常用统计量及其应用

1、第四章常用统计量及其应用第一节平均数与标准差的概念一、平均数反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为1nxxin i 1平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中， 常用这一概念来反映事物的某些特征。例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数等等。二、标准差样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。但是， 平均数对整体的代表性是有条件的。例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试，老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周 300 元，汤姆一听，欣然接受，上班一天后，来找老板，声

2、称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。该厂工资分配表如下：人员吉斯莫弟弟个亲戚个领工个工人合计23平均工资300 元周工资（元周）240010002502001006900说明：该厂平均工资尽管较高， 但由于各个工资相差太大， 平均数对整体的代表性较差。这就说明在实际应用中， 仅有平均数是不够的， 还要考虑到数据的离散程度。 在数据相对比较集中时，平均数才具有代表性。反映样本离散程度的统计量，称之为标准差设样本观测值为x1 , x2 xn , 平均数为 x ，看看如何来定量计算标准差？样本的离散程度自然是相对平均数x 而言的为此构造出n(xix)i1n( xi x) 0但上式各项有正有负，

3、正负抵消i1所以要反映离散程度的大小可以让上式各项加以绝对值或求平方，但带绝对值后不便于处理，所以，选择后者从而有n(xix )2i1上式与样本含量的大小有关，所以，求平均的1nn( xix )2i1在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度（n1 ）代替n，则是无偏的因此，构造1n1n(xix) 2 ? s2i 1上式中 s2称为样本方差，还原成原来的量纲则有1nS(xi x) 2n1 i 1称为标准差，反映样本的离散程度。结束语：样本平均数反映样本数据的整体水平， 但是要结合标准差， 标准差反映样本数据的离散程度对于运动成绩，表现为成绩的稳定性。第 6 次课（3学时）教学目的

4、： 通过本次课的教学，使学生了解平均数和标准差在体育中的具体应用，掌握利用平均数和标准差制定评分评价标准的方法。教学内容：平均数和标准差在体育中的应用1标准百分2累进计分3离差法制定评价标准在制定离差评价表中的应用教学重点：标准百分和累进计分的计分思想离差评价表的制定过程教学难点：累进计分法教学内容的组织安排：标准百分和累进计分是体育统计的重要内容，在体育评分和评价中有重要应用， 为了让学生在实际工作中能正确地运用，教学中重点讲授计分思想， 让学生掌握两种计分方法的实质。教学方法上，采用“探索式”教学教师提出想法，启发学生积极思维，探索出计分公式。离差法制定评分价标准，主要借助于正态分布的概率

5、计算，前面已学过， 举一个例子讲解说明即可。离差评价表的制定，纯属应用内容，简单、直观、举一个例子说明制表过程，学生即可接受。需要强调，以上计分和评价方法的应用条件和各自的优点及缺点。开始语平均数和标准差是体育统计中两个重要的统计量，上次课学习了计算方法，本次课介绍它们在体育领域里的应用。第二节平均数和标准差在体育中的应用平均数和标准差在体育中的应用很广，这里列举个主要方面，分别加以介绍一、标准百分（分）在体育工作中，人们得到的数据资料往往是体育项目的成绩，不便于对个体进行评价。加之， 体育项目种类繁多，各项目的性质也相差较大，这给综合评价带来很大的不便。 于是产生了体育计分方法，标准百分计分

6、法就是其中的一种。（一）标准百分的计分思想设随机变量 x 服从正态分布N (u, 2 ) ，则由正态分布的知识可知P(u1.96xu1.96)95%P(u2.58xu2.58)99%即： rv x 落在区间u2.58内的概率99% 换句话说，来自总体的样本观测值（ x1 , x 2x n ）中绝大部分都落在u3 范围内， 因此计分范围可以取u 3 ，其中 u 和未知，可用样本平均数x 和标准差 S 代替，从而计分范围可定为 x3S （定为 x4S 或5S也行、但太大了不妥，也没有必要）标准百分的计分方法是在范围x3S 内均匀计分， 两端点分别计零分或满分x 点计 50分（二）标准百分的计分公式

7、由上可知，区间x3S 内单位长度的分值为1006S从而对于某个观测值x 1 其标准百分为田赛： T50(xx)10050100 xx6S6S径赛： T50(xx ) 10050100 xSx6S6若计分范围定为x5S，则标准百分为田赛： T5010(xx)S径赛： T5010( xx)S需要注意，原始变量必须是正态分布例4.4 已知某年级男生跳远成绩x5.20m, S0.40m ，其中甲成绩为 5.85m 乙成绩为 4.48m 试求他们的标准百分。解：跳远成绩服从正态分布记为xNu2)，u和 分别用x和 S 代替，则可认为( ,该年级男生的跳远成绩几乎都落在x3S范围内，所以，在区间 x3S

8、内计分。根据上面计分公式，可的T甲50100 xx100(5.855.20)77.086S5060.40T乙50100(4.485.20)2060.40二、累进计分（一）累进计分的思想标准百分有简单、直观、使用方便的优点。但由于该计分方法采用均匀计分，分值处理一样，没有与项目的难度联系起来，因此，不利于应用。在y体育领域内， 难度越大处分值应当越高，即分数随成绩的提高呈曲线上升，这就是累进计分的基本思想。通常采用二次曲线yax 2bx（二）累进计分公式由于体育项目多种多样，田赛和径赛项目情况不同，为了统一起见， 将原始变量进行处理。设原始变量服从正态分布，样本平均数和标准差分别x 和 S ，先

9、对原变量 x 作如下变换田赛： u径赛： uxxSxxS以上 u 值有正有负，为了克服负值的干扰，再作变换D5u （解释原因）现以 D 值为自变量，分数y 为因变量，建立二次曲线y kD 2其中 k 和 Z 为待定常数。为了确定计分公式，需要根据具体问题设定基分点和满分点，从而建立方程组y 1kD 12y 2kD 22解出k 和 ，即得到累进计分公式ykD 2例 4.5 已测得某年级男生跳远成绩 x 5.20m, S0.40m 若规定 xS位置为 60 分，x 3S位置为 100 分，甲、乙两人的成绩分别为5.64m 和 4.78m 试按累进计分法计算他们的分数。解：两个位置xS和 x 3S的

10、 D 值分别为D14D 28根据题设，得方程组42 k1 0 082 k解得k0.83,46.67从而累进计分公式为y 0.83D 246.67甲、乙两人的累进分数甲： D15x 155.645.206.1S0.40y10.83D1246.670.83(6.1)246.6778乙： D254.785.203.950.40y 20.83(3.95) 246.6760注意：原始变量必须呈正态分布三、离差法制定评分评价标准利用样本均数和标准差来制定评分、评价标准的方法习惯上称为离差法。常见的用离差法制定等级标准的方法是：先根据具体情况规定各等级的人数比例，如优秀 10%，良好 20% ，中等 30%

11、，及格 32%，不及格 8%再根据正态分布的知识，计算出各等级的成绩标准。例 4.6 现有一组男生200m 跑成绩 x26 秒， S0.4 秒，原始变量基本服从正态分布，若规定 12%的人为优秀， 20%为良好， 30%为中等， 30%及格， 8%不及格，试求各等级的标准。解：设优秀与良好的分界值为x 1 ，根据题设，有P(xx 1 )0.12将原始变量标准化得P( x xx 1 x ) 0.12SS查标准正态分布表，可得x 1x1.17S解和 x 1 x1.17S261.17 0.40 25.5设良好与中等的分界值为x 2 ，则P(xx 2 )0.120.200.32将 x 标准化并查表，得

12、x 2x0.47S解得 x 2 x0.47S 26 0.47 0.40 25.8同理可求得其它标准（留给学生课后完成）中等标准： x26.1及格标准： x26.6离差法要求原始变量服从正态分布。四、制定离差评价表在中学体育工作中，教师可以针对学生的整体成绩利用离差法制定各项目的综合评价表，在表中，各项目分上等、中上、中等、中下、和下等五个等级，各等级的计分标准为：上等： x2S 以上中上： xS x2S中等： xS xS中下： x2S xS下等： x2S以下例 4.7 测得某校初三年级女生身高x 1 154cm ，S1=5cm；60m 跑 x 2 11.2S ，S2=0.8S，体重 x 345

13、kg ， S3=5kg ；铅球 x 4500cm ， S4=45cm ；胸围 x 574cm ， S5 =4cm；跳高 x 696cm ， S6=10cm ；肺活量 x 72202mL ， S7=364mL ； 400m跑 x 8 92S， S8=9S经检验， 上述各项指标服从正态分布，试根据该资料制定离差评价表。如果某学生各项指标值如下： x 1159cm ， x2=12S， x3=48kg ， x4=480cm ， x5=76cm ， x6=97cm ， x7=2.360mL ，x8=102S，试对该生进行综合评价。解：离差评价表如下身体铅胸跳肺60m400m活高跑重球围高跑量2s sx

14、s2s结束部分：总结标准百分和累进计分的计分思想以及适用条件。第 7 次课（3学时）教学目的： 通过本次课的教学使学生了解平均数和标准差在体育中的另外一些应用，掌握变异系数和百分位数的概念及其应用。教学内容：平均数和标准差的应用（）稳定性研究（）选派参赛运动员（）人数估计研究百分位数及其应用教学重点：变异系数的概念及其应用百分位数的概念及其应用教学难点：百分位数的计算教学内容的组织安排：平均数和标准差的应用，上次课讲了四个方面，本次课再介绍三个方面的应用，其中稳定性研究和选派参赛运动员两方面内容，在体育工作中具有重要实用价值。变异系数的概念在一般教材中是作为一个新概念单独介绍的。但是我们将其作

15、为平均数和标准差的应用结果，这样更有利于学生对概念的理解，便于比较，而且突出应用。百分位数也是体育统计中的重要统计量由于它对总体分布没有明确要求，因此， 在体育评价中具有广泛的应用。其实，百分数的概念本身和运用都很简单直观，较困难的是其计算，教科书中都是直接给出计算公式，这样学生无法理解，也将难以运用。 本次课教学中，拟针对一个实例， 引导学生导出百分位数的计算公式，使学生在探索过程中掌握内容的实质。培养学生独立分析问题和解决问题的能力。开始部分：带学生一起复习平均数和标准差的应用。五、稳定性研究样本标准差可用来比较单位相同， 平均数相近的几组数据的离散程度， 但对于如下两种情况，则无法比较。

16、单位不同单位相同，平均数相差较大。故引进描述变异程度的另一统计量变异系数定义为CVS 100%X利用变异系数，不同项目之间可以比较其离散程度。例 4.8 测得某运动员百米跑和跳运两项目的20 次成绩经初步计算， 100m : x 112S ，S1=0.15S，跳远： x 25.9m ， S2=0.18m 试比较差运动员两个项目的稳定性。解：计算两项目的变异系数CV1S100%0.15 100% 1.25%x112CV2S2100%0.183.05%x 2100%5.9CV1CV 2故可认为百米跑成绩较稳定。六、选派参赛运动员例 4.9 某教练员要从两名标枪运动员中选派一个参加比赛，现有两人近期

17、训练成绩如下：甲： 40.5041.2640.4439.6240.1242.1039.8440.1838.7039.54乙： 40.4842.8840.5039.5038.0043.3238.7241.8236.8440.24试根据不同比赛状况选派参赛队员解：经计算 x甲40.23, S甲0.945x乙40.23 ， S乙 2.04最好成绩甲： 42.10m乙： 43.32m若比赛级别高，估计他们的平均成绩就得到好名次，则可派甲队参赛；若比赛级别高，对手的实力较强，两名队员只有在发挥最好成绩时才有可能取得名次，则可选派乙队员参赛。七、人数的估计研究例 4.10 已测得某大学生男生跳远成绩的平均

18、数x5.20m, 标准差 S0.15m 原始变量基本呈正态分布， 该校男生共1500 人，试分别估计跳远成绩在 5.50m 以上，5.30m 至 5.50m之间， 4.9m 以下的人数。解：跳远成绩 x N (5.20,4.15) 2P(x 5.50)1 P( x5.50) 1P( x5.202)0.1510.9772 0.0228P(5.305.50) P( x5.50)P( x 5.30) .P( x5.202)P( x5.200.67)0.150.150.97720.74860.2286P(x 4.9)x 5.200.0228P(2)0.15故成绩在5.50m 以上的人数： 15000.

19、0228 34（人）成绩在 5.30至 5.50 之间人数： 15000.2286343 （人）成绩在 4.90m 以下的人数： 15000.022834（人）第三节百分位数及其应用利用平均数和标准差进行体育评分、评价时， 均要求原始变量服从正态分布，如果总体不服从正态分布， 或总体分布不明时则不能运用平均数和标准差进行评分评价，应用百分位数来描述。一、百分位数的概念将一组数据从小到大依次排列，并将数列100 等分，与第 H 等分相对应的数，称为第H 百分位数，记用PH，H 称为 PH 的位置百分，第 50 百分位数就是中位数，中位数是百分位数的一个特列。例如，现有1000 个数据，按从小到大

20、的次序排列后，得到数据（ x 1 ， x 2 ， x 10 ， x 11, ?x 20 , ?x 100 , ? x 500 , ? x 900 , ?x 1000）则第 1 百分位数为 x10，即 Px101Px20,P50，P90 x 9 0 02x 5 0 0 x 10 的位置百分为H1， x 20 的位置百分为 2x 500 的位置百分为50， x 900 的位置百分为 90，计算公式为：x k 的位置百分Hkkkn100010100在 PH 前面有 H% 的数百分位数与位置百分互为数学运算二、百分位数的计算设原始资料已整理成频数分布表例 4.11 某年龄组150 名男生 60m 跑成绩的频数分布表如下（表4.3）试求 P5P10 P25P50 P75P90表 4.1（专教 P53）P10 组序组限组中值频数（ 5）累计频数（ F）累计频率（）17.57.65221.327.87.958106.738.18.25223221.348.48.55316342.058.78.854210570.069.09.152613187.379.39.451214395.389.69.75414798.099.910.05214999.31010.210.351150100.0计算百分位数的思想是： 频数分布表已将数据从小到大依次排列各组内的数设想在组内均匀分布