天津市静海区2022年数学高二第二学期期末联考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）ABCD2已知，用数学归纳法证明时假设当时命题成立，证明当时命题也成立，需要用到的与之间的关系式是（ ）ABCD3定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD4给出下列三个命题：“若，则”为假命题；若为真命题，则,均为真命题；命题，则.其中正确的个数是（ ）A0B1C2D35已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围是（ ）ABCD6已知定义域为R的函数满足：对任意实数有，且，若，则 ( )A2B4CD7安排位同学摆

3、成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（ ）种ABCD8参数方程x=2t，ABCD9设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD10函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()ABCD11已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是()ABCD12设，则的值分别为 （ ）A18，B36, C36，D18，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在平行六面体（即六个面都是平行四边形的四棱柱）中，又，则的余弦值是_14已知的外接圆半径为1，点在线段上，且，则面积的最大值为_.15双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为_.

4、16甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的期望值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知一次函数f(x)满足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.(1) 求f(x)的解析式;(2) 设, 若|g(x)|af(x)a0，求实数a的取值范围.18（12分）已知.为锐角，.（1）求的值；（2）求的值.19（12分）已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.（1）求函数的解析式；（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.20（12分）已知函数

5、.（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.21（12分）（1）用分析法证明：;（2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.22（10分）设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由圆，化为，化为，圆心为，半径r=tan=，取极角，圆的圆心的极坐标为故选A2、C【解析】分别根据已知列出和，即可得两者之间的关系式.【详解】由题得，当时，当时，则有，故选C.【点睛】本题考查数学归纳法的步骤表示，属于基础题.3

6、、D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集当时，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，则在的值域为当时，则有，解得，当时，不符合题意；当时，则有，解得综上所述，可得的取值范围为 故本题答案选点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围讨论应该不重复不遗漏4、B【解析】试题分析：若，则且，所以正确；若为真命题，则，应至少有一个是真命题，所以错；正确考点：1.四种命题；2.命题的否定5、C【解析】对函数求导，将问题转化为恒成立，构造函数，将问题转化为来求解，即可求出实数

7、的取值范围.【详解】，令，则.，其中，且函数单调递增.当时，对任意的,，此时函数在上单调递增，则，合乎题意；当时，令，得，.当时，；当时，.此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时根据函数的单调性转化为导数的符号来处理，然后利用参变量分离法或分类讨论思想转化函数的最值求解，属于常考题，属于中等题。6、B【解析】分析：令，可求得，再令，可求得，再对均赋值，即可求得.详解：，令，得，又，再令，得，令，得，故选B.点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题. 7、C【解析

8、】利用间接法，在甲同学与乙同学相邻的所有排法种减去甲同学既与乙同学相邻，又与乙同学相邻的排法种数，于此可得出答案【详解】先考虑甲同学与乙同学相邻，将这两位同学捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法总数为种，再考虑甲同学既与乙同学相邻又与丙同学相邻的相邻的情况，即将这三位同学捆绑，且将甲同学置于正中间，与其余两位同学形成三个元素，此时，排法数为.因此，所求排法数为，故选C.【点睛】本题考查排列组合问题，问题中出现了相邻，考虑用捆绑法来处理，需要注意处理内部元素与外部元素的排法顺序，结合分步计数原理可得出答案8、D【解析】由x=2t，得t=2x，代入y=2【详解】由题意知x0，将t=2x代入y=解

9、得y24-x22=1，因为【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：加减消元法；代入消元法；平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。9、A【解析】分析：的定义域为 ，由 得 所以 能求出的取值范围详解：的定义域为 ，由 得所以若 ，当时，此时单调递增；当时， ，此时单调递减所以是函数的极大值点满足题意，所以成立若，由，得，当 时，即 ，此时当时，此时单调递增；当时， ，此时单调递减所以是函数的极大值点满足题意，所以成立如果 函数取得极小值，不成立；若 ，由 ，得因为是f（x）的极大值点，成立；综合：的取值范围是 故选：A

10、点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化10、D【解析】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【点睛】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。11、D【解析】由于 和是终边相同的角，故点M的极坐标也可

11、表示为【详解】点M的极坐标为，由于 和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D【点睛】本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题12、A【解析】由B（n，p），E12，D4，知np12，np（1p）4，由此能求出n和p【详解】E12，D4，np12，np（1p）4，n18，p故选A【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由题意，画出平行六面体，连接，用向量的方法，根据题中数据，求出，再根据余弦定理，即可求出结果.【详解】由题意，画出平行六面体，连接，则，因为，所以，又，所以.故

12、答案为：.【点睛】本题主要考查空间向量的方法求夹角问题，熟记空间向量的运算法则，以及余弦定理即可，属于常考题型.14、【解析】由所以可知为直径，设，求导得到面积的最大值.【详解】由所以可知为直径，所以，设，则，在中，有，所以的面积，.方法一：（导数法），所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的面积的最大值为.方法二：（均值不等式），因为.当且仅当，即时等号成立，即.【点睛】本题考查了面积的最大值问题，引入参数是解题的关键.15、60【解析】计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，所以，双曲线的渐近

13、线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，因此，两渐近线的夹角为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.16、【解析】分析：随机变量的可能取的值为1，2，事件“”是指有两人同时参加A岗位服务，由此可得的分布列，进而得到的期望.详解：随机变量的可能取的值为1，2，事件“”是指有两人同时参加A岗位服务，则，.即的分布列如下表所示：的数学期望.故答案为：.点睛：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) f(

14、x)=x+1.(2) a0.【解析】分析：（1）待定系数法即可求得f(x)的解析式；（2）分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.详解：(1)设f(x)=kx+b，则解得：k=b=1, 故f(x)=x+1.(2) 由(1)得:g(x)|g(x)|af(x)a0可化为|g(x)|ax.|g(x)|由|g(x)|ax可分两种情况：(I)恒成立若x0，不等式显然成立；若x0时，不等式等价于x2a.x22，a2.(II)恒成立方法一分离参数：可化为a在(0, )上恒成立。令h(x)=,则h(x)= =令t(x)=x(x+1)ln(x+1), 则由t(x)=-ln(x+1)0知t(x)在(0, )上单调

15、递减,故t(x)t(0)=0，于是h(x)0时,恒有h(x)= 0于是a0.方法二分类讨论：ln(x+1)axln(x+1)ax0令(x)= ln(x+1)ax，则(x)=a=当a0时, (x)在(0,)上单调递增,故有(x) (0)=0成立;当0a1时, (x)在(0,1)上单调递增, 在(1)是递减.取x=1, 易知(1)=-2lna+a0，故不合题意；当a1时, (x)在(0,)上单调递减，显然不合题意。所以a0.方法三数形结合：根据函数图象可知a0.综合(1)(2)得2a0.点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，一般常用方法是构造函数求导、分离参数、分类讨论是解决这种问题常用的方法.18

16、、（1）；（2）【解析】（1）由三角函数的基本关系式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.（2）由（1）知，得到，进而得到，再利用两角差的正切函数的公式，即可求解.【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 因此；（2）由（1）知，又，所以，于是得，因为.为锐角，所以，又，于是得， 因此， 故.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，以及两角差的正切公式，以及余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1）（2）当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.【解析】试题分析：（1） ，用替换式中的有： ，由消去即可得结果

17、；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.试题解析：（1）对任意实数恒有：，用替换式中的有：，得：，（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，在上为单调增函数.证明：设任意且，则，当时，则，在上是减函数.当时，则，在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.20、 (1) 或 (2) 【解析】运用分类讨论去绝对值， 然后求出不等式结果由题意得，结合解集得出不等式组求出结果【详解】（1）即当时，原不等式化为，即，解得，；当时，原不等式化为，即，

18、解得，.当时，原不等式化为，即，解得，不等式的解集为或.（2）不等式可化为问题转化为在上恒成立，又，得，.【点睛】本题考查了含有绝对值问题的不等式，首先需要进行分类讨论去掉绝对值，然后求出不等式结果，在第问中需要进行转化，继而只有一个绝对值问题求解。21、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从而可得结果；（2）假设成等差数列，可得，结合可得，与是不全相等的实数矛盾，从而可得结论.详解：（1）欲证只需证：即只需证：即显然结论成立故（2）假设成等差数列，则由于成等差数列，得那么，即由、得与是不全相等的实数矛盾故不成等差数列点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.22、 (1)证明见解析.(2) .【解析】分析