广东省百校联考2022年数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列命题是真命题的是（ ）A，B设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件C“”是“”的充分不必要条件D的充要条件是2在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科

2、考试中13分以上的人数大约为 （ ）（附：）A6B7C9D103函数的大致图象是（ ）ABCD4化简的结果是（ ）ABC1D5在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A1BCD6设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为( )ABCD7若X是离散型随机变量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A53B73C38已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）AB或CD9水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度与时间的函数关系图象是（ ）ABCD10若离散型随机变量的分布列为则的数学期望（ ）AB或CD11对于各数互

3、不相等的正数数组（i1，i1，in）（n是不小于1的正整数），如果在pq时有ipiq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组（1，4，3，1）中有顺序“1，4”、“1，3”，其“顺序数”等于1若各数互不相等的正数数组（a1，a1，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，则（a5，a4，a3，a1，a1）的“顺序数”是（）A7B6C5D412已知空间向量， ，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数为自然对数的底数与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的最小值是_.14假设每一架飞机的每一个引擎在

4、飞行中出现故障概率均为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是_15若函数为偶函数，则的值为_16已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知集合，(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合18（12分）已知函数.（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上存在两个极值点，且，证明：.1

5、9（12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小20（12分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论21（12分）如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，四边形B1C1CB为矩形，过A1C作与直线BC1平行的平面A1CD交AB于点D（）证明：CDAB；（）若AA1与底面A1B1C1所成角为60，求二面角BA1CC1的余弦值22（10分）已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）求曲线在点处的切线方程参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小

6、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】取特殊值来判断A选项中命题的正误，取特殊数列来判断B选项中命题的正误，求出不等式，利用集合包含关系来判断C选项命题的正误，取特殊向量来说明D选项中命题的正误【详解】对于A选项，当时，所以，A选项中的命题错误；对于B选项，若，则等比数列的公比为，但数列是递减数列，若，等比数列是递增数列，公比为，所以，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，B选项中的命题正确；对于C选项，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，C选项中的命题错误；对于D选项，当时，但与不一定垂直，所以，D选项中的命题错误故选B.2、C【解析】分

7、析：现利用正态分布的意义和原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于的概率，即可求解得到其人数详解：因为其中数学考试成绩服从正态分布，因为，即根据正态分布图象的对称性，可得，所以这个班级中数学考试成绩在分以上的人数大约为人，故选C点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题3、C【解析】根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.【详解】因为所以当时，故排除A、D选项，而，所以即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，故选C项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题

8、.4、C【解析】将根式化为指数，然后利用指数运算化简所求表达式.【详解】依题意，.故选：C【点睛】本小题主要考查根式与指数运算，属于基础题.5、B【解析】先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中， 所以解得所以 故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.6、A【解析】作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点的斜率问题,结合图形可得答案.【详解】画出满足条件得平面区域,如图所示: 目标函数的几何意义为区域内的点与的斜率，过与时斜率最小,过与时斜率最大，故选:A.【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数取值范围问题,解题关键是转化为斜率,难

9、度较易.7、C【解析】本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论【详解】E(X)=2x1=1xx故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.8、C【解析】由可得，故可求的值.【详解】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3） 为等比数列（ ）且公比为.9、C【解析】分析：根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断结合函数图像分析判别可得结论.详解：A、B选项中

10、：函数图象是单调递增的，与与题干不符，故排除；C、当注水开始时，函数图象往下凸，可得出下方圆台容器下粗上细，符合题意；D、当注水时间从0到t时，函数图象往上凸，可得出下方圆台容器下细上粗，与题干不符，故排除故选C .点睛：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h和时间t之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想10、C【解析】由离散型随机变量的分布列，列出方程组，能求出实数，由此能求出的数学期望.【详解】解：由离散型随机变量的分布列，知：，解得，的数学期望.故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列等

11、基础知识，是基础题.11、B【解析】根据题意，找出一个各数互不相等的正数数组（a1，a1，a3，a4，a5）的“顺序数”是4的数组，再根据此条件判断出（a5，a4，a3，a1，a1）的“顺序数”【详解】根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a1，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，假设a1a1，a1a3，a1a4，a1a5，且后一项都比前一项小，因此可以判断出a1a3，a3a4，a4a5，则（a5，a4，a3，a1，a1）的“顺序数”是6，故选：B【点睛】本题主要考查归纳推理、不等式的性质，考查了学生的理解能力及分析问题解决问题的能力，属于中档题12、D【解析】先求，再求模【详解】， ，故选

12、：D【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得：在区间上有解，即：在区间上有解，整理可得：在区间上有解，令，则，导函数在区间上单调递增，则，即的最小值是.14、【解析】分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1p）+p4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值详解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p，不出现故障的概率是p，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行

13、，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1p）+p4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C43p3（1p）+p4p2，化简得3p24p+10，解得p1故选：B点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用15、2.【解析】分析：因为函数是偶函数，先根据得出第二段函数表达式，然后再计算即可.详解：由题可得：当时，-x0，故所以=0+2=2，故答案为2.点

14、睛：考查偶函数的基本性质，根据偶函数定义求出第二段表达式是解题关键，属于中档题.16、16.【解析】由题意可知抛物线的焦点，准线为设直线的解析式为直线互相垂直的斜率为与抛物线的方程联立，消去得设点由跟与系数的关系得，同理根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，同理，当且仅当时取等号.故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立

15、的条件三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) ， (2) 【解析】(1)根据题干解不等式得到，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.【详解】(1)因为，即，所以，所以，因为，即，所以，所以，所以，所以(2)由(1)知，若，当C为空集时，.当C为非空集合时，可得.综上所述.【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.18、 (1);(2)见解析.【解析】分析：（1）由题

16、意得出在定义域上恒成立，即，设，则，由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解；（2）由（1）知，由函数在上存在两个极值点，推导出，设，则，要证，只需证，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出求解.详解：（1）在上是减函数，在定义域上恒成立，设，则，由，得，由，得，函数在上递增，在上递减，.故实数的取值范围是.证明：（2）由（1）知，函数在上存在两个极值点，且，则，设，则，要证，只需证，只需证，只需证，构造函数，则，在上递增，即，.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1

17、)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19、（1）详见解析；（2）.【解析】(1)本题首先可以取的中点并连接，然后利用平面侧面得到平面，再根据三棱柱是直三棱柱得到，最后根据线面垂直的相关性质得到侧面，即可得出结果；(2)首先可以构造出空间直角坐标系，然后求出平面与平面的法向量，即可得出结果【详解】(1)如图，取的中点，连接.因为，所以.由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以，因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，又，从而侧面，又

18、侧面，故；(2)由(1)知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的一个法向量，由，得，令，得，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，解得，即又设平面的一个法向量为，同理可得.设锐二面角的大小为，则，由，得，所以锐二面角的大小为【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线线垂直的证明以及二面角的求法，线线垂直可以通过线面垂直证明，而二面角则可以通过构造空间直角坐标系并借助法向量来求解，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题20、；证明见解析【解析】根据三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A）3,3；（

19、B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2的棱为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I）（A）与（B），（II）（A）与（C）；（III）（B）与（C），于是问题转化为对棱长分别为（I）（II）（III）的四面体来计算体积的最大值（或估计）.【详解】由三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I）（A）与（B），（II）（A）与（C）；（III）（B）与（C）.对情形（I）（A）与（B

20、），四边形沿AB折叠后使，则由得，即是四面体以为底面的高，体积为；对情形（II）（A）与（C）四边形沿AB折叠后使，有两种情形，它们体积相等，记为，为钝角，与平面斜交，；对情形（III），（B）与（C），这样的四面体也有两个，体积也相等，记为，.最大体积为.【点睛】本题考查四面体的体积，解题关键是找到以棱长为2的棱为突破点，分析以它为边的两个三角形的边长可能有哪些情形，然后一一求出它们的体积（可估计体积大小），再比较.难度较大.21、（）见解析；（）【解析】（）连接AC3交A3C于点E，连接DE推导出BC3DE，由四边形ACC3A3为平行四边形，得ED为AC3B的中位线，从而D为AB的中点，由

21、此能证明CDAB（）过A作AO平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BA3CC3的余弦值【详解】（）连接AC3交A3C于点E，连接DE因为BC3平面A3CD，BC3平面ABC3，平面ABC3平面A3CDDE，所以BC3DE 又因为四边形ACC3A3为平行四边形，所以E为AC3的中点，所以ED为AC3B的中位线，所以D为AB的中点又因为ABC为等边三角形，所以CDAB （）过A作AO平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，设AB3因为AA3与底面A3B3C3所成角为60，所以AA3O60在RtAA3O中，因为，所以，AO2因为AO平面A3B3C3，B3C3平面A3