 处于域 之内，则 有一自环 与 相交一次。 第13页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三对偶图 如果G是平面图，G一定有对偶图G*，而且G*是唯一的。 由D过程即可得证。 G*是连通图。 在平面G里，每个域f都存在相邻的域，而且对G的任何部分域来说，都存在与它们之中某个域相邻的域。这样由对偶图的定义可知G *连通。第14页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三对偶图 若G是平面连通图，那么 平面连通图G与其对偶图G*的结点，边和域之间存在如下的对应关系： m = m*，n = d*，d = n*。 第15页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三对偶图 若G是平面连通图的一个初级回路，S*是G*中与C的各边 对应的 的集合，那么S*是G*的一个割集。证明：把的域分成两部分，因此把G*的结点分成不连通的两部分，由性质4.5.2，G*两部分是分别连通的，因此那么S*是G*的一个割集。 第16页，共18页，2022年，5月20日，7点25分，星期三对偶