考研冲刺班概率论和数理统计Clip2Net

1、考研冲刺班概率论和数理统计主讲：费允杰一、基本观点总结1、观点网络图随机事件P(A)数字化一维随机变量X()F(x)P(Xx)八大散布（01、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态）数字特点（希望、方差）随机事件P(AB)数字化二维随机变量(X,Y)F(x,y)P(Xx,Yy)两大散布（均匀、正态）数字特点（希望、方差、协方差、有关系数）大数定律和中心极限制理四大统计散布（正态,2,t,F）（多维随机变量的函数散布）数理统计参数预计假定查验2、最重要的5个观点（1）古典概型（由比率引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3

2、个，问此中起码有1个是黑色的概率？（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）P(Xx)P(A)P(Xx,Yy)P(AB)例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，此中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X的数学希望。（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的结合散布律。3）散布函数（将概率与函数联系起来）F(x)P(Xx)（4）失散与连续的关系P(Xx)f(x)dxP(Xx,Yy)f(x,y)dx

3、dy例5：见“数字特点”的公式。（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一同）样本是由n个同整体散布的个体构成的，相当于n个同散布的随机变量的组合（n维随机变量）。例6：样本的X1nE(Xi)未知，矩预计：XXi是已知的，个体（整体）的，ni1达成了一个从样本到整体的推测过程。二、做题的19个口诀（概率16个，统计3个）1、概率1）题干中出现“假如”、“当”、“已知”的，是条件概率。例7：5把钥匙，只有一把能翻开，假如某次打不开就抛弃，问第二次翻开的概率？例8：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。（2）时间上分两个阶段的，用

4、“全概公式”或许“贝叶斯公式”。例9：玻璃杯成箱销售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购置一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地观察4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，不然退回。试求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率；2）在顾客买的此箱玻璃杯中，的确没有残次品的概率。3）“只知次数，不知地点”是“二项散布”。例10：抛5次硬币，此中有3次正面向上的概率？31312C5()()例11：1对夫妻生4个孩子，2男2女的概率？例12：某厂家生产的每台仪器，以概率0.7能够直接出厂，以概率0.3需进一步伐试，经调试后以概率0.8能够出厂，以概率0.2定

5、为不合格产品不可以出厂。现该厂重生产了n(n2)台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立），求1）所有能出厂的概率；2）恰有两台不可以出厂的概率；3）起码有两台不可以出厂的概率。4）“先后不放回取”“任取”，是“超几何散布”。例13：5个球，3红2白，先后不放回取P322个，2红的概率？P52例14：5个球，3红2C32白，任取2个，2红的概率？C52（5）“先后放回取”是“二项散布”。例15：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？C52(3)2(2)356）“直到才”是“几何散布”。例16：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X()为“抽取次数”，求X的散布律。例17：

6、5把钥匙，只有一把能翻开，假如某次打不开不抛弃，问以下事件的概率？第一次翻开；第二次翻开；第三次翻开。（7）求随机变量函数的散布密度，从散布函数的定义下手。例18：设X的散布函数F(x)是连续函数，证明随机变量从均匀散布。Y=F（X）在区间（0，1）上服（8）二维随机变量的概率散布从两个事件订交的实质下手。P(AB)P(A)P(B/A)fX(x)f(y/x)，f(x,y)。P(A)P(B)fX(x)fY(y)9）二维连续型随机变量的边沿散布由画线决定积分的上下限。例19：设二维连续型随机变量（X，Y）在地区D上听从均匀散布，此中D(x,y):|xy|1,|xy|1,求X的边沿密度fX(x)。（

7、10）求二维连续型随机变量的函数散布或许某个地区内的概率，由绘图计算订交部分（正概率区间和所求地区的交集）的积分。例20：设随机变量（X，Y）的散布密度为3x0 x1,0yx,(x,y)0,其余.试求U=X-Y的散布密度。（11）均匀散布用“几何概型”计算。例21：设随机变量（X，Y）的散布密度为20 x1,0yx,(x,y)0,其余.试求P(X+Y1)。12）对于独立性：对于失散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分别变量而且正概率密度区间为矩形。0,xk例22：设Xe（1），Yk（k=1,2）,求：1,xk1）(Y1,Y2)的散布；2）Y1与Y2边沿散布，并议论他们的独立

8、性；（3）E(Y1Y2).例23：如图，f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3，不独立。y1D1O1x例24：f(x,y)=Axy2,0 x2,0y1,判断X和Y的独立性。0,其余（13）二维随机变量的希望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边沿散布来求。1P(B|A)11例25：设A，B为两个随机事件,且P(A),P(A|B),令4321,发生，1,发生，X，不发生，Y不发生.，0A0B求()二维随机变量(X,Y)的概率散布;()X与Y的有关系数;XY()ZX2Y2的概率散布.（14）有关系数中的E(XY)，对于失散型随机变量，依据XY的一维散布来求；对

9、于连续型随机变量，依据函数的希望来求。例26：连续型随机变量：E(XY)xyf(x,y)dxdy（15）应用题：设Y为题干中要求希望的随机变量，a为最后题目所求，而后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。例27：设某种商品每周的需求量X听从区间10，30上的均匀散布的随机变量，而经销商铺进货数目为区间10，30中的某一整数，商铺每销售一单位商品可赢利500元；若供大于求则削价办理，每办理1单位商品损失100元；若求过于供，则可从外面调剂供给，此时每1单位商品仅赢利300元，为使商铺所赢利润希望值许多于9280元，试确立最少进货量。（16）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同散布”

10、。X2、统计（1）似然函数是结合密度或许结合散布律。n连续型：L(1,2,m)f(xi;1,2,m)i1n失散型：L(1,2,m)p(xi;1,2,m)1例28：设整体X的概率分别为X012322(1)22p1此中（01）是未知参数，利用整体X的以下样本值23，1，3，0，3，1，2，3求的矩预计值和最大似然预计值。2）“无偏”求希望，“有效”求方差，“一致”不论它。例29：设x1,x2,xn是整体的一个样本，试证1）2）3）11x13x21x3;5102115;2x1x2x334121313x1x2x3.3412都是整体均值u的无偏预计，并比较有效性。（3）标准正态、t散布区间预计和假定查验

11、取对于y轴对称的分位数，2、F散布取面积对称的分位数。三、选择题常考的5个混杂观点1、乘法公式和条件概率例30：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？P(AB)P(A)P(B/A)2、独立和互斥设A?,B?，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。例31：对于随意二事件A和B，（A）若AB=，则A，B必定不独立。（B）若AB=，则A，B必定独立。（C）若AB，则A，B必定独立。（D）若AB，则A，B有可能独立。3、独立和不有关独立是不有关的充分条件。(X,Y)为二维正态散布时，独立和不有关

12、互为充分必需条件。4、X，Y分别为正态散布，不可以推出（X，Y）为二维正态散布；也不可以推出X+Y为一维正态散布。例32：已知随机变量X和Y分别听从正态散布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY1，设ZXY.232（1）求Z的数学希望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的有关系数XZ；（3）问X与Z能否相互独立？为何？例33：设随机变量X和Y都听从正态散布，且它们不有关，则（A）X与Y必定独立。（B）（X，Y）听从二维正态散布。（C）X与Y未必独立。（D）听从一维正态散布。X+Y5、几个大数定律的差别切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同散布”。例34：设X1

13、,X2,Xn，是相互独立的随机变量序列，Xn听从参数为n的指数散布（n=1,2,），则随机变量序列2X1,22X2,nXn，：听从切比雪夫大数定律。听从辛钦大数定律。同时听从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。既不听从切比雪夫大数定律，也不听从辛钦大数定律。四、解答题常考的6个题型1、全概和贝叶斯公式例35：在电源电压不超出200V、在200240V和超出240V三种情况下，某种电子元件破坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压XN（220，252），试求（1）该电子元件破坏的概率；（2）该电子元件破坏时，电源电压在200240V的概率。1.40表中（x）是标准正态散布函数。2、二项散

14、布例36：设丈量偏差XN（0，102）。试求在100次独立重复丈量中，起码有三次丈量偏差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松散布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。附表：12345670.0013、二维随机变量例37：设二维随机变量（X，Y）的概率散布为YX0100.4a1b0.1若随机事件X=0与X+Y=1相互独立，则A、a=0.2,b=0.3C、a=0.3,b=0.2B、a=0.1,b=0.4D、a=0.4,b=0.1例38：设随机变量X在区间(0,1)上听从均匀散布，在Xx(0 x1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上听从均匀散布，求()随机变量X和Y的结合概率密度；()Y的

15、概率密度；()概率PXY14、数字特点例39：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站能够下车，若抵达一个车站，没有乘客下车就不断车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，求汽车均匀泊车次数。试例40：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的结合散布；（2）X与Y能否独立；（3）令U=max(X,Y),V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。例41：设X1,X2,Xn(n2)为独立同散布的随机变量，且均听从N（0，1）。记X1nXiX,i1,2,n.Xi,Yini1求：（I）Yi的方差DYi,

16、i1,2,n;II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).PY1Yn0.1,1x02例42：设随机变量X的概率密度为fxx1,0 x2,令YX2,FX,Y为二40,其余维随机变量X,Y的散布函数,求:()Y的概率密度fYy()covX,Y1()F,425、应用题例43：市场上对商品需求量为XU（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在库房中则每吨需养护费1万元，问需要组织多少货源，才能使利润最大？例44：设由自动线加工的某种部件的内径X（毫米）听从正态散布N（，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品赢利，销售每件不合格品损失。已知销售利润T（单元：元）与销售部件的内径X有以下关系。1,若X10T20,若10X125,若X12问均匀内径取何值时，销售一个部件的均匀利润最大？6、最大似然预计例45：设随机变量X的散布函数为(,)1x，,Fxxx，0此中参数0,1.设X1,X2,Xn为来自整体X的简单随机样本，()当1时,求未知参数的矩预计量；()当1时,求未知参数的最大似然预计量；()当2时,求未知参数的最大似然预计量。,0 x1例46：设整体X的概率密度为f(x,)1,1x2，此中是未知参数0,其余01）。X1,X2,Xn为来自整体的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于1的个数。求的矩预计和最大似