方差分析讲义

1、单因子方差分析双因子方差分析 (等重复和无重复)或（有交互和无交互）1例1设有两台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.表9.1铝合金板的厚度机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.261在每一个水平下进行独立试验,结果是一个随机变量.问题分析检验假设2其拒绝域的形式为3例2 不同的教学方法对考试平均分的影响是否显著？试验指标:考试平均分因素:教学方法水平:不同的三种方法是因素的三个不同的水平4例3一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次

2、,得射程如下（以海里计）.问不同燃料、不同推进器对射程的影响是否显著？交互作用是否显著？表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.45表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.

3、741.4试验指标:射程因素:推进器和燃料水平:推进器有3个,燃料有4个.双因素试验试验目的6考试平均分教学方法123地区北京天津上海重庆1061021351181038271521001066685例4试分析不同地区不同教学方法对考试平均分的影响是否显著。7方差分析根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度.试验指标试验中要考察的指标.因素影响试验指标的条件.因素可控因素不可控因素水平因素所处的状态.单因素试验在一项试验中只有一个因素改变.多因素试验在一项试验中有多个因素在改变.8在每一个水平下进行独立试验,结果是一个随机变量.例1问题分析将数据看成是来自三个总体的样本值.

4、检验假设9检验假设进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的方差相等,但参数均未知.问题检验同方差的多个正态总体均值是否相等.解决方法方差分析法,一种统计方法.10误差平方和（随机误差）效应平方和（随机误差、系统误差）11 总变异组内变异组间变异 其中：组内变异由个体差异或者说由误差引起的;组间变异由各因素所引起；拒绝域为12单因素试验方差分析表方差来源因素A误差总和平方和自由度均方F比13下面检验假设14拒绝域形如拒绝域为15数学模型表 9.4观察结果水平样本总和样本均值总体均值16假设17单因素试验方差分析的数学模型需要解决的问题(1)检验假设18数据的总平均总偏差平方和（总变差）二、平方和

5、的分解得到方差分析表19误差平方和（随机误差）效应平方和（随机误差、系统误差）20 总变异组间变异组内变异 其中：组间变异由各因素所引起；组内变异由个体差异或者说由误差引起的。21下面检验假设22拒绝域形如拒绝域为23单因素试验方差分析表方差来源因素A误差总和平方和自由度均方F比24例4设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.表9.1铝合金板的厚度机器机器机器0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.26225解方差分析表方差来源因

6、素A误差总和平方和自由度均方F比0.0010533332.920.000526670.000016212140.0001920.00124533各机器生产的薄板厚度有显著差异.26单因素方差分析表spss：27方差相等检验可以检验不同因素对观察变量产生了显著影响。28判断哪个组和其他组有显著的均值差别，方法是两两作比。不同组的方差不同时选择.2930认为三个组总体方差相等。方差齐性的检验.至少一个组和其他组有显著差别.31两两作比.32二、双因素等重复试验的方差分析表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.

7、556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.433r=4,s=3,t=234误差平方和因素 A 的效应平方和因素 B 的效应平方和因素A,B的交互效应平方和35要解决的问题：检验假设36确定拒绝域37表双因素试验的方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用误差总和38双因素等重复试验方差分析表spss：394041424344三、双因素无重复试验的方差分析45检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一组合至少要做两次试验.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互

8、作用.对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以对各因素的效应进行分析双因素无重复试验的方差分析.46方差来源平方 和自由度均方F比因素A因素B误 差总 和47双因素无重复试验方差分析表spss：48495051525354555657二、双因素等重复试验的方差分析（理论）表9.8因素A因素B58模型假设59记号总平均60要解决的问题：检验假设61分解平方和得到方差分析表62误差平方和因素 A 的效应平方和因素 B 的效应平方和因素A,B的交互效应平方和63确定拒绝域64表9.9双因素试验的方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A因素B交互作用误差总和65三、双因素无重复试验的方差分析检验两

9、个因素的交互效应,对两个因素的每一组合至少要做两次试验.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以对各因素的效应进行分析双因素无重复试验的方差分析.66表9.14因素B因素A假设67检验假设68双因素无重复试验的方差分析表方差来源平方 和自由度均方F比因素A因素B误 差总 和69例2 下面给出了在某5个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物(以mg/m3计)的含量的数据:因素B(地点)因素A(时间)1975年10月1976年 1 月1976年 5 月1996年 8 月28912345127525130822720076

10、8268636769595681966764565954585170423733137629027870设本题符合模型中的条件,试在显著性水平为0.05下检验:在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异,在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异.结论:时间和地点对颗粒物的含量均有显著影响.71在MATLAB中的求解函数:anova1格式:p=anova1(x)说明:对样本X中的多列数据进行单因素方差分析,比较各列的均值,返回“零假设”成立的概率值,如果概率值接近于零,则零假设值得怀疑,表明各列的均值事实上是不同的.源程序:x=0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.

11、257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262;p=anova1(x)72程序运行结果p=1.3431e-00573无偏估计五、未知参数的估计74例5解75例6下表列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）.表9.2电路的响应时间类型类型类型19 1522201820 4021332716 17151826类型182219设四种类型电路的响应时间的总体均为正态,且各总体的方差相同,但参数均未知,各样本相互独立.76在MATLAB中求解x=19,22,20,18,15,20,40,21,33,27,16

12、,17,15,18,26,18, 22,19;y=1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4;p=anova1(x,y)结果7778例一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下（以海里计）.不同燃料、不同推进器下的射程是否有显著差异？表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4二、双因素等重复试验的方差

13、分析79例一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下（以海里计）.不同燃料、不同推进器下的射程是否有显著差异？表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.480在MATLAB中求解函数:anova2格式:p=anova2(x,reps)说明:执行平衡的双因素试验的方差分析来比较x中两个或多个列或行的均值.不同列的数据代表某一因素的差

14、异,不同行的数据代表另一因素的差异.如果每行列对有多于一个的观察值,则变量reps指出每一单元观察点的数目,每一单元包含reps行.81源程序:a=58.2,56.2,65.3;52.6,41.2,60.8; 49.1,54.1,51.6;42.8,50.5,48.4; 60.1,70.9,39.2;58.3,73.2,40.7; 75.8,58.2,48.7;71.5,51.0,41.4;p=anova2(a,2)运行结果: p=0.0035 0.0260 0.000182对结果的解释p=0.0035 0.0260 0.0001各试验均值相等的概率均为小概率,故可拒绝相等假设,认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异,即燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的.并且交互作用效应是高度显著的,因此在实际工作中应该选择最优的搭配方式,例如A4与B1,射程为75.8,71.5或者A3与B2,射程为73.2,70.9.8384例2在某种金属材料的生产过