复变函数习题解答

1、z dz5. 由积分 1/( + 2) 之值证明d(1 + 2 cos )/(5 + 4cos )zzzdzCdi e /(e + 2)iCCd(1+2cos )/(5+4cos )d因(1 + 2cos )/(5 + 4cos )以2 为周期，故因(1 + 2cos )/(5 + 4cos )为偶函数，故dfz gzDfzzdz( ) ( ) = ( ( ) ( )|Dfzgzfz gz【解】因 ( ), ( )区域fzgz Dfzz gzzfzgz ( )，以及( ( ) ( ) 的积分都与路径无关gz zdz( ) =Dfg( ) ( ) = ( ( ) ( )|gz zdzfzgzC

2、z ztt内单叶解析且线C zt D( )时， 不是闭曲线此时 ( )是 , 到 内的单射，C因 是曲线 在映射 下的象，所以 可表示为 = ( ( )(fw fztt)tzt DfDfzttzt tCfzDfzztDz( ) 0，故在 , 上，|所以， 是光滑曲线zCzt t1 , ( ( ) ( )|( ( ) ( ) =( ) = ( )，可知 z 1由 ( )于区域 内单叶，因此我们有 ( ( )DtDD内单叶解析且Cw其中 ( )沿曲线 连续tfz z dzfzt ztt dt( ( ) ( ) CCfz zfzfzzfzMfzfzfz所以函数1/ ( )在 上解析，且| 1/ (

3、) |fzfzDx2fzuv wfzuwuu vvxxywwxx因为 , 都是调和函数，所以xxxxxyyyyyyyu vu u u u u u uv v v v v v v+ = ( + ) = 0；xx+= ( + ) = 0，xxyyxxyyyyu v2yxyuvuyyxyy) | ( ) | = 4 | ( ) |yfzzDzzln | ( ) D r，因区域 是开集，故存在 0，使得zz( )是连续的，故存在 0，使得Ka r( , )1用三角不等式，此时有|a( )| eesba e| | | |max, |【解】因为 ( ) =bsasefz在 上解析，故 ( )的积分与路径无关

4、sze seszbsasC, e dzszesz+ i )zzCCCCeedsba e= | |max, zmax, CCeesba e| | | |max, bsaszzCz用 内曲线 连接0与 ，试证：Re( 1/(1 + )zDyzzzz arg 0 ， 1zzzzzzzi ) )/(2i)是1/(1 + )的一个原函数C0, zzln(1= (ln |(1 + i )/(1i(1/2) ln |(1 +i )/(1i )/(2i)= ln(1 +i )/(1zzzi )| + i arg (1 +i )/(1zzzi )| + arg (1 +i )/(1z) = arg (1 + i

5、 )/(1z(1+i )/(1zi )=(1+i(cos +isin )/(1z) = arg (1 + i )/(1zz求1/(1 + ) = 1/(1 + i ) + 1/(1zzzzCCz6. 试计算积分 ( | |CC【解】在 上，函数| |zzaze sin 的相同，故其积ze sin 与函数zz dzaCCze sin 在 上解析，由Cauchy-Goursat定理， (azCCfz7. 设(1) ( )在| |zrr1上连续；(2) 对任意的 (0 1)，fz( )|z| =rdz| z| = 1zrzMwz(1)z w Dzzknn1)是所有的 次单位根2k i/nkK n n

6、将 (1)分成 个弧段 (1), (2), ., ( )nk kz其中 ( ) ( = 1, .,弧段k记() k= 1, .,n线段zzkjn当 充分大时，max Length( ( ) = 2 / 0时是连续的；(2) ( )表| ( ) :(1)(1)Mrfzz z r r| |= 上的最大值；(3)lim0fz dz( ) = 0rr()r r【解】当 时，我们有()()()r()fz z a9. (1) 若函数 ( )在点 = 的邻域内连续，则fz z a dzr| z a| = rzrr| z a| = r| z a| = r| z a| = r| z a| = r| z a| =

7、 rz a ds rMr1/| | = 2 ( )| z a| = rr| z a| = rfz z a dzfa( )/( ) = 2 i ( )r(2) 根据(1)，lim| z a| = rfz zdz f( )/ = 2 i (0)r而当 充分小时，我们有| z| = rrfr r r d( e )/( e )( e i) =ii i i| z| = rfr d( e ) fr drfz zz| z| = 1z z fz zdz(2 ( + 1/ ) ( )/|z| = 1fz z zfz z zfz z dz(2 ( )/ ( ( )/ + (1/ ) ( )/ )| z| = 1=

8、 (1/(2 i)(| z| = 1| z| = 1| z| = 1ff fzD11. 若函数 ( )在区域 内解析， 为 内以 , 为端点的直线段，试证：存C D a bC fb fab a CztCba(1 ) + ) ( )在 上恒为零此时取 = 0，任意取 ，则有Cfaba( ) ( ) = ( )(1t)a+t)dt=0= (bdt(2) 若 | (1 ) + ) | 0，00(1 ) + ) )/ ( )(1 ) + ) )/ ( ) |t a tb dt fa t a tb dt b a(1 ) + ) = ( )且 ( ) ( ) = ( )( )zfzzfnnnn| (0)

9、| ( + 1)!(1 + 1/ ) e ( + 1)!， =1, 2, .()nz由Cauchy积分公式和高阶导数公式，有fn fz| ( !/(2 ) | ( )|/|()()()zdsnzzr r()rnfr()r r) )最小，即要使(1 ) 最大nnr rrrnnnrrnrnn(1 ) + (/ ) + . + (/ )/( + 1) = /( + 1)nnr rnr n nr rn nnnn+1因此，我们取 = /( + 1)，此时有r n nfnr rn n nn()nnnn 的 必存在z【解】若不然，当| | 时，| ( ) |Rxxxxyyuvxxxyxz uxyx yxfzz 2 + ，其中 为常数zx yu v x y xxy yuczzc ci ) ，其中 为任意实数fz书上答案有误设 ( ) =a bfzx y