青海省青海师范大学第二附属中学2021-2022学年数学高二下期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔

2、板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）ABCD3如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )A24种B16种C12种D10种4某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）A甲B乙C丙D丁5复数的模是( )A3B4C5D76若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数为D为纯虚数7小明、小红、小单三户人家，每户3人，共

3、9个人相约去影院看老师好，9个人的座位在同一排且连在一起，若每户人家坐在一起，则不同的坐法总数为（ ）ABCD8如图，矩形的四个顶点依次为，记线段、以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为( )ABCD9双曲线的渐近线方程是ABCD10设，则AB，CD，11已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是()ABCD12若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（ ）A-lBlC3D-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设随机变量服从正态分布，且，则_14已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值

4、时，点的坐标为_15在平面直角坐标系中，设点，点的坐标满足，则在上的投影的取值范围是_16一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值18（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点（1）证明：平面;（2）设，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离19（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴

5、为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.20（12分） (A)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为(为参数)，是曲线上的动点，为线段的中点，设点的轨迹为曲线.(1)求的坐标方程；(2)若射线与曲线异于极点的交点为，与曲线异于极点的交点为，求.(B)设函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.21（12分）已知椭圆：的离心率，该椭圆中心到直线的距

6、离为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线，使直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由.22（10分）设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，

7、属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2、B【解析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可【详解】设“东方魔板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是 则满足条件的概率 故选：B【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题3、C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，

8、所以行车路线共有种，故选C. 4、B【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B. 5、C【解析】直接利用复数的模的定义求得的值【详解】|， 故选：C【点睛】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题6、D【解析】将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为，错误；，错误；，错误；，为纯虚数，正确本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、

9、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.7、C【解析】分两步，第一步，将每一个家庭的内部成员进行全排列；第二步，将这三个家庭进行排列【详解】先将每一个家庭的内部成员进行全排列，有种可能然后将这三个家庭（ 家庭当成一个整体）进行排列，有种可能所以共有种情况故选：C【点睛】本题考查的是排列问题，相邻问题常用捆绑法解决.8、D【解析】分析：利用定积分的几何意义求出阴影部分的面积，由几何概型的概率公式，即可得结果.详解：阴影部分的面积是，矩形的面积是，点落在区域内的概率，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义以及几何概型概率公式，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的

10、曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.9、B【解析】由双曲线方程求得，由渐近线方程为求得结果.【详解】由双曲线方程得：，渐近线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.10、A【解析】利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合，然后进行交集的运算即可。【详解】，；，故选【点睛】本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运

11、算11、D【解析】由于 和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为【详解】点M的极坐标为，由于 和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D【点睛】本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题12、A【解析】圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令 ,得,即为所求.【详解】因为圆关于直线：对称,所以圆心在直线：上,即 ,解得.所以直线,令 ,得.故直线在轴上的截距为.故选A.【点睛】本题考查了圆关于直线对称,属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴，根据正态曲线的特

12、点，得到，从而可得结果.详解：随机变量服从正态分布，得对称轴是，所以，可得 ，故答案为.点睛：本题考查正态曲线的性质，从形态上看，正态分布是一条单峰，对称呈种形的曲线，其对称轴，并在时取最大值，从点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近轴，但永不与轴相交，因此说明曲线在正负两个方向都是以轴为渐近线的.14、【解析】由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为作，垂直于准线，如下图所示：由抛物线定义知：（当且仅当三点共线时取等号）即的最小值为，此时为与抛物线的交点 故答案为【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点

13、距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.15、【解析】根据不等式组画出可行域，可知；根据向量投影公式可知所求投影为，利用的范围可求得的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：，在上的投影为： 本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.16、【解析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：获得奖金数为随机变量，则6,9,12,15，所以的分布列为：6912

14、15PE()691215.点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）最大值为6，,最小值为【解析】（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。【详解】（1）函数的定义域为，由得 令得， 当和时，； 当时， 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间 （2）由（1），列表得单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为 ， 所以在区间上的最大值

15、为6，,最小值为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。18、（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为【解析】试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PBOE，由此能证明PB平面ACE（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB 又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB平面AEC （2）由，可得.作交于由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法

16、由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离19、 (1) 的直角坐标方程是.直线的普通方程为. (2) .【解析】（1）消去参数后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）设点，则，利用在椭圆上可得的直角方程，联立直线的普通方程和的直角坐标方程可得的直角坐标.【详解】解：（1）由，得，将互化公式代上式，得，故圆的直角坐标方程是.由，得，即.所以直线的普通方程为.（2）设点.由中点坐标公式得曲线的直角坐标方程为.联立，解得，或.故点的直角坐标是.【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标

17、，关键是参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等20、 (A) (1)(为参数)，(2)(B) (1)；(2).【解析】试题分析：A(1)结合题意可得的极坐标方程是(为参数)，(2)联立极坐标方程与参数方程，结合极径的定义可得B(1)由题意零点分段可得不等式的解集是；(2)由恒成立的条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式可得实数的取值范围是.试题解析：(A)解：(1)设，则由条件知，由于点在曲线上，所以，即，从而的参数方程为(为参数)，化为普通方程即，将，所以曲线后得到极坐标方程为.(2)曲线的极坐标方程为，当时，代入曲线的极坐标方程，得，即，解得或，所

18、以射线与的交点的极径为，曲线的极坐标方程为.同理可得射线与的交点的极径为.所以.(B)解：(1)当时，由解得.(2)因为且.所以只需，解得.21、 (1) .(2) 存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.【解析】分析：由，该椭圆中心到直线的距离为，求出椭圆方程；（2）先假设存在这样的直线，设出直线方程（注意考虑斜率），与椭圆联立，考虑然后设，利用韦达定理，利用为直径的圆过定点，转化，转化坐标构造方程进行求解详解：（1）直线的一般方程为，依题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时，为椭圆的短轴端点，以为直径的圆经过点.当直线的斜率存在时，设其斜率为，由，得.所以，得.设，则，而 .因为以为直径的圆过定点，所以，则，即.所以.将式代入式整理解得.综上可知，存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.点晴：本题考查直线与椭圆的位置关系，这类题目