假设检验一般概念

1、 假设检验是对总体的未知参数或总体服从的分布等，首先提出某种假设，例如假设未知参数为某一常数或总体服从某已知分布等，然后由样本提供的信息，对所做假设的“真实性”做出否定还是不否定，即拒绝还是接受的判定。 假设检验问题分为如下两大类： 参数假设检验：对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验(见8.1例)。 非参数假设检验：对总体的分布、总体间的独立性以及是否同分布等方面的检验(见8.1例2 )。 本章主要介绍假设检验的基本概念、思想方法，讨论正态总体参数的检验、频率检验、拟合优度检验(非参数假设检验)等。 .1 假设检验的一般概念 一、假设检验的基本思想 先看以下两个例子。第八章 假设检验

2、 例1 外地一良种小麦，667m2产量(单位：kg)服从正态分布N(400, 252)，引入本地试种，收获时任取n=5块地，测得其667m2产量分别为400、425、390、450、410，假定引种后667m2产量X也服从正态分布，试问： （1）若方差不变，即X N(, 252) ，本地平均产量 与原产地的平均产量 0=400kg有无显著变化？ （2）若X N(, 252) ，本地平均产量是否比原产地平均产量高（或低）？ （3）本地引种后，667m2产量的波动情况与原产地667m2产量的波动情况有无显著不同？ 例2 检查200箱食品，用X表示一箱食品中变质食品的数量（单位：包），n表示有X包变

3、质食品的箱数，检验结果如下：X01234n132432032试问变质食品包数X是否服从泊松分布？ 1. 两类假设 检验是对假设而言的。假设是对事物的某种“看法”或“陈述” ，假设检验是要根据样本值去判断一个 假设是否成立。假设分如下两种： 原假设(或零假设) H0 ：通常是“相等性假设”，例如假定总体均值等于 0 ，总体方差等于02，总体分布为标准正态分布等。 备择假设H1：在原假设被拒绝后可供选择的假设。备择假设H1是和原假设H0不相容的。 原假设与备择假设选取以便于数学处理为宜。 假设检验的基本思想：带有概率特征的反证法。 例1中，三个问题的假设分别表示为： (1) H0：=0 (=400

4、)； H1：0 (=400) (2) H0：=0 (=400)； H1：0 (=400) H0：=0 (=400)； H1：0 (=400) (3) H0： 2 =02(=252)； H1： 202(=252) 例2的假设则可表示为： H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布. 下面以例1中问题(1)为例。阐明假设检验的基本思想和概念。 设(x1,x2, ,xn)是来自总体X的样本，则计，当H0为真时取值集中于0=400附近。如果是总体均值的无偏估 这需要我们确定一个临界值k，使当离0较远，则有理由怀疑H0的真实性，认为或许H1更可靠。时接受原假设H0； (1)时拒绝原假设H0接受备择假设

5、H1 (2)进一步，由于当H0为真时，有要构造一个具有明确分布的统计量，可将(1)、(2)式转化为时接受原假设H0 (3)时拒绝原假设H0接受备择假设H1 (4)当较小时，临界值u/2是小概率事件的分界线，使具有绝对优势(即有较大概率1- )。故取于是(3)、(4)式变为时接受原假设H0 (5) 时拒绝原假设H0，接受备择假设H1 (6) 分析(5)、(6)两式，可以这样认为： 拒绝H0，是因为以H0成立为出发点进行推理时，得到了不合情理的结论，使小概率事件在一次试验中发生了。 接受H0，是因为以H0成立为出发点进行推理时，未发现异常。 这就是带有概率特征的反证法，认为小概率事件在一次试验中不

6、可能发生。 2. 拒绝域与接受域 称是检验水平或显著性水平，它是我们制定检验标准的重要依据。常数u/2把标准正态分布密度曲线下的区域分成了两大部分，其中一部分 称为H0的拒绝域或否定域， 当样本点落入拒绝域时，我们便拒绝原假设H0(同前述(6)式)，另一部分称为H0的接受域， 当样本点落入接受域时，我们便接受原假设H0(同前述(5)式)。 鉴于u/2的这种特殊作用，称u/2为H0的临界值(相对于例1的问题(1)，问题(2)的临界值为u，将在下面说明)。 进一步，可确定例1的问题(2)中两个假设的拒绝域分别为与 3. 双侧检验与单侧检验 双侧检验：拒绝域在接受域两侧的检验 单侧检验：拒绝域和接受

7、域各为一侧的检验称为。且拒绝域在接受域右边的检验，称为右边单侧检验；拒绝域在接受域左边的，称为左边单侧检验。 4. 两类错误 第一类错误：称为“弃真”错误，即PH0被拒绝/H0为真= 第二类错误：称为“纳伪”错误，即PH0被接受/H0不真= 我们希望这两类错误都很小。但可以证明，在样本容量n固定时，同时减小和是办不到的。当减小时必导致增大，反之亦然。要想使和同时减小，只有增大样本容量n。 一般是通过选择来控制。质量要求高的检验，常选取较大的，质量要求不高的检验，可适当减小。综上所述，我们可总结出假设检验的步骤为：（1）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和备择假设H1的具体内容。（2）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布。（3）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计量的分布查表或计算确定出临界值，进而得到H0的拒绝域和接受域。（4）由样本观察值计算出统计量的值。（5）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件”时就接受H0，否则就拒