2020版高考数学大一轮复习课件第四章(打包7套)理新人教A版

1、第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数(全国卷5年1考)【知识梳理】1.任意角的概念(1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.端点(2)角的分类:按旋转方向分为_角、_角、_角;按终边位置分为_角、_角.(3)终边相同的角:与角终边相同的角的集合:S=|= _.正负零象限轴线+k360,kZ2.弧度制(1)弧度角:长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;1弧度=_.(2)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l,圆心角大小为(rad),半径为r,则l=_,扇形的面积为S=_=_.半径长r3.任意角的三角函数(1)定义:设是一个任

2、意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin =_,cos =_,tan =_.yx(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0),如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角的_、_和_.正弦线余弦线正切线【常用结论】1.明晰角的概念(1)第一象限角未必是锐角,但锐角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必终边不相同,终边相同的角也未必相等.2.角的应用的两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致,不能混用.3.三角函数值的符号口诀三角

3、函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.三角函数定义的推广设点P(x,y)是角终边上任意一点且不与原点重合,r=|OP|,则sin = ,cos = ,tan = .【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角,反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30.()(4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()提示:根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)均是错误的.答案:(1)(2)(3)(4)2.已知角的终边过点P(-1,2),则sin =() 【解析】选B.因为|O

4、P|= (O为坐标原点),所以sin = 3.已知扇形的圆心角为60,其弧长为2,则此扇形的面积为_.【解析】设此扇形的半径为r,由题意得 r=2,所以r=6,所以此扇形的面积为 26=6.答案:6题组二:走进教材1.(必修4P5T4改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k+45(kZ) B.k360+ (kZ)C.k360-315(kZ) D.k+ (kZ)【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,应为 +2k或k360+45(kZ).2.(必修4P20A组T2改编)已知角的终边过点P(-8m,-6sin 30)(m0),且cos =- ,则m的值

5、为()A.- B. C.- D. 【解析】选B.由P(-8m,-3)(m0)知点P位于第三或第四象限,又因为cos =- 0,又因为cos = ,所以m= .考点一象限角与终边相同的角【题组练透】1.设是第三象限角,且 则 是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为是第三象限角,所以+2k +2k(kZ),故 +k +k(kZ),当k=2n(nZ)时, +2n +2n(nZ), 是第二象限角,当k=2n+1时, +2n +2n(nZ), 是第四象限角,又 即cos 0,因此 是第二象限角.2.若角=45+k180,kZ,则角的终边落在()A.第一或第三象限

6、B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,=45+n360,此时为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n +1,=225+n360,此时是第三象限角,排除B;所以角的终边落在第一或第三象限.3.下列各角中,与角330的终边相同的是()A.150B.-390C.510D.-150【解析】选B.与角330的终边相同的角为=k360+330(kZ),令k=-2,可得=-390.4.(2018福州模拟)与-2 010终边相同的最小正角是_.【解析】因为-2 010=(-6)360+150,所以150与-2 010终边相同,又终边相同的两个角

7、相差360的整数倍,所以在0360中只有150与-2 010终边相同,故与-2 010终边相同的最小正角是150.答案:150【互动探究】若将题1中的条件“是第三象限角”变为“是第一象限角”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选C.因为是第一象限角,所以2k +2k(kZ),故k +k(kZ),当k=2n(nZ)时,2n 2n+ (nZ), 是第一象限角,当k=2n+1时,+2n +2n(nZ), 是第三象限角,又因为 即cos 0,故 是第三象限角.【规律方法】1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360范

8、围内的角和,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角,再加上360的整数倍,即得区间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k360+(0 360,kZ)的形式,即找出与已知角终边相同的角,再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角.【拓展】求 或n(nN*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到 或n(nN*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角的终边逆时针旋转180可得角+180的终边,类推可知+k1

9、80(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角.考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用【典例】(1)已知扇形的面积为2 ,扇形的圆心角的弧度数是 ,则扇形的周长为_.(2)已知扇形的圆心角为,所在圆的半径为r.若=120,r=6,求扇形的弧长;若扇形的周长为24,当为多少弧度时,该扇形面积S最大;并求出最大面积.【解析】(1)设扇形的弧长为l,半径为R,由题意可得: 解得:l=2 ,R=2,则扇形的周长为:l+2R=4+2 .答案:4+2 (2)因为=120=120 r=6,所以l=r= 6=4;设扇形的弧长为l,则l+2r=24,即l=24-2r(0r12).扇形的面积S= lr= (24

10、-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36,所以当且仅当r=6时,S有最大值36,此时l=24-26=12,所以= =2rad.【误区警示】切记在利用公式S= R2求扇形面积时的单位是弧度而并非度,因此本题解答过程中将120先化为了弧度,再代入公式求解.【规律方法】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】1.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一方田三三二:“今有宛田

11、,下周三十步,径十六步.问为田几何?”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是16步,问这块田的面积是多少(平方步)?()A.120B.240C.360D.480【解析】选A.由题意可得:S= 830=120(平方步).2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为() 【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长为 r,因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,所以圆弧的长度为 r,所以圆心角弧度为 考点三任意角三角函数的定义及应用【明考点知考法】 任意角三角函数的定义,是三角函数的最基本的概念,很多知识点都是在其基础之上派生出来的.试题

12、常以选择题、填空题形式出现,考查符号的判断、比较大小、解不等式及求值等问题.命题角度1三角函数值符号的判断问题【典例】sin 2cos 3tan 4的值()A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在【解析】选A.因为 2340,cos 30.所以sin 2cos 3tan 40.【状元笔记】三角函数值符号的判断方法(1)先分别判断每个三角函数值的符号.(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.命题角度2比较大小、解不等式问题【典例】函数y= 的定义域为_.【解析】由题意可得sin x- 0,即sin x .作直线y= 交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部

13、分含边界)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为答案: 【状元笔记】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置.(2)根据不等式组定出角的范围.(3)求交集,找单位圆中公共的部分.(4)写出角所满足的范围.命题角度3利用任意角三角函数定义求值问题【典例】已知角的终边经过点P(- ,m)(m0)且sin = m,试判断角所在的象限,并求cos 和tan 的值.【解析】由题意得r= ,所以sin = = (m0),所以m= ,故角是第二或第三象限角.当m= 时,r=2 ,点P的坐标为 所以 当m=- 时,r=2 ,点P的坐标为 所以 综上可知,cos =- ,ta

14、n =- 或cos =- ,tan = .【状元笔记】用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.【对点练找规律】1.点A(sin 2 018,cos 2 018)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.2 018=5360+218,为第三象限角,所以sin 2 018=sin 2180,cos 2 018=cos 2180,所以点A在第三象限.2.若 从单位圆中的三角函数线观察s

15、in ,cos ,tan 的大小是()A.sin tan cos B.cos sin tan C.sin cos tan D.tan sin OMMP,故有sin cos tan .3.(2018资阳模拟)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,1),则tan 2=() 【解析】选A.因为角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(2,1),所以tan = ,因此tan 2= 数学能力系列9现实生活中数学建模的核心素养【能力诠释】数学建模就是根据实际问题来建立数学模型,对数学模型来进行求解,然后根据结果去解决实际问题.【典例】如图,某大型水上乐

16、园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着 修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为 上的动点,EFAB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.(1)若EF=80米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.【解

17、析】(1)如图,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连O1E,O2F,则ME=20米,O1M=20 米.梯形O1O2FE的面积为 (120+80)20 =2 000 (平方米),矩形AO1O2B的面积为12040=4 800平方米,由AO1E= ,得扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为 1 600= 平方米,故阴影部分面积为 平方米.(2)设AO1E=, ,则 =40,所以EF=120-240sin =120-80sin ,修建费用f()=20080+400(120-80sin )=16 000(+3-2sin ),所以f()=16 000(1-2cos ),令f()=0,得= ,当变化时

18、,f()、f()的变化情况如下表: f()-0+f()极小值由上表可得当= ,即AO1E= 时,f()有极小值,也为最小值.故当AO1E为 时,修建费用最低.【即时训练】在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间最短,问哪一种方案最优?【解析】因为AOB是顶角为120、腰长为2的等腰三角形,所以A=B=30= ,AM=BN=1,AD=2,所以方案一中扇形的弧长=2 ;方案二中扇形的弧长=1 方案一中扇形的面积= 22 ,方案二中扇形的面积= 由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切割时间短.因此方案一

19、最优.第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式(全国卷5年8考)【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:_.(2)商数关系:_.sin2x+cos2x=12.三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k+(kZ)+- - +正弦sin _余弦cos _正切tan _-sin -sin sin cos cos -cos cos -cos sin -sin tan -tan -tan 【常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )2=12sin cos ;sin =tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与

20、不变指函数名称的变化.3.给角求值的基本原则负化正,大化小,化到锐角为终了.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若,为锐角,则sin 2+cos2=1.()(2)若R,则tan = 恒成立.()(3)sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角. ()(4)若sin(k-)= (kZ),则sin = .()【解析】(1).根据同角三角函数的基本关系式知当,为同角时才正确.(2).当cos 0时才成立.(3).根据诱导公式知为任意角.(4).当k为奇数和偶数时,sin 的值不同.2.已知sin = ,则cos =() 【解析】选B.cos =-sin =-

21、.3.已知cos(+)= ,则tan =() 【解析】选C.因为cos(+)= ,所以cos =- ,则为第二或第三象限角,所以sin = 所以tan = 题组二:走进教材1.(必修4P20练习T1改编)已知sin = , ,则tan =()A.-2B.2C. D.- 【解析】选D.因为cos = 所以tan = 2.(必修4P20T4改编)化简 =_.【解析】 =sin 2.答案:sin 23.(必修4P23推导改编)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin = ,则sin =_.【解析】因为角与角的终边关于y轴对称,所以=2k+-,kZ,所以sin

22、= 答案: 【误区警示】在表示角与角的关系时,易错误地写成=-.考点一同角三角函数基本关系式的应用【题组练透】1.已知cos =k,kR, ,则sin =() 【解析】选B.由cos =k,kR, ,可知k0),OP=1,所以 =1,得y= ,由三角函数定义可知sin = 【巧思妙解】(排除法)选B.因为 ,所以sin 0,排除A,C,又-1k1,故排除D.【互动探究】若将题中的“cos =k,kR, ”换为“sin =k,kR, ”,如何求cos 呢?【解析】因为 ,所以cos 0,cos =3sin -1,cos2=1-sin2=(3sin -1)2,sin = ,所以cos -2sin

23、=3sin -1-2sin =sin -1=- .3.已知tan =2,求 的值.【解析】原式= 【答题模板微课】整体代换法在化简求值中的模板化过程,题3的求解过程可模板化为:建模板:“ ”,原式变形“因为tan =2,所以原式= ”,整体代换“即原式= ”化简求值套模板:已知tan x= ,则 =_.【解析】因为 ,原式变形又因为tan x= ,所以原式= = , 整体代换即原式= = .化简求值答案:- 【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2+cos2=1可实现的正弦、余弦的互化,利用 =tan 可以实现角的弦切互化.(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外

24、两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.(3)分式中分子与分母是关于sin ,cos 的齐次式,往往转化为关于tan 的式子求解. 考点二诱导公式的应用【典例】(1)若 则 的值为_.(2)设f()= (1+2sin 0).化简f();若=- ,求f()的值.【解析】(1)因为 所以 答案: (2)f()= 当=- 时,f()= 【规律方法】1.诱导公式的两个应用(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.2.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可

25、知,在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5-)=cos(-)=-cos .【拓展】三角形中的三角函数关系式sin(A+B)=sin(-C)=sin C;cos(A+B)=cos(-C)=-cos C;tan(A+B)=tan(-C)=-tan C; 【对点训练】1.计算:sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)+tan 945=_.【解析】原式=-sin 120cos 210+cos 60sin 30+tan 225= +1=2.答案:22.化简: 【解析】原式答案:- 考点三同角关系及诱导公式的灵活应用

26、【明考点知考法】 同角三角函数关系式,是使用频率较高的三角函数公式,很多题型都是在其基础之上派生出来的.试题常以选择题、填空题形式出现,考查整体代换、诱导公式的综合应用、利用sin cos 与sin cos 之间的关系求值等问题.命题角度1整体代换问题【典例】已知2sin -cos =0,则sin2-2sin cos 的值为() 【解析】选A.由已知2sin -cos =0得tan = ,所以sin2-2sin cos = 【状元笔记】弦切互化法:主要利用公式tan x= 进行切化弦或弦化切,如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.命题角度2利用sin co

27、s 与sin cos 之间的关系求值 【典例】(2018潍坊模拟)若(0,),sin(-)+cos = ,则sin -cos 的值为 () 【解析】选C.由诱导公式得sin(-)+cos =sin +cos = ,平方得(sin +cos )2=1+2sin cos = ,则2sin cos =- 0,所以sin -cos = .【状元笔记】完全平方式转换法:对于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以知一求二.命题角度3同角关系和诱导公式的综合应用【典例】已知是第四象限角,且则tan =_.【解析】因为是第四象限

28、角,且 所以+ 是第一象限角,所以 所以 所以 答案:- 【状元笔记】巧用“1”的变换1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2 =tan =.【对点练找规律】1.若3sin +cos =0,则 的值为() 【解析】选A.3sin +cos =0,则tan = 2.已知- 0,sin +cos = ,则 的值为() 【解析】选B.因为- 0,sin 0,因为(sin +cos )2+(cos -sin )2=2,所以(cos -sin )2=2-(sin +cos)2=2- = ,cos -sin = ,cos2 -sin2= 所以 的值为 .3.化简 =_.【解析】因为sin

29、(-3)=sin 3,cos(+3)=-cos 3,所以原式= =|sin 3-cos 3|,又因为 30,cos 30,故原式=sin 3-cos 3.答案:sin 3-cos 3思想方法系列8分类整合思想在三角函数中的应用【思想诠释】分类整合思想是指在解决一个问题时,无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决,这就是分类整合思想.【典例】已知A= (kZ),则A构成的集合是()A.-1,1,-2,2B.1,-1C.2,-2D.-2,-1,0,1,2【解析】选C.当k为偶数时,sin(k+)=sin ,cos

30、(k+)=cos ,原式的值为2;当k为奇数时,sin(k+)=-sin ,cos(k+)=-cos ,原式的值为-2.【技法点拨】(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数还是偶数进行讨论.【即时训练】kZ时, 的值为 ()A.-1B.1C.1D.与取值有关【解析】选A.当k为奇数时,当k为偶数时, 第三节三角函数的图象与性质(全国卷5年11考) 【知识梳理】1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数y=sin xy=cos xy=tan x图象 函数y=sin xy=cos xy=tan x定

31、义域RR_ 值域_R周期性2_奇偶性_奇函数-1,1-1,12奇函数偶函数函数y=sin xy=cos xy=tan x递增区间 _ 递减区间_ _无-+2k,2k2k,+2k2.周期函数(1)前提:对于函数f(x),存在一个_T;当x取定义域内每一个值时,都有_.(2)结论:周期:非零常数T;最小正周期:所有周期中存在一个_.非零常数f(x+T)=f(x)最小的正数【常用结论】1.正弦函数与余弦函数图象的五个关键点y=sin x,x0,2,y=cos x,x0,2的五个关键点是零点和极值点(最值点).2.一个关注点求函数y=Asin(x+)的单调区间时,应注意的符号,只有当0时,才能把x+看

32、作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误.3.求周期的三种方法(1)利用周期函数的定义:f(x+T)=f(x).(2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期为 ,y=tan(x+)的最小正周期为 .(3)利用图象:图象重复的x轴上一段的长度.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)正切函数y=tan x在定义域内是增函数()(2)已知y=ksin x+1,xR,则y的最大值为k+1()(3)y=sin |x|是偶函数()(4)由 知, 是正弦函数y=sin x(xR)的一个周期()提示:根据三角函数的图象与性

33、质知(1)(2)(4)是错误的,(3)是正确的.答案:(1)(2)(3)(4)2.最小正周期为且图象关于直线x= 对称的函数是() 【解析】选B.由函数的最小正周期为,排除C:由函数图象关于直线x= 对称知,该直线过函数图象的最高点或最低点,对于B,因为 =1,所以选B.3.若函数f(x)=2sin (0)的最小正周期为 ,则 的值为_.【解析】因为函数f(x)=2sin (0)的最小正周期为 ,所以 ,即=4,所以f(x)=2sin ,所以 答案:04.函数f(x)=sin 的单调递增区间是_.【解析】令 kZ,得k- x +k,kZ,故函数f(x)的单调递增区间是 ,(kZ).答案: ,(

34、kZ)题组二:走进教材1.(2017全国卷)函数f(x)= 的最小正周期为() (源于必修4P35例2)A.4B.2C.D. 【解析】选C.由题意T= =.2.(必修4P45T3改编)函数y=tan 2x的定义域是() 【解析】选D.由2xk+ ,kZ,得x kZ,所以y=tan 2x的定义域为 3.(必修4P38例3改编)函数y=3-2cos 的最大值为_,此时x=_.【解析】函数y=3-2cos 的最大值为3+2=5,此时x+ =+2k,kZ,即x= +2k(kZ).答案:5 +2k(kZ)考点一求三角函数的定义域、值域(最值)问题【题组练透】1.函数y=lg sin x+ 的定义域为_.

35、【解析】要使函数有意义,则有 即 解得 所以2k0)在区间 上是增函数,则的取值范围是_.(2)已知函数f(x)=-4sin -1,g(x)=f 且lg g(x)0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)因为x (0),所以x ,因为f(x)=2sin x在 上是增函数,所以 答案: 【一题多解微课】【一题多解】本例(1)还可以采用以下方法:(数形结合法)画出函数f(x)=2sin x(0)的图象如图所示.要使f(x)在 上是增函数,答案: (子集法)由- +2kx +2k(kZ)得故f(x)的单调递增区间是(kZ),由题意 (kZ,0),从而有 答案: (2)由题意得,g(x)= =4sin

36、-1,又由lg g(x)0,得g(x)1,所以4sin -11,所以 所以 其中当 时,g(x)单调递增,即k0中对x取值范围的限制而导致单调区间求错.【互动探究】 若本例(2)的条件改为g(x)= 求g(x)的单调递增区间.【解析】g(x)= 欲求函数g(x)的单调递增区间,只需求y=cos 的单调递减区间.由2k2x- 2k+,kZ,得k+ xk+ ,kZ.故函数的单调递增区间为 (kZ).因为x ,所以函数g(x)的单调递增区间是 【规律方法】1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用复合函数的单调性列不等式求解.

37、(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.2.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.(2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.(3)周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解.提醒:要注意求函数y=Asin(x+)的单调区间时的符号,若0,0), =0且f(x)在(0,)上单调.下列说法正确的是()A.= B. C.函数f(x)在 上单调递增D.函数y=f(x)的

38、图象关于点 对称【解析】选C.由题意得函数f(x)的最小正周期为T= ,因为f(x)在(0,)上单调,所以 ,解得01.因为 所以 所以f(x)=2sin .对于选项A,显然不正确.对于选项B, 故B不正确.对于选项C,当-x- 时,0 所以函数f(x)在 上单调递增,故C正确.对于选项D, 0,所以点 不是函数f(x)图象的对称中心,故D不正确.2.已知函数f(x)=2sin ,设 c=f ,则a,b,c的大小关系是_.【解析】f(x)= a= b= c= 因为y=sin x在 上单调递增,且 所以 即cab.答案:ca0)的周期为 ,函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解.命题角度2

39、 三角函数的奇偶性【典例】将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 ()A. B. C.0D.- 【解析】选B.将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移 个单位,得到函数y=sin =sin ,因为此时函数为偶函数,所以 += +k,kZ,即= +k,kZ,当k=0时,= .【状元笔记】奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x的形式,而偶函数一般可化为y=Acos x+b的形式.命题角度3三角函数的图象及其对称性【典例】函数f(x)=Asin(x+) 的图象关于直线x= 对称,它的最小正周期为

40、,则函数f(x)图象的一个对称中心是 () 【解析】选B.由题意可得 =,所以=2,可得f(x)=Asin(2x+),再由函数图象关于直线x= 对称,故 =A,故可取=- .故函数f(x)=Asin ,令2x- =k,kZ,可得x= ,kZ,故函数的对称中心为 kZ.故函数f(x)图象的一个对称中心是 .【状元笔记】解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.提醒:对于函数y=Asin(x+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.【对点练找规

41、律】1.函数y=(sin 2x-cos 2x)2的最小正周期是()A.2B.C. D. 【解析】选C.由函数y=(sin 2x-cos 2x)2=sin22x+cos22x-2sin 2xcos 2x=1-sin 4x,所以函数的最小正周期为T= 2.已知函数f(x)=sin(x+)+ cos(x+), 是偶函数,则的值为() 【解析】选B.因为f(x)=2sin 是偶函数,所以 即= +k(kZ),又因为 故= .3.已知函数f(x)= sin x+cos x(0)最小正周期为,则函数f(x)的图象()A.关于直线x= 对称B.关于直线x= 对称C.关于点 对称D.关于点 对称【解析】选D.

42、化简可得f(x)= 由周期公式可得 =解得=2,故f(x)=2sin .由 kZx= kZ,可得A,B错误,令2x+ =k,kZ,可得对称中心横坐标为x= kZ,令k=1得x= ,所以函数f(x)的图象关于点 对称.数学能力系列10三角函数问题中的数形结合求解能力【能力诠释】指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题.【典例】 (2017全国卷)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称C.f(x+)的一个零点为x= D.f(x)在 内单调递减【解析】选D.当x 时, 函数在该区间内不单调.

43、【技法点拨】三角函数对称轴,对称中心的求法对于可化为f(x)=Acos (x+)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令x+=k(kZ),求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令x+=k+ (kZ),求x即可.【即时训练】函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0, | )的部分图象如图所示,若方程f(x)=a在x 上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()【解析】选B.由图可知,函数周期等于,所以=2,A= ,f(x)= sin(2x+)过点 ,所以2 += +2k,kZ,所以= +2k,因为| ,所以= , 所以f(x)= 在同一坐标系中画出f(x)= 其中x 和直线y

44、=a的图象,如图所示:结合图形可知当 时,直线y=a与曲线f(x)有两个不同的交点,方程有2个不同的实数根,则a的取值范围为 第四节函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用(全国卷5年6考)【知识梳理】1.y=Asin(x+)的有关概念y=Asin(x+)(A0,0),xR振幅周期频率相位初相AT=_ f= =_ _x+2.“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的五个关键点x_x+_y=Asin(x+)0A0-A0023.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(x+) (A0,0)的图象的两种途径【常用结论】1.两种图象变换的区别由y=sin x的图象变换到y=As

45、in(x+)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (0)个单位长度.2.由图象求解析式的三种必会方法(1)直接法:如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数表达式y=Asin(x+)中的参数A和,再选取“第一零点”的数据代入“x+=0”求得.(2)五点法:通过若干特殊点代入函数式求解,依据是五点法.(3)逆向思维法:运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”错误的打“”)(1)将函数y=3sin 2x的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式

46、是y=3sin .()(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y=Acos(x+)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .()提示:根据y=Asin(x+)的图象与性质知(1)(2)是错误的,(3)是正确的.答案:(1)(2)(3)2.函数g(x)的图象是由f(x)=sin 的图象向左平移 个单位得到,则g(x)的一条对称轴方程是() A.x=- B.x= C.x=- D.x= 【解析】选A.将图象向左平移 个单位后解析式为y=sin ,令2x+ = +k (kZ),解得:x=- (kZ),对k赋值,当k=0时,x=

47、- ,即为一条对称轴方程.3.将函数f(x)=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移 个单位长度得到y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的单调递增区间为 ()【解析】选C.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),可得y=sin 2x的图象,再将所得图象向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x)= 的图象,令2k- 2x- 2k+ ,求得k- xk+ ,可得函数的递增区间为 ,kZ.题组二:走进教材1.(必修4P57习题1.5T1(2)改编)为了得到y=3cos 的图象,只需把y=3cos 图象上的所有点的 ()A.纵坐标伸长到

48、原来的3倍,横坐标不变B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变D.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变【解析】选D.因为变换前后,两个函数的初相相同,所以只需把y=3cos 图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,即可得到函数y=3cos 的图象.2.(必修4P56练习T3改编)已知函数f(x)=2sin 的图象经过点(0,1),则该函数的振幅为_ _,周期T为_,频率为_ _,初相为_.【解析】振幅A=2,T= =6,f= ,因为图象过点(0,1),所以1=2sin ,所以sin = ,又|0,0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T= ,所以=

49、,所以y= 因为当x=1时,y=6,所以6= 结合表中数据得 +=2k,kZ,可取=- ,所以y= 答案:y= 考点一函数y=Asin(x+)的图象及图象变换【题组练透】1.(2017全国卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin 则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原

50、来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2【解析】选D.C1:y=cos x,C2:y= 首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y=cos x用诱导公式处理.y=cos x=cos =sin .横坐标变换需将=1变成=2,即y=sin 注意的系数,在左右平移时需将=2提到括号外面,这时x+ 平移至x+ ,根据“左加右减”原则,“x+ ”到“x+ ”需加上 ,即再向左平移 .【误区警示】平移变换和伸缩变换都是针对x而言只要平移|个单位都是相应的解析式中的x变为x|,而不是x变为x|.2.若将函数y=2cos x(sin x+cos x)-1的图象向左平移

51、个单位,得到的函数是偶函数,则的最小正值是() 【解析】选A.化简函数:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2 x-1=sin 2x+cos 2x= 向左平移个单位可得y= 因为y= 是偶函数,所以2+ +k,kZ,= 由k=0可得的最小正值是 .3.已知函数f(x)=sin(x+)(0),若f(x)的图象向左平移 个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移 个单位所得的图象重合,则的最小值为_.【解析】函数f(x)=sin(x+)(0),把f(x)的图象向左平移 个单位所得的图象为y= 把f(x)的图象向右平移 个单位所得的图象为y= 根据题意可得y

52、= 和y= 的图象重合,故 求得=4k,故的最小值为4.答案:44.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的图象. 若y=g(x)图象的一个对称中心为 求的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据,得A=5,=2,=- . 数据补全如表:且函数解析式为f(x)=(2)由(1)知 f(x)= 得g(x)= 因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2- =k,kZ,解得x= -,kZ

53、.由于函数y=g(x)的图象关于点 成中心对称,令 解得= ,kZ. 由0可知,当k=1时,取得最小值 【互动探究】若题4中的表改为(1)求x1,x2,x3的值及函数f(x)的表达式.(2)将函数f(x)的图象向右平移(0)个单位长度,可得到函数g(x)的图象.若y=g(x)的图象的一条对称轴方程为x= ,求的最小值.【解析】(1)由 +=0, +=可得= ,=- .由 x1- = , x2- = , x3- =2,可得由Asin =2,得A=2,所以f(x)= (2)由f(x)=2sin 的图象向右平移个单位长度,得g(x)=2sin 的图象,因为y=g(x)的图象的一条对称轴方程为x= 所

54、以 解得=-2k- ,kZ,又0,所以当k=-1时,取得最小值 【规律方法】作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0, , ,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象的变换作图:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.考点二由图象求解析式【典例】(1)函数y=f(x)=Acos(x+)的部分图象如图所示,则A,的值为()A.1, B.-1, C.1,2, D.1,- (2)(

55、2018银川模拟)函数f(x)=2sin(x+)(0, xR)的部分图象如图所示,则该函数图象的一个对称中心是 () 【解析】(1)选A.由题图知,周期T= =2,A=1,所以 =2,所以=.由 += +2k,kZ,得= +2k,kZ,不妨取= .(2)选C.由题得T= 所以=2,所以f(x)=2sin(2x+).由于曲线经过点 ,所以2=2sin ,所以1=sin ,所以可令=- .所以f(x)=2sin ,令2x- =k,所以x= ,kZ,当k=-3时,x=- .所以函数图象的一个对称中心是 【答题模板微课】本例(1)的求解过程可模板化为:建模板:“由图象知T= =2,A=1”,由图象求T

56、与A“所以 =2,即=”, 求“由 += +2k(kZ)得= +2k(kZ),不妨取= ”.求套模板:已知函数y=f(x)=2sin(x+)(0,- )的部分图象如图所示,则,的值分别是()【解析】选A.由题图可知, ,即T=,求T所以 =,即=2, 求由2 += +2k(kZ)得=- +2k,kZ,又- 0,0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 (2)求,确定函数的周期T,则= (3)求,常用方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破

57、口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为x+= ;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x+=;“第四点”(即图象的“谷点”)为x+= ;“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=2.【对点训练】设函数f(x)=cos(x+)(0,- 0)的最小正周期为,且 (1)求和的值.(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0,上的图象.【解析】(1)因为T= =,所以=2,又因为f( )=且- 0,所以=- .(2)由(1)知f(x)= 列表描点,连线.考点三函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用【明考点知考法】 函数y=Asin(x

58、+)的图象和性质是在高考中必考的内容之一,试题常以选择题、填空题形式出现,考查三角函数模型的应用、方程根(函数零点)问题,以及图象与性质的综合应用等问题.命题角度1三角函数模型的应用【典例】如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ()A.5B.6C.8D.10【解析】选C.设水深的最大值为M,由题意结合函数图象可得 解得M=8.【状元笔记】三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.(2

59、)研究y=Asin(x+)的性质时可将x+视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.命题角度2方程根(函数零点)问题【典例】已知关于x的方程2sin2x- sin 2x+m-1=0在 上有两个不同的实数根,则m的取值范围是_.【解析】方程2sin2x- sin 2x+m-1=0m=2sin 要使原方程在 上有两个不同实根,函数 与y=m在 上有两个不同交点,如图,需满足1m2. 答案:1m2【状元笔记】方程根的个数问题可转化为两个函数图象的交点个数问题.命题角度3综合应用问题【典例】已知函数f(x)=2sin(2x+)(00,0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将x+看作一个整体

60、,可令“z=x+”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.【对点练找规律】1.函数f(x)=3sin 的零点的个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.函数f(x)零点个数即为y=3sin x与y= 交点个数,如图,函数y=3sin x与y= 有5个交点.2.函数f(x)=cos(2x+)(0)在区间 单调递减,在区间 上有零点,则的取值范围是() 【解析】选C.当x , 2x+ 又因为(0,),则 0,即 由cos(2x+)=0得2x+=k+ ,kZ, 所以 0,0)的图象.根据以上数据,(1)求函数f(t)