上海市第六十中学2021-2022学年高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1将点的极坐标化成直角坐标是()ABCD2函数的最小正周期为（ ）ABCD3对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段

2、的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）ABCD4已知双曲线mx2-yAy=24xBy=25设i为虚数单位，复数等于( )AB2iCD06定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则函数与的图像所有交点的横坐标之和为（）A2B4C6D87已知，则的值( )A都大于1B都小于1C至多有一个不小于1D至少有一个不小于18曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD9如图，在中, ,是上的一点,若,则实数的值为( ) ABCD10从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）A5种B6种C7种D8种11若

3、关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）ABCD12从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，对于任意，都存在，使得，则的最小值为_.14行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为_.15已知函数，则在处的切线方程为_.16已知平面向量，满足|=1，|=2，|=，则在方向上的投影是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某中学学生会由8名同学组成，其

4、中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.（1）求这2人来自两个不同年级的概率；（2）设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望.18（12分）如图为某一几何体的展开图，其中是边长为的正方形，点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来，使四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19（12分）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三

5、角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.20（12分）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；(2)讨论函数的单调性.21（12分）由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表：非常满意满意合计30合计已知在被调

6、查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.（）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；（）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；（）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：22（10分）在中，角，的对边分别为，且. （1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解

7、析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A2、B【解析】先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案【详解】函数的最小正周期为：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题3、D【解析】根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中， ， 又 又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键

8、是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.4、A【解析】x21m-y2=1,c=1m+1=35、B【解析】利用复数除法和加法运算求解即可【详解】 故选B【点睛】本题考查复数的运算，准确计算是关键，是基础题6、B【解析】根据f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数【详解】f（x+1）f（x），f（x+1）f（x+1）f（x），f（x）的周期为1f（1x）f（x1）f（x+1），故f（x）的图象关于直线x1对称又g（x）（）|x1|（1x3）的图象关于直线x1对称，作出f（x）的函数图象如

9、图所示：由图象可知两函数图象在（1，3）上共有4个交点，故选B【点睛】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题7、D【解析】先假设，这样可以排除A，B.再令，排除C.用反证法证明选项D是正确的.【详解】解:令，则，排除A，B.令，则，排除C.对于D，假设，则，相加得，矛盾，故选D.【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键.8、C【解析】求导，把分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.【详解】将代入导函数方程，得到 将代入曲线方程，得到切点为：切线方程为：故答案选C【点睛】本题考查了曲线的切线

10、，意在考查学生的计算能力.9、C【解析】先根据共线关系用基底表示，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数的值.【详解】如下图，三点共线，即,又，对比，由平面向量基本定理可得：【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.10、B【解析】由分步计数原理得，可选方式有236种故选B考点：分步乘法计数原理11、B【解析】恒成立等价于恒成立，令，则问题转化为，对函数求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。【详解】恒成立等价于恒成立，令，则问题转化为，令，则，所以当时，所以在单调递减且，所以在上单调递增，在上的单调递减，当时，函数取得最大值，所以 故选B【点睛】本题考查利用导函

11、数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数，属于一般题。12、C【解析】根据题意，求出和，由公式即可求出解答.【详解】解：因为事件为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以 事件发生且事件发生概率为： 故.故选：C.【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】试题分析：由知，；由f（m）=g（n）可化为；故；令，t1；则，则；故在（-，1上是增函数，且y=0时，t=0；故在t=0时有最小值，故n-m的最小值为1；考点：函数恒成立问题；全称命题14、-11【解析】根据代数余子式列式，再求行列式得结果【详解】故答案为：-11

12、【点睛】本题考查代数余子式，考查基本分析求解能力，属基础题.15、【解析】求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程。【详解】；又；在处的切线方程为，即；故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。16、【解析】分析：根据向量的模求出=1，再根据投影的定义即可求出详解：|=1，|=2，|=，|2+|22=3，解得=1，在方向上的投影是=，故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1).(2)见解析.【解析】（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率

13、，即为这2人来自两个不同年级的概率；（2）先求X的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求 时对应的概率P进而得到分布列，利用 计算可得数学期望。【详解】（1）设事件表示“这2人来自同一年级”, 这2人来自两个不同年级的概率为.（2）随机变量的可能取值为0,1,2, , , 所以的分布列为012【点睛】本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础题型。18、（1）直观图见解析，3个；（2）；（3）不存在【解析】（1）先还原为一个四棱锥，在正方体中观察；（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作出二面角的平面角，计算即可；（3）假设点存在，作出点到平面

14、的垂线段，然后计算的长，若，则点在边上，否则不在边上【详解】（1）图1图1左边是所求直观图，放到图1右边正方体中，观察发现要3个这样的四棱锥才能拼成一个正方体（2）图2如图（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作于，连接，平面，平面，又，平面，是二面角的平面角，是中点，即，是中点，正方体棱长为6，中，（3）假设存在点满足题意，图3如图3，作于，平面，而，平面的长就是点到平面的距离，由，得，不在线段上，假设错误，满足题意的点不存在【点睛】本题考查多面体的展开图，考查二面角、点到平面的距离立体几何中求角时要作出这个角的“平面角”，并证明，然后计算点到平面的距离可能通过作以平面的垂线

15、段计算，也可通过体积法求解19、（1）2；（2）16.【解析】（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 .（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【详解】（1）解：设准线与轴的交点为点，连结，因为是正三角形，且，在中，所以.（2）设，直线，由知，联立方程：，消得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.【点睛】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等

16、求得.20、（1）3；（2）见解析.【解析】（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数的值即可；（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性。【详解】（1）因为 ，所以 ，即切线的斜率，又切线与直线平行，所以，即 ； （2）由（1）得，的定义域为 ， 若，则 ，此时函数在上为单调递增函数；若，则，此时函数在上为单调递增函数；若，则当 即 时，当即时，此时函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数综上所述：当时，函数在上为单调递增函数；当时，函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题。21、 (1)3；4.(2)列联表见解析；没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析；.【解析】分析：（1）先根据概率计算x的值，得出y+z=35，再计算y与z的值，根据比例得出应抽取“满意”的A、B地区的人数；（2）根据独立性检验公式计算观测值k2，从而得出结论；（3）根据二项分布的概率公式计算分布列和数学期望详解：（）由题意，得，所以，所以，因为，所以，地抽取，地抽取.（）非常满意满意合计301545352055合计6535100的观察值 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有