《线性代数》相似矩阵

1、第五章 相似矩阵 5.1方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 二次型及标准型5.4正定二次型的判断说明第一节 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念求矩阵特征值与特征向量的步骤：()., 0, .3的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值iiixAElll=-; ,0| .221的全部特征值就是的全部根求特征方程AAEnllllL=-|;|)( .1AEfA-=ll的特征多项式计算解例1 例 解定理1 取主对角线的n-1个元考虑第n个元怎么取？展开式中 的n及n-1次只能在主对角线上各元乘积中出现。其余各项至多包含n-2个主对角线元(关于 的次数至多是n-2)。

2、推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数0是A的特征值。由定理1的结论定义：n阶方阵A=(aij)的主对角线上元之和称为A的迹，记作tr(A)=a11+a22+ann.定理2 设 是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为 ，且 是一个关于 的多项式,则 是 的一个特征值，对应的特征向量还是 .例4 设三阶方阵A的特征值为1,2，3，求行列式|A2AE|.由定理2知 A2AE的全部特征值为1，1，11.又由定理1知： |A2AE|111111.解：证明则即类推之，有定理3把上列各式合写成矩阵形式，得注:. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属

3、于这个特征值的特征向量. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一.4. 一个特征向量不可能属于不同的特征值. 定理4 矩阵A的m个互不相同的特征值所对应的m组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。定理5 设 是n阶方阵A的一个k重特征值，对应于 的特征向量的最大个数为l，则 .例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为解AT与A具有相同的特征多项式、特征值一、相似矩阵与相似变换的概念定义2.,相似与或说矩阵的相似矩阵是则称BAAB第二节 相 似 矩 阵二、相似矩阵与相似变换的性质证明定理6若n阶方阵A和B相似，则：R(A)=R(B)(2)|A|=|B|(3

4、)tr(A)=tr(B)(4)若A可逆，则B也可逆，且A-1与B-1也相似(5)kA与kB，Am与Bm也相似(6)若f(x)是任意多项式，则f(A)与f(B)相似阶方阵如果L，A相似于对角矩阵n证明三、利用相似变换将方阵对角化定理7定义3证毕.反之说明推论1如果 的特征方程有重根，此时A不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化；但如果能找到 个线性无关的特征向量， 能对角化推论2n阶方阵A可对角化的充要条件是A的每个r重特征值恰有r个线性无关的特征向量。推论3例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？若能对角化,求作一个可逆矩阵P，及对角阵，使得P-1AP= .解解之得基础解系求得基

5、础解系解之得基础解系故 不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以 可对角化.实对称矩阵一定可对角化，而且正交相似对角矩阵定理8实对称矩阵的特征值均为实数. 3 二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩一、二次型及其标准形的概念称为二次型.例如都为二次型 .只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）例如为二次型的标准形.称为二次型的规范形 例如为二次型的规范形.1用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2用矩阵表示,的矩阵称为二次型fA.的二次型称为Af).(,)(fRfARA记作的秩称为的秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵

6、表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系解一个实二次型，既可以通过正交变换法化为标准形，也可以通过配方法和初等变换法化为标准形，显然，由于所用的可逆线性变换不同，其标准形一般来说是不惟一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩第4节 正定二次型 不仅如此，在实可逆线性变换下，标准形中的正平方项个数与负平方项的个数，也是保持不变的.定理3定义3 实二次型 f xTAx 的标准形中正平方项的项数 p 称为二次型 f 的正惯性指数；负平方项的项数 q 称为二次型 f 的负惯性指数，它们

7、的差 p-q 称为二次型 f 的符号差. n元实二次型 f xTAx 无论用怎样的可逆实线性变换化成标准型，其标准型中正、负平方项的项数是唯一确定的，它们的和为二次型的秩.惯性定理一、惯性定理正定二次型负定二次型例如二、正(负)定二次型的概念定义4不定二次型三、正(负)定二次型的判别.: 6个系数全为正，即f 的正惯它的标准形的件是为正定的充分必要条实二次型定理nAxxfT=性指数为n.定理7n元实二次型 f xTAx 正定的充要条件是A的特征值全部都大于零.定义5 顺序主子式定理8 n元实二次型 f xTAx 为正定的即实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶主子式均为正，即设A=(

8、aij)为n阶方阵，一次取A的前k行与前k列所构成的子式 称为A的顺序主子式.1111kkkkaaaaLMML正定矩阵的性质因AT=A,BT=B，所以(A+B)T=AT+BT=A+B即A,B也是实对称矩阵.又，对任意非零列向量x有xTAx0， xTBx0证：于是: xT(A+B)x= xTAx+ xTBx0即xT (A+B) x是正定二次型，故 A+B 是正定矩阵.例7 判别二次型是否正定.解它的各阶主子式故上述二次型是正定的.例8 判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，定理7解由定理8，A要为正定矩阵，则各阶主子式例9 判别二次型试问t为何值时，f为正定二次型。2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1) 定义法；(2) 主子式判别法；(3) 特征值判别法. 1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系五、小结(4) 标准形判别法. 定理8定理7定理6返回考试题型与往年差不多，大题题型如下：1、行列式计算 参见课本P37 5.(2)、(3)、（7）、（8）. 习题本P2 二.2、4，P4 二.1,P6 二.2。2、由矩阵方程求解（求逆矩阵） 参见习题本P10 三.1,P14 三.1-3。 3、求解非齐次方程的通解 参见习题本P18 三.2-4 课本P131 例3，P135 7.（1-2）。