特征值特征向量定义计算

1、特点与特点向量的观点及其算定1.A是数域P上的一个n矩，是一个未知量，称A的特点多式，()=|E-A|，是一个P上的对于的n次多式，E是位矩。()=|E-A|=n+1n-1+n=0是一个n次代数方程，称A的特点方程。特点方程()=|E-A|=0的根(如：0)称A的特点根(或特点)。n次代数方程在复数域内有且有n个根，而在数域内不必定有根，所以特点根的多少和有无，不与A相关，与数域P也相关。以A的特点0代入(E-A)X=，得方程(0E-A)X=，是一个次方程，称A的对于0的特点方程。因|0E-A|=0，(0E-A)X=必存在非零解X(0)，X(0)称A的属于0的特点向量。所有0的特点向量全体组成

2、了0的特点向量空。一.特点值与特点向量的求法于矩A，由AX=0X，0EX=AX，得：0E-AX=即次性方程有非零解的充分必需条件是：即明特点根是特点多式|0E-A|=0的根，由代数基本定理有n个复根1,2,n，A的n个特点根。当特点根i(I=1,2,n)求出后，(iE-A)X=是次方程，i均会使|iE-A|=0，(iE-A)X=必存在非零解，且有无个解向量，(iE-A)X=的基解系以及基解系的性合都是A的特点向量。例1.求矩的特点与特点向量。解：由特点方程解得A有2重特点1=-2，有特点3=42于特点1=2=-2，解方程(-2E-A)x=得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3(x

3、2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特点值1=2=-2的所有特点向量为x=k11+k22(k1,k2不全为零)可见，特点值=-2的特点向量空间是二维的。注意，特点值在重根时，特点向量空间的维数特点根的重数。对于特点值3=4，方程组(4E-A)x=得同解方程组为通解为令自由未知量x3=2得基础解系所以A的对于特点值3=4得所有特点向量为x=k33例2.求矩阵的特点值与特点向量解：由特点方程解得A有单特点值=1，有2重特点值=0123对于1=1，解方程组(E-A)x=得同解方程组为同解为令自由未知量x3=1，得基础解系所以A的对应于特点值1=1的所有特点向量为x=k11(

4、k10)对于特点值2=0，解方程组(0E-A)=3得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，得基础解系此处，二重根=0的特点向量空间是一维的，特点向量空间的维数特点根的重数，这类状况下，矩阵A是损失的。所以A的对应于特点值=0得所有特点向量为x=k2323例3矩阵的特点值与特点向量解：由特点方程解得A的特点值为1=1,2=i,3=-i对于特点值1=1，解方程组(E-A)=，由得通解为令自由未知量x1=1，得基础解系1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值1=1得所有特点向量为x=k11对于特点值2=i，解方程组(iE-A)=得同解方程组为通解为令自由未知量x3=1，得基解系2=(0,i,1)

5、T，所以A于特点2=1的所有特点向量x=k22(k20)。于特点3=-i，解方程(-E-A)x=，由得同解方程通解令自由未知量x=1，得基解系=(0,-i,1)T，所以A的于333=-i的所有特点向量x=k33。特点根复数，特点向量的分量也有复数出。特点向量只好属于一个特点。而特点多个，他都是次性方程(iE-A)x=方程(iE-A)x=的基解系就是属于特点征向量。的特点向量却有无的非0解。此中，的性没关的特性1.n方A=(aij)的所有特点根1，2，,n(包含重根)，第二个式子：由达定理，12n=(-1)nn又|E-A|=n+1n-1+n-11+n顶用=0代入二，得：|-A|=n，而|A|=(

6、-1)nn=12n，性2.假如可逆A的一个特点根，x的特点向量，是A-1的一个特点根，x仍的特点向量。：但是A-1的一个特点根。此中0，是因0不会可逆的特点根，否则，若=0,|A|=1n=0，A奇怪，与A可逆矛盾。2性3.假如方A的一个特点根，x的特点向量，m是Am的一个特点根，x仍的特点向量。：1)Ax=x，二左乘A，得：A2x=Ax=Ax=x=2x，可2是A2的特点根；2)若m是Am的一个特点根，Amx=mx，二左乘A，得：Am+1x=AAmx=Amx=mAx=mx=m+1x，得m+1是Am+1的特点根用法了然m是Am的一个特点根。性4.1，2，,m是方A的互不同样的特点。xj是属于i的特点向量(i=1,2,m)，x1,x2,xm性没关，即不同样特点的特点向量性没关。性4出了属于不同样特点的特点向量之的关系，因此是一个很重要的。性4可推行：1，2，,m方A的互不同样的特点，x,x,x1,k1是属于1的性没关特点向量，1112xm1,xm2,xm,