2021-2022学年天津市南开区南开中学数学高二下期末统考模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD2设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为ABCD3已知函数的导函数为，满足，且

2、，则不等式的解集为( )ABCD4已知平面，直线，满足，则下列是的充分条件是（ ）ABCD5已知复数满足（为虚数单位），则（ ）.A1B2C3D6函数f(x)=|x|-ln|x|，若f(x)2-mf(x)+3=0有A(23,4)B(2,4)C(2,27若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）ABCD8设x，y，z，则x，y，z的大小关系是()AxyzBzxyCyzxDxzy9函数的零点个数为（ ）A0B1C2D310下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题使得，则都有；（2）已知，则 （3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；（4）“”是“”

3、的充分不必要条件.A1B2C3D411如图，是正四面体的面上一点，点到平面距离与到点的距离相等，则动点的轨迹是( )A直线B抛物线C离心率为的椭圆D离心率为3的双曲线12在的展开式中，项的系数为（ ）AB40CD80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是_.14已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为_ .15设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是_16已知函数，则函数的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红

4、色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望18（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占.这名学生中南方学生共人。南方学生中有人不喜欢甜品.（1）完成下列列联表：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生北方学生合计（2）根据表中数据

5、，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（3）已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生，其中名不喜欢甜品；有名物理系的学生，其中名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中，各随机抽取人，记抽出的人中不喜欢甜品的人数为，求的分布列和数学期望.附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519（12分）如图，矩形和等边三角形中，平面平面（1）在上找一点，使，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值20（12分）已知非零向量，且，求证：21（12分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，

6、单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：（1）前三局比赛甲队领先的概率；（2）设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望. (用分数表示)22（10分）已知函数（1）当，求函数的图象在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点,利用勾股定理求出球的半径,即可求得该球的表面积【详解】画出其立体图形: 直三棱柱的所有棱长都

7、为1,且每个顶点都在球的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点，设球的半径为，在中是其外接圆半径 ,由正弦定理可得: , ,即 在中 球的表面积 .故选:B.【点睛】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点2、D【解析】分析：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，求解，再得出准线方程详解：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，解得，得出准线方程点睛：抛物线的焦点坐标为，准线方程3、A【解析】令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单

8、调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【详解】解:令，则，令，则，在上单调递增，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.4、D【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案.【详解】当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，不能得到，错误；当，时，则，充分性；当时，故，与关系不确定，故不必要，正确；故选：.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.5、D【解析】根据复数的基本

9、运算法则进行化简，然后求模即可【详解】解：，故选：D【点睛】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题6、A【解析】方程有8个不相等的实数根指存在8个不同x的值；根据函数f(x)的图象，可知方程f(x)2-mf(x)+3=0必存在2个大于1【详解】f(x)=f(-x)=f(x)，函数f(x)为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），若f(x)2-mf(x)+3=0有8个不相等的实数根关于=【点睛】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于f(x)的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求m的范围.7、C【解析】分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在

10、之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于1，右侧函数值大于1，列不等式求解详解：f（x）3ax2+4x+1，x（1，2）a1时，f（x）4x+11，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去a1时，1612a由1，解得，此时f（x）1，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去由1，解得a（a1），由f（x）1，解得x1，x2当时，x11，x21，因此f（x）1，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去当a1时，x11，x21，函数f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，必然有f（x1）1，12，a1解得：a综上可得：a故选：C点睛：极值转化为最

11、值的性质：1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；8、D【解析】先对y,z分子有理化，比较它们的大小，再比较x,z的大小得解.【详解】y，z，0，zy.xz0，xz.xzy.故答案为D【点睛】(1)本题主要考查比较法比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论；比商的一般步骤是：作商变形（配方、因式分解、通分等）与1比下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.9、C【解析】，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数

12、的零点个数为2个，故选C10、C【解析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以 是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；（4）中，当时，可得成立，当时

13、，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题11、C【解析】分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状详解：正四面体VABC面VBC不垂直面ABC，过P作PD面ABC于D，过D作DHBC于H，连接PH，可得BC面DPH，所以BCPH，故PHD为二面角VBCA的

14、平面角令其为则RtPGH中，|PD|：|PH|=sin（为VBCA的二面角的大小）又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|PV|：|PH|=sin1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sin，又在正四面体VABC，VBCA的二面角的大小有：sin=1，由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分故答案为：C点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.12、D【解析】通过展开二项式即得答案.【详解】在的展开式中,的系数为，

15、故答案为D.【点睛】本题主要考查二项式定理，难度很小.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 (，6【解析】由题意可设，则当时， ；当时，；当时，不等式可化为。在平面直角坐标系中画出函数的图像如图，结合图像可知当，不等式的解集是空集，则实数的取值范围是，应填答案。14、【解析】若函数恰有4个不同的零点，令，即，讨论或，由求得，结合图象进而得到答案.【详解】函数，当时，的导数为，所以在时恒成立，所以在上单调递减，可令，再令，即有，当时，只有，只有两解；当时，有两解，可得或，由和各有两解，共4解，有，解得，可得的范围是：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数

16、的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.15、【解析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化16、0【解析】求出函数的导函数，然后利用导数的性质求出函数的最大值.【详解】解：由，得，因为，所以，所以在上单调递减，所以的最大值为故答案：0【点睛】此题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于

17、基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（1）分布列详见解析，【解析】试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，在总数中去掉左右手各取一球，所取颜色相同的情况，即所取颜色均为红色，均为黑色、均为白色的情况；第二问，先分别求出左右手所取的两球颜色相同的概率，再利用独立事件计算两次取球的获得成功的次数为0次、1次、1次的概率，列出分布列，利用计算数学期望试题解析：（1）设事件为“两手所取的球不同色”， 则依题意，的可能取值为0，1，1左手所取的两球颜色相同的概率为右

18、手所取的两球颜色相同的概率为所以的分布列为：011考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望18、 (1)列联表见解析.(2) 有的把认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.(3)分布列见解析；.【解析】分析：（1）根据数据填写表格，（2）根据卡方公式得，再与参考数据比较得可靠率，（3）先列随机变量可能取法，再利用组合数求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1）喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（2）由题意，有的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.（3）的所有可能取值为0，1，2，3，则的分布列为

19、0123所以的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19、（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【解析】试

20、题分析：(1) 分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：分别取的中点，连接，在等边三角形中，又为矩形的中位线，而，所以面，所以；（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，三角形为等边三角形，于是，设面的法向量，所以，得，则面的一个法向量，又是线段的中点，则的坐标为，于是，且，又设面的法向量，由，得，取，则，平面的一个法向量，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为20、证明见解析【解析】同时注意，将要证式子等价变形，用分析法即可获证【详解】解：，要证，只需证，只需证，只需证，只需证0，即，上式显然成立，故原不等式得证【点睛】用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立注意应用条件和21、（1）；（2）详见解析.【解析】（1）分为甲队胜三局和甲队胜二局两种情况，概率相加得到答案.（2）本场