北京市东城区汇文中学2022年高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是( )A样本中

2、的女生数量多于男生数量B样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C样本中的男生偏爱理科D样本中的女生偏爱文科2若圆和圆相切，则等于( )A6B7C8D93准线为的抛物线标准方程是（ ）ABCD4如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A0.960B0.864C0.720D0.5765某个班级组织元旦晚会，一共准备了、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种A7

3、2B84C96D1206对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD7已知圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ）ABCD8某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）ABCD9已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为ABCD10已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是( )ABCD11已知函数为偶函数，记 ， ，则的大小关系为 ( )ABCD12函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13三棱锥PABC中，PAPBABACBC，M是PA的中点，

4、N是AB的中点，当二面角PABC为时，则直线BM与CN所成角的余弦值为_.14设等差数列的前项和为，则成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，_， 成等比数列.15已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则的共轭复数_16在下列命题中：两个复数不能比较大小；复数对应的点在第四象限；若是纯虚数，则实数；若，则；“复数为纯虚数”是“”的充要条件；复数；复数满足；复数为实数.其中正确命题的是_.（填序号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形和四边形都是正方形，且边长为，是的中点.（1）求证：直线平面；

5、（2）求二面角的大小.18（12分） “过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有三种品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.（）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有家，则品牌的店各应抽取多少家？（）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的个白球和个红球.顾客可以一次性从盒中抽取个球，若是个红球则打六折（按原价的付费），个红球个白球打八折，个红球个白球则打九折，个白球则打九六折.小张在该店点了价值元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支

6、付的费用为，求的分布列与数学期望.19（12分）已知函数（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明20（12分）已知函数的图象过点.(1)求的解析式及单调区间；(2)求在上的最小值.21（12分）设函数 （1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2）讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.22（10分）学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的

7、有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；求的数学期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）参考答案一、选择题

8、：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.2、C【解析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得的值并验证即可得结果.【详解】圆的圆心，半径为5；圆的圆心，半径为r.若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即|r5|，求得r18或8，不满足5r10.若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即|r5|，求得r8或18(舍去)，故选C【点睛】本题主要考查圆的

9、方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离为，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.3、A【解析】准线为的抛物线标准方程是，选A.4、B【解析】A1、A2同时不能工作的概率为0.20.20.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为10.040.96，所以系统正常工作的概率为0.90.960.864.故选B.考点：相互独立事件的概率.5、B【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可详解：由题意不同节目顺序有故选B点睛：本题考查了排列、组合

10、题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”将“捆绑”元素在这些位置上作全排列6、B【解析】考点：绝对值不等式；函数恒成立问题分析：要使不等式|x+2|-|x-1|a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，问题转化为求f（x）的最小值解：（1）设f（x）=|x+2|-|x-1|，则有f（x）=，当x-2时，f（x）有最小值-1；当-2x1时，f（x）有最小值-1；

11、当x1时，f（x）=1综上f（x）有最小值-1，所以，a-1故答案为B7、B【解析】由题意可得双曲线的渐近线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，求出 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案【详解】由题意，根据双曲线的渐近线方程为根据圆的圆心到切线的距离等于半径1，可得，整理得，即，又由，则，可得 即双曲线的离心率为故选：B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)8、B【解析】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复

12、事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得， 故选B9、D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.10、B【解析】先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.【点睛】本题考查幂函数奇

13、偶性与单调性，考查基本判断选择能力.11、C【解析】试题分析：因为为偶函数，所以，在上单调递增，并且，因为，故选C考点：函数的单调性【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小12、D【解析】根据函数的单调性判断出导函数函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论【详解】由图象可知，函数在时是增函数

14、，因此其导函数在时，有（即函数的图象在轴上方），因此排除A、C从原函数图象上可以看出在区间上原函数是增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以所以可排除C故选D【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先连结PN，根据题意，PNC为二面角PABC的平面角，得到PNC，根据向量的方法，求出两直线方向向量的夹角，即可得出结果.【详解】解：连结PN，因为N为AB中点，PAPB，CACB，

15、所以，所以，PNC为二面角PABC的平面角，所以，PNC，设PAPBABACBC2，则CNPNBM，设直线BM与CN所成角为，【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，灵活运用向量法求解即可，属于常考题型.14、【解析】由于等差数列的特征是差，等比数列的特征是比，因此运用类比推理的思维方法可得： ， ， 成等比数列，应填答案。15、【解析】把复数对应的点的坐标代入直线上，由此得到复数，即可求出答案【详解】复数在复平面内对应的点为，代入直线，可得，解得：，故复数，所以复数的共轭复数；故答案为【点睛】本题主要考查复数对应点的坐标以及与共轭复数的关系，属于基础题。16、【解析】根据复数的定义和性质，依次

16、判断每个选项得到答案.【详解】当复数虚部为0时可以比较大小，错误；复数对应的点在第二象限，错误；若是纯虚数，则实数，错误；若，不能得到，举反例，错误；“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件，错误；复数，取，不能得到，错误；复数满足，取，错误；复数为实数，根据共轭复数定义知正确.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连结交于，根据平行四边形性质得是中点，再根据三角形中位线性质得，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）根据条件建立空间直角

17、坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角.试题解析：（1）且，与交于点，与交于点平面平面，几何体是三棱柱又平面平面，平面，故几何体是直三棱柱（1）四边形和四边形都是正方形，所以且，所以四边形为矩形；于是，连结交于，连结，是中点，又是的中点，故是三角形D的中位线，注意到在平面外，在平面内，直线平面（2）由于平面 平面，平面，所以.于是，两两垂直.以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为，且为中点，所以，于是，设平面的法向量为则，解之得，同理可得平面的法向量，记二面角的大小为，依题意知，为锐角，即求二面角的大

18、小为18、（）品牌店家，应抽查品牌店家；（）分布列见解析，【解析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.【详解】（）由题意得，应抽查品牌店家，应抽查品牌店家；（）离散型随机变量的可能取值为.于是，.的分布列如下60809096所以【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.19、（1）在上单调递增；（2）详见解析.【解析】（1）对求导，根据的符号得出的单调性；（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式

19、，利用函数单调性证明不等式恒成立即可【详解】解：（1）时，故，在上单调递增（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，即实数的取值范围是不妨设，则，两式相加得：，两式相减得：，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可令，则，在上单调递增，即在恒成立【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于的不等式是证明的难点，属于难题20、 (1) ；单调递减区间为，单调递增区间为.(2) 【解析】（1）先由函数图像过点，求出，得到函数解析式，再对函数求导，用导数的方法，即可得出函数的单调区间；（2）先令在上的最小值为，结合（1）的结果，分别讨论和两种

20、情况，即可求出函数的最小值.【详解】(1)函数的图象过点故. 令得当时，此时单调递减当时，此时单调递增. 所以，单调递减区间为，单调递增区间为.(2)令在上的最小值为，由(1)知，当时当，在上单调递增， 综上所述：的最小值.【点睛】本题主要考查函数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.21、（1）（2）见解析（3），见解析【解析】（1）根据单调区间判断出是极值点，由此根据极值点对应的导数值为求解出的值，并注意验证是否满足；（2）先求解出，然后结合所给区间对进行分类讨论，分别求解出的单调性；（3）构造函数，分析的取值情况，由此求解出的取值范围；将证明通过条件转化为证明，由此构造新函数进行分析证明.【详解】（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，故，此时满足是极大值点，所以；（2），当时，在上单调递增.当，即或时，在上单调递减.当且时，由 得.令得；令得.在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，