2.1生活中的变量关系-高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1、生活中的变量关系1依赖关系与函数关系【答案】该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2 min或6 min或.【思考】问题1和问题2的联系与区别？【思考】问题1和问题2的联系与区别？1依赖关系与函数关系抽象概括【例1】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.【方法指导】两个变量

2、中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，那么它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，那么它们具有函数关系.学以致用【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量.【例1】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.学以致用【解析】 (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、

3、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系.(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系.(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量.【解析】综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系.学以致用【例1】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间

4、，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关系；(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.【方法小结】(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，那么它们具有依赖关系，如果不发生变化，那么它们不具有依赖关系.(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：确定因变量和自变量；判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应.若满足，则是函数关系，否则不是函数关系.学以致用【针对训练】下列各组中的两

5、个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)圆的面积和它的半径长；(2)商品的价格与销售量；(3)一个人的身高与体重；(4)某同学的学习时间与其学习成绩.学以致用【针对训练】下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)圆的面积和它的半径长；(2)商品的价格与销售量；(3)一个人的身高与体重；(4)某同学的学习时间与其学习成绩.【解析】 (4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系.综上所述，(1)(2)(3)(4

6、)中的变量间均存在依赖关系，其中仅(1)中的变量间是函数关系.学以致用2分段函数【问题2】这种函数关系的特征是什么？【答案】在给定范围内，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：5 km以内(含5 km)，票价2元.5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1 km，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.抽象概括【方法指导】分别求出同学下坡路、上坡路与平路的对应关系，并且注意自变量的取值范围.学以致用学以致用【方法小结】分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对

7、每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%探究：用图象表示变量关系【方法指导】此题是一个通过图象来反映两个变量之间关系的问题，所以回答问题时应充分利用图象反映出的关系.【探究小结】用图象反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方法.在解次类题是要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的.【针对训练】一天，亮亮发烧了，早晨烧得很厉害，吃过药后，感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感

8、觉身上不那么烫了.下面各图能反映出亮亮这一天(024时)体温的变化情况的是().【解析】根据题意，可知C正确.C1.下列变量之间的关系是函数关系的是().A.某一天24小时内的时间与气温B.光照时间和果树的亩产量C.降雨量和交通事故发生率D.一个人的身高与体重2.从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：饰用K金的K数与含金量之间是关系，K数越大含金量.K数含金量(%)K数含金量(%)24K99以上12K5022K91.710K41.6621K87.59K37.518K758K33.3414K58.56K253.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时，路程和时间的

9、函数图象，由图可知，骑自行车者用了6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h，有人根据这个函数图象，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息是.(填序号)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者.4.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：5公里以内(含5公里)，票价2元；5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请写出票价与里程之间的函数解析式.1.下列变量之间的关系是函数关系的是().A.某一天24小时内的时间与气温B.

10、光照时间和果树的亩产量C.降雨量和交通事故发生率D.一个人的身高与体重【解析】易知每一时刻都有唯一的气温与之相对应.故选A.2.从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：饰用K金的K数与含金量之间是关系，K数越大含金量.A【解析】通过表格可知，饰用K金的含金量随着K数的减小而减小，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高.K数含金量(%)K数含金量(%)24K99以上12K5022K91.710K41.6621K87.59K37.518K758K33.3414K58.56K25函数越高3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时，路程和时间的函数图象，由图可知，骑自行车者用了6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h，有人根据这个函数图象，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息是.(填序号)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者.【解析】由题中图象可以看出骑自行车者早出发3 h，而晚到1 h，速度是先快后慢，然后再