椭圆总结(全)文档

1、椭圆一知识清单椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a2aF1F2的动点P的轨迹，即点集M=P|PF|+|PF|=2a，2a|FF|；（2aF1F2时为线段F1F2，2aF1F2无轨迹）。此中两定1212点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和必定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P|PFe，0e1的常数。（e1为抛物线；e1为双曲线）d（利用第二定义,能够实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转变，定点为焦点，定直线为准线）.2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：x2y21（ab0）；a2b2焦点F（c，0），

2、F（c，0）。此中ca2b2（一个Rt三角形）12（2）焦点在y轴上，中心在原点：y2x21（ab0）；a2b2焦点F1（0，c），F2（0，c）。此中ca2b2注意：在两种标准方程中，总有ab0，ca2b2而且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A0，B0，AB），当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3参数方程：焦点在x轴，xacos（为参数）ybsin4一般方程：Ax2By21(A0,B0)5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：x2y21（ab0）有以下性质：a2b2坐标系下的性质：范围：|x|a，|y|b；对称性：对称轴方程为x=0，y

3、=0，对称中心为O（0，0）；极点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；椭圆的准线方程：对于x2y21，左准线l1:xa2；右准线l2:xa2a2b2cc对于y2x21，下准线l1:ya2；上准线l2:ya2a2b2cc1焦点到准线的距离pa2a2c2b2cc（焦参数）cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外面，与短轴平行，且对于短轴对称焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r

4、上=a-ey0PFmaxac,PFminac，左加右减，上减下加通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短2b2a平面几何性质：离心率：e=cc21aa2焦准距pb2；准线间距c两个最大角F1PF2max焦点在y轴上，中心在原点：6焦点三角形应注意以下关系：定义：r1r22a2b（焦距与长轴长之比）0,1；e越大越扁，e0是圆。a2a2cF1B2F2,A1PA2maxA1B2A2y2x2a21（ab0）的性质可近似的给出。b2(2)余弦定理：r12r222r1r2cos2(2c)(3)面积：SPF1F21rrsin12|y|=c|y|=b2tan21220

5、02(此中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF112212|r，|PF|r，FPF)7.共焦点的椭圆系想法：把椭圆x2y21（ab0）的共焦点椭圆设为x2y21(b2)a2b2a2b28.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系没关,而焦点坐标,准线方程,极点坐标,与坐标系相关.所以确立椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方.x1x2b12y1y2a（a,b,c9.弦长公式：AB1k2x1x211k2为kacx1x2a方程的系数考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1(湖北部分要点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的

6、光2线，经椭圆反射后，反射光芒经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平搁置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的行程是yA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能P分析按小球的运转路径分三种状况:CD(1)ACA,此时小球经过的行程为2(ac);OxABDBA,此时小球经过的行程为AB(2)2(a+c);(3)APBQA此时小球经过的行程为4a,应选DQ【名师引导】考虑小球的运转路径要全面【新题导练】1.短轴长为5，离心率e21212的椭圆两焦点为F，F，过F作直线交椭圆于

7、A、B两点，则ABF3的周长为（）A.3B.6C.12D.24分析C.长半轴a=3，ABF2的周长为4a=122.已知P为椭圆x2y21上的一点，M,N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的2516点，则PMPN的最小值为（）A5B7C13D15分析B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，|PC|PD|10，PMPN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程例2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两头点的连线相互垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用对于参数a,b,c的式子“描绘”出来分析设椭圆的方程为x2y21或x2y2

8、1(ab0)，a2b2b2a2bc则ac4(21)，a2b2c2解之得：a42，b=c4.则所求的椭圆的方程为x2y21或x2y21.32161632【名师引导】正确掌握图形特点，正确转变出参数a,b,c的数目关系警告易漏焦点在y轴上的状况【新题导练】3.假如方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.3分析(0,1).椭圆方程化为x2+y2=1.焦点在y轴上，则22，即k0，0k0（*）kmmm22kmm1x1x2k22，x1x2k22x1x22x2AP3PBx13x22x1x23x2222km2m1消去x2，得3（x1x2）4x1x20，3（k22）4k220222

9、2整理得4km2mk2012122222mm时，上式不可立；m时，k2，444m1211因3k0k222m20，1或2m21即所求m的取值范围为（1，2）（2，1）【名师引导】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热门之一，应充分重视向量的功能例7椭圆x2y21(ab0)上一点P向x轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点F1,A为椭圆的右a2b2uuuvuuuv0).极点，B是椭圆的上极点,且ABOP(、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是x25，求椭圆方程.uuuvuuuvABOP，PF1OBOA,分析、QABOP，PF1FO1cPF1bcBOOAa，a又P(c,y)c2PF11PF1b2a2b2

10、a2，bc,而a2b2c2a22c2e2.2、Qx25为准线方程，a225a225c,ca225ca210 x2y2由bc所求椭圆方程为21105a2b2c2b5【新题导练】714.设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P对于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA，且OQAB1，则P点的轨迹方程是（）A.3x23y21x0,y0B.3x23y21x0,y022C.3x23y21x0,y0D.3x23y21x0,y022分析3,3y),OQ(,)323y21，选A.AB(xxyx2215.如图，在Rt中，CAB=90，AB=2，AC=2。一曲线E过点，动点P在

11、曲线E上运动，ABC2C且保持|+|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。PAPB1）成立适合的坐标系，求曲线E的方程；2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点成立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得|PA|PB|CA|CB|222(2)2232222222动点P的轨迹方程为x2y21(ab0)，a2b2则a2,c1.a2c21b曲线E方程为x2y212（2）直线MN的方程为yk(x1),设M(x1,y1),设M(x1,y1,),N(x2,y2)由yk(x1)得(122)2422(21)0 x22y220k

12、xkxk8k280方程有两个不等的实数根x14k22,x12(k21)x2x2222k12kBM(x11,y1),BN(x21,y2)BMBN(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x11)(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k28(1k22(k21)(k21)(4k22)1k27k21)2k212k12k21MBN是钝角BMBN0即7k21012k2解得：7k777又M、B、N三点不共线k0综上所述，k的取值范围是(7,0)(0,7)77二典型例题考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例2.点P为为椭圆x2y21(ab0)上一点，F、F是椭圆的两个焦点，

13、试求：1PF2取a2b212得最值时的P点坐标。题型2求椭圆的标准方程3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两头点的连线相互垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424，求此椭圆方程.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在ABC中，A300,|AB|2,SABC3若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e题型2:椭圆的其余几何性质的运用（范围、对称性等）9x2y2例5.已知实数x,y知足41222,求xyx的最大值与最小值考点3椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时波及的距离、面积的最值x2y2例6.椭圆161xy90的距离的最小值为_9上的点到

14、直线l:题型2.一、的最值A为椭圆内必定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例7.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。二、的最值若A为椭圆C内必定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例8已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。10三、的最值若A为椭圆C外必定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例9.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。四、椭圆上定长

15、动弦中点到准线距离的最值例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上挪动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。考点4直线与椭圆订交问题题型1直线与椭圆订交求弦长常用剖析一元二次方程解的状况，仅有还不够，且用数形联合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0这一限制条件不一样意。x1x2b212a（a,b,cAB1kx1x21y1y21k为方程的系数）k2ax1x2ca例11.已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点，斜率为2，与椭圆订交于M、N两点，求弦MNl的长。11题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当波及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点均

16、分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1)B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设p(x0,y0)y1y2b2(x1x2)b2x0为AB的中点。两式相减，x2a2(y1y2)a2y0 x13.得出ky1y2x1x2注：一般的，对椭圆x2y21上弦AB及中点，M，有KABKOMb2a2b2a2例12.已知椭圆x2y21，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程2考点五.轨迹问题这一问题难，可是解决法特别多，有以下几种。1.直接法：依据条件，成立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应知足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P

17、(x,y)与Q点知足某种关系，要求P点的轨迹。其要点是列出P、Q两点的关系式x0f(x,y)yoy(x,y)定义法：经过对轨迹点的剖析，发现与某个圆锥曲线的定义符合，则经过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0 xf(t)难以直接求得时，常常用(t为参数)来反应yy(t)x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13：ABC的一边的的极点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是4，求极点A的轨迹方9程：基础训练A组1椭圆2x23y26的焦距是（）A2B2(32)C25D2(32)2F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M知足|MF1|+|MF2|=6，则

18、点M的轨迹是（）12A椭圆B直线C线段D圆3P是椭圆x2y21上一点，P到右焦点F2的距离为1，则P到相应左焦点的准线距离为（）4A3B23C3D236324若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（）A3B2C1D143244若椭圆的对称轴在座标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为3，这个椭圆方程为（）Ax2y21Bx2y21129912Cx2y2或x2y21D以上都不对12919126离心率e1，一个焦点是F0,3的椭圆标准方程为_.27与椭圆4x2+9y2=36有同样的焦点,且过点(3，)的椭圆方程为_8.设双曲线x2y

19、21（a0,b0）的渐近线与抛物线2+1相切，则该双曲线的离心率等于a2b2y=x_9.已知椭圆C:x2y21的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若2uuuruuuruuuurFA3FB,则|AF|=_10已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e25，求椭圆的方程，短轴长为8311已知A、B为椭圆x225y2=1上两点，F为椭圆的右焦点，若|AF|+|BF8a2+9a222|=5a，AB中点到椭2圆左准线的距离为3，求该椭圆方程212.求椭圆x2y21(ab0)的内接矩形面积的最大值a2b21313.已知圆x2y2，从这个圆上随意一点P向y轴作垂线段，求线段的中点M的轨迹.（200

20、9全国卷文）（本小题满分12分）x2y21(ab0)的离心率为3，过右焦点F的直线l与C订交于A、B223已知椭圆C:ab两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22（）求a,b的值；（）C上能否存在点P，使适合l绕F转到某一地点时，有OPOAOB成立？若存在，求出全部的P的坐标与l的方程；若不存在，说明原因。综合训练B组1以下命题是真命题的是（）A到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B到定直线xa2和定点F(c，0)的距离之比为c的点的轨迹是椭圆caC到定点F(c，0)和定直线xa2的距离之比为c(ac0)的点的轨迹是左半个椭圆caD到定直线xa2和定点F(c，0)的距离之比为a(a

21、c0)的点的轨迹是椭圆cc2若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点(5,3)，则椭圆方程是（）22Ay2x21By2x21Cy2x21Dx2y2184106481063若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A（0，+）B（0，2）C（1，+）D（0，1）4设定点F（10，3）、F（20，3），动点P知足条件PF1PF2a9(a0)，则点P的轨迹是（）aA椭圆B线段C不存在D椭圆或线段22225椭圆x2y21和x2y2kk0拥有（）abab14A同样的离心率B同样的焦点C同样的极点D同样的长、短轴6已知Px,y是椭圆x2y21上的点，则xy的取值范围是

22、_144257已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于_x2y21(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点8.已知双曲线b22P(3,y0)在双曲线上.则PF1PF2_9.过双曲线x2y21(a0,b0)的右极点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近a2b2uuur1uuur线的交点分别为B,C若ABBC，则双曲线的离心率是_2x10.（2009天津卷文）设双曲线a渐近线方程为_2y21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的2b211求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P（3，26）的椭圆方程.12已知地球运

23、转的轨迹是长半轴长为a，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离.13ABC的两个极点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-4，求顶9点A的轨迹方程.14过椭圆C:x2y21(x0,):x2y24引两条切线PA、PB、A、84上一点Py0向圆OB为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点（1）若PAPB0，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用x0,y0表示）；15（3）求MON面积的最小值（O为原点）15椭圆x2y21ab0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，此中O为坐标a2b2原点.（1）求11e知足3e2，求椭圆

24、长轴的取值范围a2b2的值；（2）若椭圆的离心率32提升训练C组1若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（）A1B2C2D142242已知P是椭圆x2y21上的一点，若P到椭圆右准线的距离是17，则点P到左焦点的距离100362是（）A16B66C75D7755883椭圆x2y21上的点到直线x2y20的最大距离是（）164A3B11C22D104在椭圆x2y21内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的43值最小，则这一最小值是（）A5B7C3D4225过点M（2，0）的直线m与椭圆x221交于P，P，线段PP的中点为P，设直线m的斜率

25、y21212为k1（k10），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A2B2C1D1226中心在原点，离心率为6，且一条准线方程是y=3的椭圆方程是.3167过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为的弦AB，那么弦AB的长=.38已知圆C:(x1)2y225及点A(1,0),Q为圆上一点，AQ的垂直均分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为.9.过椭圆x2y21(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若a2b2F1PF260o，则椭圆的离心率为_10.(2009湖北卷理)已知双曲线x2y21的准线过椭圆x2y21的焦点，则直线ykx2224b2与椭圆至多有一个交点的充要条件是_

26、11已知椭圆的焦点是F1(1,0),F2(1,0),为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2.12已知椭圆的一个焦点F(0,22)，对应的准线方程为y9，且离心率e为2和4的等12334比中项.（1）求椭圆方程，（2）能否存在直线l与椭圆交于不一样的两点M、N，且线段MN恰为直线x1l的倾斜角的范围，若不存在，请说明原因.均分？若存在，求出直线213椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线l与x轴订交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆订交于P

27、、Q两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若OPOQ0，求直线PQ的方程；（3）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆订交于另一点M，证明FMFQ.17基础训练A组答案：1A2C3D4C5C6y2x217x2y21362715108.解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y|2x.由题意有y02x0又y0 x021xx00 x0解得:x021,b2,e1(b)25.aauuuruuur9解：过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故2.又由椭圆的第二定义,得|BF|222|AF|2|BM|2333b45x2y21或y2x210分析:由

28、ec2a12，椭圆的方程为：1.a3c81448014480a2b2c211分析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，e4,由焦半径公式有1+a28，x1+x2=1a，5aexex=a25即AB中点横坐标为1a，又左准线方程为x5a，1a5a3，即a=1，椭圆方程为44442x2+25y2=1912S4acosbsin2absin2Smax2ab13解：设点M的坐标为(x,y)，则点P的坐标为(2x,y).22222x2P在圆xy1上，(2x)y1，即y1.4点M的轨迹是一个椭圆4x2y21分析：此题观察分析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆相关关系式计

29、算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特别状况的办理。解：（）设Fc,0,当l的斜率为1时，其方程为xyc0,O到l的距离为00cc2c2，c122由c3e3a得a3，ba2c2=218（）C上存在点P，使适合l绕F转到某一地点时，有OPOAOB成立。由（）知C的方程为2x2+3y2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2).()当l不垂直x轴时，设l的方程为yk(x1)C上的点P使OPOAOB成立的充要条件是P点的坐标为（x1x2,y1y2），且2(x1x2)23(y1y2)26整理得2x123y122x223y224x1x26y1y26又A、B在C上，即2x

30、123y126,2x223y226故2x1x23y1y230将yk(x1)代入2x23y26,并化简得(23k2)x26k2x3k260于是x1x226k22,x1x2=3k23k62,3k2y1y2k2(x11)(x22)4k223k2代入解得，k22，此时x1x232于是y1y2k(x1x22)=k，即P(3,k)222所以，当k2时，P(3,2)，l的方程为2xy20；22当k2时，P(3,2)，l的方程为2xy20。22（）当l垂直于x轴时，由OAOB(2,0)知，C上不存在点P使OPOAOB成立。综上，C上存在点P(3,2)使OPOAOB成立，此时l的方程为2xy20.22综合训练B

31、组答案1.D2.D3.D4.A5.A613,137458【分析】由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y22，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,1).不如去P(3,1)，则PF1(23,1)，PF2(23,1).PF1PF2(23,1)(23,1)(23)(23)109【分析】对于Aa,0，则直线方程为xya0，直线与两渐近线的交点为B，C，a2aba2abuuur22uuur2ab2ab),ABab,abB,C(,)，则有BC(,，因ababababa2b2a2b2abab19uuuruuurb2,e52ABBC,4a210【分析】由已知获

32、得b1,c3,ac2b22，由于双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为ybx2xa2【考点定位】本试题主要观察了双曲线的几何性质和运用。观察了同学们的运算能力和推理能力。11x2y2112.最大距离为a（1+e），最小距离为a（1e）32解：设极点A的坐标为(x,y).依题意得y6y64，xx9极点A的轨迹方程为x2y21(y6).8136说明：方程x2y21对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去.813614(12分)分析：（1）PAPB0PAPBOAPB的正方形x02y0283222P点坐标为（22,0）由x02y02x028x01442）设A（x1，y1），B（x

33、2，y2）则PA、PB的方程分别为x1xy1y4,x2xy2y4，而、交于（x0，0）PAPBPyx1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，AB的直线方程为：x0 x+y0y=4（3）由x0 xy0y4得M(4,0)、N(0,4)x0y0SMON1|OM|ON|1|4|4|8122x0y0|x0y0|x0y0|42|x0y0|22(x02y02)22SMON882222284|x0y0|22当且仅当|2x02|y0|时,SMONmin22.215（12分）分析：设(,),(,)1212y1y2，由OPOQxx+yy=0Px1Px2y11x1,y21x2,代入上式得：2x1x2(x1x2)10又将y1x代入x2y212222220,x1x22a22,a2b2(ab)x2axa(1b)0，a2bx1x2a2(1b2)112.a2b2代入化简得a2b220(2)e2c21b211b211b22,又由（1）知b2a2a2a23a222a232a2111125a235a6，长轴2a5,6.22a234222提升训练C组答案1.D2.B3.D4.C5.D6y2x271684x24y26172512219【分析】由于P(c,b2)，再由F1PF260o有3b22a,进而