2020考研高数(一)真题及答案解析

1、2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解84.x0） xe21 dttxln 1 t dt）200 xxsint sint 2200） xe 1 dt e 1 xt2 x2 2）0 x 1 t dt 1 x x220 xsint dt sin sin x x2220 1x sint dt sin(1x) sinx x32220） f x lim f x 0,）x0 f x lim00f x在在x0 x0 x0 x f x f xlimx2x0 f x f xx0lim00在。x0 x f x f xx0lim在x2x0）f(x) f x 0 f x（ lim f x 0 x0f 0

2、0 lim，在xx0 x0第 1 页 f xlim0为 xx0 x nf f, ,1 f x,y f nx y0,0） n x,y, f x,ylim x,y 0）x y22 n x,y, f x,ylim x,y 000 x y22 x,y, f x,ylim x,y x y22 n x,y, f x,ylim x yx,y 22） f(0,0), f(0,0),1 x,y, f x,yn x,y, f x,ylim limxy2x y2(x,y)x y22(x,y) f x,y f(0,0) f(0,0)(x0) f(0,0)(y0) limxy，x0 y0(x,y) 22 n x,y,

3、f x,y f x,y lim0 x y2(x,y)2Ra xr ）nnn1a rr Ra rr R）2n2n2n2nn1n1r Ra rr Ra r2n2n2n2nn1n1）R a xna x2n 2nn Rn1n1第 2 页 a rr RA当2n 2nn1AB ）P B A A P P 0 0）Q,Q ,Q ，与AB12t1AQQ Q BA B QQ QA 使12t12txayb 2cxayb 2cL :1222L :2333a1bc1abc2122a i b ,i 1,2,3点，法向量） iic iaa ,aaa ,a） ） 123213aa ,a1a ,a ,a） ） 32123）(x

4、 ,y ,z )000 x ay b z cx ay b z ckl，3，02020203030a1bc1a2bc212x aka a la ;y bkb b lb ;z ckc c lc，012230122301223k l)3121 P A P B P C , P AB 0,B,C41 P P ,B,C则）1223125）4312第 3 页）,B,Cp p P(ABC)P(ABC)P(ABC) AB,P(AB)0 P()0，P(ABC) P(AB C) P()P(B C)1 1 1 P()P(AB)P(AC)P(ABC) = ；4 12 6P(ABC) P(BA C) P(B)P(B(A

5、C)1 1 1 P(B)P(AB)P(BC)P(ABC) = ；4 12 6P(ABC) PCA B) PC)PC(A B)1 2 1 PC)P(AC)P(BC)P(ABC) = ；4 12 121 1 1 5p .6 6 12 1212X ,X ,XX 0 X X ，12(x) X 55ii1）1(1)）1(0.2)）(1)）(0.2)114 X 100 50，1E(X)，D(X)，E22ii1 1DX 100 25，4ii1X 505550i X 55 (1)）i12525ii14.第 4 页11）lim e 1 ln 1xxx01 ln 1x e 111xlimlim e 1 ln 1x

6、e 1 ln 1xxxx0 x0 ln 1x xxe 1ln 1x xxe 1xxlimlimlimx2x2x2x0 x0 x011ex2x1 1 12 2 lim2x0 x t 1d y22 设，dx2y t t 1)t12 2tdydx1dyt 1 1dtdtt 122dxttt t 121d d y dyt dt1 t 1t 1 222 dt dxd x dxttt322d y2 2d x t 12f(x)f(x)af(x) f(x) 0(a f(0) , f(0) n，且 ，则若函数满足 f(x)dx0namr2ar1 0 a24，a 0a 2f(x)Ce C e ,C ,C1 2rx

7、r x1212第 5 页f(x)dx0；(f(x)af(x)dx (f(x)af(x) nam000a24a24a2af(x) e x C cosxC sinx,C ,C即2221212f(x)dx (f(x)af(x)dx (f(x)af(x) nam；000 xf(x) C C x e ,C ,Ca21212f(x)dx 0(f(x)af(x)dx (f(x)af(x) nam；00 f(x)dx nam故0 x 2f x,y xye dt,2 则xty 04e112f(x,y) e dt uf(x,y)x3y2e du，u2 xu00则f1 x413ux y32x3y2e du ye ;

8、32xu20， f1133232 xex3y22x y e ye 2x y3x3y2x3y23y422x y32 f2 4e故。ya 0 1 10 a 1 11 1 a 01 1 0 a4a 4a2a 0 1 10 a 1 11 1 a 01 1 0 aa 1 0 0 a 0a 1 a a 1 1 a1 0 a 1 1 a第 6 页 1 a2a 2a0 aa2aa 2aa 2a321 1a 4a24 ( , )的均匀分布，YXCov(X,Y)X 2 22 x( , )2 21E(x) ，f(x) 0othercov(X,Y) cov(X,sin X) E(X X)E(X)E(sin X)则，1

9、2E(X sin X) xsinx dx，222cov(X,Y) cov(X,sin X) E(X sin X)E(X)E(sin X)故。分. f x,y x 8y xy331 11f( , ) 6 12216ff3x y, 24y x；22xy f3x y 012 xx x 0612f,令1 24y x 0y 02yy 2112 f f f2226x, 1;y2 48yx2y f f f222A 10,B 1,C 0；x2yy211第 7 页 f f f222A 21,B 1,C 4x2yy21 1( ,6 221 1( ,6 )1 1,)()6 121 1( , )AC B 1 0,AC

10、 B 3 0,且A 1 0(0,0) 2122以6 12112221 1f( , ) 1.6 122164x yx yIdxdyI 4x y24x y222L:x y 222L :4x y 0222，14x yx yI dxdy则4x y4x y2222LL14x yx y4x yx ydxdydxdy4x y4x y4x y4x y22222222L1D112dxdy (4x y)dx(x y)dy 。22L1D1a a 1 (na （n )ax 1 ，2n1n1na xnnn12S(x)21 x12n1nalimx limx x 1当 x 1 a xn1nannnnn11a 1 (na （

11、n )aa 2。0，21n1nS(x) a x令nnn1第 8 页 1n nS(x) a nx a n1 x a n xn12nn1nn1n0n0 1 1 x a nx a x x a nx a x a，n1nn1n22nnnn0n1n0n1n11 xS(x) S(x)121C(xS(x) S(x) 1S(x)2。即由21 x2S(0)0C 2S(x)2。1 xz x y (1 x y 4)f(x) 2222I (xf(xy)2x y)dydz(yf(xy)2y x)dzdx(zf(xy) z)dxdy。143I (xf(xy)2x y)dydz(yf(xy)2y x)dzdx(zf(xy)

12、z)dxdyxy22 (xf(xy)2x y)(yf(xy)2y x)(f(xy)1) x y dxdyx y22x y22D14322x y dxdy D f x0,2f(0) f(2) 0，在 M f x ,x M； 0,2） fx0,2，f(x) MM 0 . f x0,2 M max f xM 0若 在0,2M 0 x (0,2),使 f(x ) M.000 x 1,若0第 9 页f(x ) f(0)f(x )Mf( ) M, (0,x )(0,2).00 x 00 x0 x001 x 2,若0f(2) f(x )f(x )Mf( ) M, (x ,2)(0,2).002x2x2x00

13、00 x (0,2),使 f(x ) M00M f(x ) f(x ) f(0) xf(x)dx xf(x) dxxMdx Mx ,(1)000000000f(x) dx Mdx M(2x ),(2)M f(x ) f(2) f(x ) 2f(x)dx 22000 xxx000M(x 1)0M(x 1)0 x 10M 0 。00 x 10f(x) M若11M f(1) f(1) f(0) f(xdx f(x)dx M00f(x)dx MM f(1) f(2) f(1)2f(xdx 211f(x) M,x(0,1) f(x)MM f(x) 则 故M 0.xy f x ,x x 4x x 4xQ

14、212211 xy121 2 22 g y ,y ay 4y y bya b.21221212a,bQ 。 43554a 4,b1）Q）3 551 21 22 4 f x ,x xx x Ax ATT，2 412第 10 页a 22 ba 22 b f y ,y yy y By B ，TT12 f x ,xg y ,yQ AQ BQ、B x T1212B =0ab40 =tr A tr B ab5 a 4,b1则A5和，=05 ABab1 =5 2A A 12 2 1 2 55P 1Q Q AQ . T12 1 21 0 1115521 B=0当=5， 12 B 21 2 1 55P Q 令则

15、1 2 ， 12 2255 435 554Q AQ Q BQ Q Q AQQ BQQQ T1TT1T2T2。03122211 55 P ,AA，其中 为2P 2 A 6 0A P AP10 6P AP ） 1A， 1 1k，1k k A 0kk 02A k1222第 11页 A即 为 k 02k 01 k 01. r P 2 P ,A k k 0,A由得，12 ，A A 6 0 A 6 A得22 0 6 A ,A A ,A A ,6 A ,A21 10 60 6B E 0得P由 P AP B 2, 3由11 11 112B P AP B A B，1BABAA .X ,X ,XX ,X12312

16、1 XP X 0 P X 1 ,Y X X 1 X X23233132 xY 11 x ,x yxy 221 F x,y ）1 y ,x yxy 22 X ,Y ）1 F x,y P X x,Y y P X 0,X x,Y y P X 1,X x,Y y13131 P X 0,X x,X y P X 1,X x,X y31231111 P X x P X y P X x,X y22121111 x yx yF x,y P X x P X y P X x,X y22121111 xxy 2211 F x,y P X x P X y P X x,X y22121111 yxy 22第 12 页11 x ,x yxy 221 F x,y 1 y ,x yxy 22 F(y) P Y y P X 0,Y y P X Y y）33 P X 0,X X (1 X )X y P X 1,X X (1 X )X y3313233132 P X 0,X y P X 1,X y323111 P X y P X y y2221所以随机变量Y T m t 1e,t 0Ft)，0,其他其中，mT t T st T 与s 0,t 0. 的nt , ,t1m（ n1t 0t 0 ts msm P T t P T ts T s e），m t me 1n