江苏省常州市教育学会学业水平监测2021-2022学年高二数学第二学期期末考试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1曲线上一点处的切线方程是（ ）ABCD2下列说法正确的是（ ）A命题“若，则”的否命题为：“若，则”B已知是R上的可导函数，则“”是“x0是函数的极值点”的必要不充分条件C命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”的逆否命题为真命题3甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.4,则本次比赛甲获胜的概率是（ ）A0.216B0.36C0.352D0.6484设函数，其中，存在

3、使得成立，则实数的值为（）ABCD5根据如下样本数据得到的回归方程为，则345678A，B，C，D，6已知复数（其中为虚数单位），则ABCD7 “，”是“双曲线的离心率为”的（ ）A充要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充分不必要条件8若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD9不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数( )A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列10若，则（）ABCD11下列函数中，在定义域内单调的是（ ）ABCD12中，则

4、的值是（ ）ABCD或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若实数、满足，则的取值范围是_.14已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为1.3x1，则m_.x1234y0.11.8m415已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为_.16下表提供了某学生做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x（道）3456y（分钟）2.5t44.5根据上表提供的数据，得y关于x的线性回归方程为则表中t的值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线，C与l有且仅有一个公

5、共点（）求a；（）O为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值18（12分）在直角坐标系中，直线：，圆：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积.19（12分）某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)（万元），若年产量不足80千件，C(x)的图象是如图的抛物线，此时C(x)0的解集为(-30,0)，且C(x)的最小值是-75，若年产量不小于80千件，C(x)=51x+10000（1）写出年利润L(x)（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该

6、厂在这一商品的生产中所获利润最大？20（12分）用数学归纳法证明.21（12分）已知.猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论.22（10分）（文科学生做）已知数列满足.（1）求，的值，猜想并证明的单调性；（2）请用反证法证明数列中任意三项都不能构成等差数列参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求导利用导数的几何意义求出曲线上一点处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可.【详解】由题.故.故曲线上一点处的切线方程是.化简得.故选：A【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题.2、

7、B【解析】试题分析：对于A，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知是R上的可导函数，则“”函数不一定有极值，“是函数的极值点”一定有导函数为，所以已知是上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选B考点：命题的真假判断与应用3、C【解析】先列举出甲获胜的情况，再利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率。【详解】记事件A:甲获胜，则事件A包含

8、：比赛两局，这两局甲赢；比赛三局，前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢。由独立事件的概率乘法公式得PA故选：C.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式的应用，解题前先要弄清事件所包含的基本情况，并逐一列举出来，并结合概率的乘法公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。4、A【解析】试题分析：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（A，2A）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y=2，解得x=1，曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离D=，则f（x），根据题意，要使f（），

9、则f（）=，此时N恰好为垂足，由，解得考点：导数在最大值、最小值问题中的应用5、B【解析】试题分析：由表格数据的变化情况可知回归直线斜率为负数，中心点为，代入回归方程可知考点：回归方程6、B【解析】分析：根据复数的运算法则和复数的模计算即可.详解：，则.故选：B.点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程7、D【解析】当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.

10、故选D.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.8、B【解析】先对函数求导，令导函数等于0，在上有小于的极值点等价于导函数有小于0的根【详解】由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数极值的问题属于基础题9、B【解析】由已知条件，可得由得代入，得2b，即

11、x2y22b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.10、A【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，即可求解【详解】由题意，可得，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11、A【解析】指数函数是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【详解】A. ，指数函数 是单调递减函数,正确B. 反比例函数，在单调递减，在单调递减，但在上不单调，错误C. ，在定义域内先减后增，错误D. ，双勾函数，时先减后增，错误故答案选A【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题.1

12、2、B【解析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得，选B.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】利用椭圆的参数方程，设，代入所求代数式，换元，可得出，将代数式转化为关于的二次函数在区间上的值域来处理.【详解】设，则，设，则，其中，由于二次函数，当时，；当时，.因此，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数的值域问题以及二次函数的值域，本题用到了两次换元，同时要注意关系式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、3.1.【解析】分析：利用线性回归方程经过样本中心点，

13、即可求解.详解：由题意得 (1234)2.5，代入线性回归方程得1.32.512.25，2.25 (0.11.8m4)，解得m3.1.故答案为：3.1.点睛：本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础.15、【解析】分析：根据逆矩阵公式得结果.详解：因为的逆矩阵为，所以矩阵A的逆矩阵为点睛：求逆矩阵方法：（1）公式法：的逆矩阵为，（2）定义法：.16、3【解析】现求出样本的中心点，再代入回归直线的方程，即可求得的值.【详解】由题意可得，因为对的回归直线方程是，所以，解得.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，代入求解，着

14、重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（3）（3）【解析】试题分析（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为，B的极角为+，则|OA|+|OB|=3cos+3cos（+）=3cos（+），利用三角函数的单调性即可得出解：（）曲线C：=3acos（a2），变形3=3acos，化为x3+y3=3ax，即（xa）3+y3=a3曲线C是以（a，2）为圆心，以a为半径的圆；由l：cos（）=，展开为，l的直角坐标方程为x+y3=2由直线l与圆C相切可得=a，解得a=3（）不

15、妨设A的极角为，B的极角为+，则|OA|+|OB|=3cos+3cos（+）=3cossin=3cos（+），当=时，|OA|+|OB|取得最大值3考点：简单曲线的极坐标方程18、 (1)的极坐标方程为，的极坐标方程为.(2).【解析】分析：（1）直接利用可得的极坐标方程，：利用平方法消去参数，可得其普通方程，利用互化公式可得的极坐标方程；（2）将代入，得，利用极径的几何意义可得，由三角形面积公式可得结果.详解：（1）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.（2）将代入，得，解得，.因为的半径为，则的面积.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取

16、相应的参数可以把普通方程化为参数方程；利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题19、 (1) L(x)=-13x2【解析】（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足80件，以及年产量不小于80件计算，代入不同区间的解析式，化简求得L(x)=-（2）分别计算年产量不足80件，以及年产量不小于80件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于80件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为100件时，利润最大为1000万元.【详解】（1）当0 x80时，

17、L(x)=50 x-C(x)-250=50 x-1当x80时，L(x)=50 x-C(x)-250=50 x-51x-10000所以L(x)=-13x（2）当0 x80时，L(x)=-此时，当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=950万元当x80时，L(x)=1200-此时，当x=10000 x时，即x=100时，L(x)取得最大值L(100)=1000万元，所以年产量为100件时，利润最大为1000万元考点：配方法求最值均值不等式20、见解析.【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证时不等式成立；（2）假设当时成立，利用放缩法证明时，不等式也成立详解：证明：当时

18、，左边，不等式成立.假设当时，不等式成立，即，则当时，当时，不等式成立.由知对于任意正整数，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力21、证明见解析【解析】首先计算，猜想， 再用数学归纳法证明.【详解】 猜想， 下面用数学归纳法证明：时，猜想成立； 假设时猜想成立，即则时，由及得 又=, 时猜想成立.由知.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的归纳推理能力和计算能力.22、 (1) ，猜想该数列为单调递减数列，证明见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）由题可直接计算，的值，根据数值的增减性可猜想单调性；（2）反证法证明，先假设结论的反面成