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1、函数对称中心的求法分析湖北省广水市第一中学（432700）刘才干题目函数f(x)x33x26x7的图象是中心对称图象，其对称中心为_.一、利用定义求对称中心剖析依据中心对称图形的定义，在函数f(x)图象上的随意一点A(x,y)对于对称中心(a,b)的对称点A(x,y)也在函数f(x)的图象上.xx2ax2axA(2ax,2by)，y，即y2b.y2by代入函数式有：2byf(2ax)(2ax)33(2ax)26(2ax)7,化简得：yx3(36a)x2(12a212a6)x(2b78a312a212a)，与f(x)x33x26x7是同一函数，则对应系数相等，36a3故12a212a66，a1，

2、b3，即函数f(x)的对称中心为(1,3).2b78a312a212a7评论利用中心对称的定义求解是基本方法，观察基本观点，经过同一函数的对应系数相等建立方程解出对称中心.二、巧取特别点求对称中心剖析在函数f(x)的图象上取点(1,3)、(2,1)，它们对于对称中心(a,b)的对称点分别为(2a1,2b3)、(2a2,2b1)也在函数f(x)的图象上.2b3(2a1)33(2a1)26(2a1)75a3)0，2b1(2a2)33(2a2)26(2a2)，相减则6(2a27a1或a3.又若对称中心为(3,1)，则(0,7)对于(3,1)的对称点(3,9)应在函2b3b122数图象上，而f(3)1

3、19，(3,1)不是对称中心，故对称中心为(1,3).2评论这里奇妙地在函数图象上取两个特别点，建立对于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特别点求出的解能否也知足一般的点，所以还要持续查验，清除增解.三、巧构奇函数求对称中心剖析把函数yf(x)变形为y3(x1)33(x1)，设函数yg(x)x3x，yg(x)为奇函数，其对称中心为O(0,0)，又将函数yx3r(1,3)平x的图象按向量a移恰好获得y3(x1)33(x1)，yf(x)的对称中心是由yg(x)的对称中心r3)平移获得的，即为(1,3)yf(x)的对称中心为(1,3)O(0,0)按向量a(1,评论这里奇妙地结构奇函数，将原函数看作是由奇函数平移获得的，利用奇函数对于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移获得的.四、巧用导函数求对称中心剖析如右图示，若函数f(x)的对称中心为(x0,y0)，且点(x1,y1)y和点(x2,y2)是函数图象上对于对称中心对称的两点，由对称性知，函数在x1，x2处的切线斜率相等，设斜率为k，则f(x)3x26x6k，Ox1x0 x2x3x26x6k0的两根为x1，x2，则x1x222x0，x01.又y0f(x0)f(1)3.函数f(x)的对称中心为(1,3).评论这里充分利用对称中心的性质

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