2022届福建省泉州市奕聪中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）ABCD（4,5）2可以整除（其中）的是（ ）A9B10C11D123已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）ABCD4定

2、义在 上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的 恒有 成立；（2）当 时， ；记函数 ，若函数恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）ABCD5已知、分别为的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为（ ）ABCD6已知，若恒成立，则实数m的取值范围是A或B或CD7在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）ABCD8在极坐标系中,点与之间的距离为()A1B2C3D49下列四个命题中，真命题的个数是（ ）命题“若，则”；命题“且为真，则有且只有一个为真命题”；命题“所有幂函数的图象经过点”；命题“已知是的充分不必要条件”.A1B2C3D4

3、10已知集合，若，则等于（ ）A1B2C3D411已知函数f(x)=2x3+ax+a.过点M(-1,0)引曲线C:y=f(x)的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f(x)A-324B-312某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有 （ ）A18种B12种C432种D288种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知集合，集合，那么集合的子集个数为_个14事件相互独立，若，则_.15(x-116曲线与直线及轴围成的图形的面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

4、骤。17（12分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，的斜率之和为0.求证：直线经过定点，并求出定点坐标；求面积的最大值.18（12分）已知椭圆C：，点P（0，1）.（1）过P点作斜率为k（k0）的直线交椭圆C于A点，求弦长PA（用k表示）；（2）过点P作两条互相垂直的直线PA，PB，分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？19（12分）已知函数().()若在处的切线过点，求的值；()若恰有两个极值点，().()求的取值范围；()求证：.20（12分）已知的内角的对边分别为，且.（1

5、）求；（2）若，是中点，求的长.21（12分）如图在直三棱柱中，为中点（）求证：平面（）若，且，求二面角的余弦值22（10分）已知椭圆的离心率为，焦距为。（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，求的面积的最大值。参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，

6、选：A。【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。2、C【解析】分析：，利用二项展开式可证明能被11整除.详解： .故能整除 （其中）的是11.故选C .点睛：本题考查利用二项式定理证明整除问题，属基础题.3、B【解析】将点P带入求出a的值，再利用公式 计算离心率。【详解】将点P带入得，解得 所以【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。4、C【解析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）x+2b，x（b，2b，又因为f（x）k（x1）的

7、函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【详解】因为对任意的x（1，+）恒有f（2x）2f（x）成立， 且当x（1，2时，f（x）2x；f（x）2（2）=4x，x（2，4，f（x）4（2）=8x，x（4，8，所以f（x）x+2b，x（b，2b（b取1，2，4）由题意得f（x）k（x1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示只需过（1，0）的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）kPA2，kPB，所以可得k的范围为故选：C【点睛】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思

8、想，是解决数学问题的必备的解题工具5、A【解析】由中垂线的性质得出，利用圆的切线长定理结合双曲线的定义得出，可得出的值，再结合的值可求出双曲线的离心率的值.【详解】如图所示，由题意，由双曲线定义得，由圆的切线长定理可得，所以，即，所以，双曲线的离心率，故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了双曲线的定义以及圆的切线长定理的应用，解题时要分析出几何图形的特征，在出现焦点时，一般要结合双曲线的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6、C【解析】分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。详解：，所以的解集为，故选C点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的

9、最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。7、B【解析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果.【详解】因为的二项展开式的通项为：，因此二项式系数的最大值为：，令得，所以，含项的系数为，因此.故选：B.【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.8、B【解析】可先求出判断为等边三角形即可得到答案.【详解】解析：由与,知,所以为等边三角形,因此【点睛】本题主要考查极坐标点间的距离，意在考查学生的转化能力及计算能力，难度不大.9、C【解析】令，研究其单调性判断.根据“且”

10、构成的复合命题定义判断.根据幂函数的图象判断.由，判断充分性，取特殊值判断必要性.【详解】令，所以在上递增所以，所以，故正确.若且为真，则都为真命题，故错误.因为所有幂函数的图象经过点，故正确.因为，所以，故充分性成立，当时，推不出，所以不必要，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、D【解析】由已知可得，则.【详解】由，得或又由，得，则，即故选：D【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.11、A【解析】设切点的横坐标为t，利用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出两

11、切线的斜率之和为零，于此得出a的值，再利用导数求出函数【详解】设切点坐标为(t,2t3+at+a)，y=6解得t=0或t=-32.|MA|=|MB|，y则a=-274，f(x)=6x2-274.当x【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。12、D【解析】根据题意，6人中除甲乙丙之外的3人为a、b、c，分2步进行分析：先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，将选出的4人全排列，安排4人的顺序，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，6人中除甲乙丙之外

12、的3人为a、b、c，分2步进行分析：先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，若甲、乙、丙三人都参加，在a、b、c三人中任选1人，有3种情况，若甲、乙、丙三人有2人参加，在a、b、c三人中任选1人，有=9种情况，则有3+9=12种选法；将选出的4人全排列，安排4人的顺序，有A44=24种顺序，则不同的发言顺序有1224=288种；故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常见解法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问

13、题列举法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数【详解】M1，1，N1，2；MN1，1，2；MN的子集个数为231个故答案为：1【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法14、【解析】由于事件为对立事件，故，代入即得解.【详解】由于事件为对立事件，且，故故答案为：【点睛】本题考查了互斥事件的概率求法，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15、-5【解析】试题分析：(x-12x)6的通项为，令，故展开式中常数项为-考点：二项式定理16、【解析】首

14、先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算定积分即可【详解】由曲线与直线及轴围成的图形的面积为 即答案为.【点睛】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示所求面积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；1【解析】(1)由条件有，将点代入椭圆方程结合，可求解椭圆方程.(2) 设点，设直线，的斜率分别为，由条件有，将直线方程与椭圆方程联立，将，代入化简可得，得到直线过定点.由利用弦长公式可求出，再求出原点到直线的距离，则的面积可表示出来，从而可求其最大值.【详解】解：（1）由题意可得，又由点在椭圆上，故得，解得，.椭圆的方程

15、为；（2）设点，.联立得，化简得，设直线，的斜率分别为直线，的斜率之和为0，即，又，.综上可得，直线经过定点.由知.，原点到直线的距离.，当且仅当，即取“”.，即面积的最大值为1.【点睛】本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题.18、（1）；（2）直线AB过定点.【解析】（1）先由题意得到直线PA的方程，联立直线与椭圆，得到A点坐标，再由弦长公式，即可求出结果；（2）先由题意，得到，直线的斜率必存在，设直线为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，得到，再由，结合题意，求出，进而可得出结果【详解】解：（

16、1）把代入得：，所以（2）由题意可以，直线的斜率必存在，设直线为，有,所以，即直线AB过定点【点睛】本题主要考查椭圆的弦长，以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质，即可求解，属于常考题型.19、 () () () ()见证明【解析】()对函数进行求导，然后求出在处的切线的斜率，求出切线方程，把点代入切线方程中，求出的值；() () ，分类讨论函数的单调性；当时，可以判断函数没有极值，不符合题意；当时，可以证明出函数有两个极值点，故可以求出的取值范围；由()知在上单调递减，且，由得，又， .法一：先证明（）成立，应用这个不等式，利用放缩法可以证明出成立；法二：令()，求导，利

17、用单调性也可以证明出成立.【详解】解:()， 又 在处的切线方程为，即切线过点，()() ，当时，在上单调递增，无极值，不合题意，舍去当时，令，得，()，或;，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，恰有个极值点，符合题意，故的取值范围是()由()知在上单调递减，且，由得，又， 法一:下面证明（），令（），在上单调递增，即（），综上 法二:令()，则，在上单调递增，即，综上【点睛】本题考查了曲线切线方程的求法，考查了函数有极值时求参数取值范围问题，考查了利用导数研究函数的性质.20、（1）（2）【解析】（1）通过正弦定理和余弦定理即可得到答案；（2）在中使用余弦定理即可得到的长.【详解】（1

18、）因为所以由正弦定理得：由余弦定理得：又，所以（2）由，得：所以在中，所以【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度不大.21、（）见解析（）【解析】试题分析：（I）连结，由题意可证得，从而得为中点，所以，又由题意得得，所以得（也可通过面面垂直证线面垂直）（II）由题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量分别为，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值试题解析：（I）证明：连结， 平面平面，平面， ， 为中点， 为中点， ， ，法一：由平面，平面，得，由及，所以平面法二：由平面，平面， 平面平面，又平面平面,所以平面（II）解：由，得，由（I）知，又，得， ， ， 两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，得，设是平面的一个法向量，由，得,令，得，设为平面的一个法向量，由，得.令，得， 根据题意知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为点睛：向量法求二面角大小的两种方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，解题时要注意结合实际图形判断所求二面角为锐角还是钝角（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小22、 (1) (2) 【解析】（1）由，又由，解得，即可求得椭圆的方