洛阳市重点中学2021-2022学年高二数学第二学期期末考试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则下图中阴影部分所表示的集合为( )ABCD2某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知

2、从高中生中抽取70人，则n为()A100B150C200D2503若集合，则( )ABCD4下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B某篮球运动员6次罚球中投进的球数C电视机的使用寿命D从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数5已知点P是曲线C：x=3+cos，y=3+sin，（A10，13+1B6函数的大致图象为（ ）ABCD7命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，8已知，则（ ）ABCD9（ ）ABC0D10设随机变量服从正态分布，则（ ）ABCD11已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成

3、，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（ ） ABCD12已知集合，则ABCDR二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13用反证法证明“若，则”时，应假设_14在数列中，则_.15设，.已知矩阵，其中，那么B=_.16假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购

4、水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量（单位：箱）76656收入（单位：元）165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核2150名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金.（1）若售出水量箱数与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金

5、之和的分布列及数学期望.附：回归直线方程，其中，.18（12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（）求的方程；（）设过点的直线与相交于，两点，求面积的取值范围.19（12分）如图,棱锥P-ABCD的地面ABCD是矩形, PA平面ABCD,PA=AD=2,BD=22(1)求证: BD平面PAC;(2)求二面角P-CD-B的大小;(3)求点C到平面PBD的距离.20（12分）已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线与轴交于点，试探究：线段与的长度能否相等？如果相等，求直线的方程，如果不等，说明理由21（12分）

6、已知直线，（为参数），（为参数），（1）若，求的值；（2）在（l）的条件下，圆（为参数）的圆心到直线的距离.22（10分）某农场灌溉水渠长为1000m,横截面是等腰梯形ABCD（如图），,其中渠底BC宽为1m，渠口AD宽为3m,渠深.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm，若挖掘费为ah2元/m3，扩建后的水渠的内壁AB1，C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.（1）试用h表示渠底B1C1的宽，并确定h的取值范围； （2）问：渠深h为多少时，可使总建设费最少

7、？（注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B，根据集合的运算求得结果即可.详解：根据偶次根式有意义，可得，即，解得，即，而题中阴影部分对应的集合为，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是，再利用集合的运算法则求得结果.2、A【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A考点：分层抽样

8、3、A【解析】分析：求出及，即可得到.详解：则.故选C.点睛：本题考查集合的综合运算，属基础题.4、C【解析】分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为

9、离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.5、D【解析】将曲线C的参数方程化为普通方程，可知曲线C是圆x-32+y-3【详解】曲线C表示半圆：x-32+所以PQ取A2，3，AQ=2+12 【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。6、B【解析】分析：利用函数的解析式，判断大于时函数值的符号，以及小于时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当时，函数，排除选项；当时，函数，排除选项，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函

10、数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7、A【解析】根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.8、B【解析】由题意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合诱导公式

11、可得：，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、D【解析】定积分的几何意义是圆的个圆的面积，计算可得结果.【详解】定积分的几何意义是圆的个圆的面积,，故选D.【点睛】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题10、D【解析】分析：由题可知，正态曲线关于对称，根据，即可求出详解：随机变量服从正态分布 正态曲线关于对称 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.11、D【解析】由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为的正方形，高为的直四棱

12、柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球，据此可以计算出结果.【详解】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为的正方形，高为的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.表面积.故选：D.【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，属于基础题.12、D【解析】先解出集合与，再利用集合的并集运算得出.【详解】，故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 【解析】反证法假设命题的结论不成立，即反面成立。【详解】假设命题的结论不成立，即反面成立，所以应假设

13、，填。【点睛】反证法的步骤：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）14、【解析】先根据分组求和得再求极限得结果.【详解】因为，所以因此故答案为：【点睛】本题考查分组求和以及数列极限，考查基本分析求解能力，属中档题.15、【解析】根据条件列方程组，解得结果.【详解】由定义得，所以故答案为：【点睛】本题考查矩阵运算，考查基本分析求解能力，属基础题.16、【解析】分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1p）+p4，

14、2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值详解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p，不出现故障的概率是p，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1p）+p4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C43p3（1p）+p4p2，化简得3p24p+10，解得p1故选：B点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意

15、条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）206；（2）见解析【解析】试题分析：(1)先求出君子，代入公式求 ， ，再求线性回归方程自变量为9的函数值，(2)先确定随机变量取法，在利用概率乘法求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式求期望.试题解析：（1），经计算，所以线性回归方程为，当时，的估计值为206元；（2）的可能取值为0，300，500，600，800，1000；03005006008001000所以的数学期望18、（）；（）【解析】分析：（1）根据题意得到关于a,c的方程组，解方程组得E的方程.(2

16、) 设：，先求 ，再求点到直线的距离，最后求，再利用基本不等式求面积的取值范围.详解：（）设，由条件知，得，又，所以，故的方程为.（）当轴时不合题意，故设：，将代入得，当，即时，从而 ，又点到直线的距离，所以的面积，设，则，因为，所以的面积的取值范围为.点睛：（1）本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力基本计算能力.(2)解答本题的关键由两点，其一是求出，其二是先换元法再利用基本不等式求的面积的取值范围，设，得到.19、 (1)见解析;(2)=45;(3)23【解析】（1）先证明ABCD为正方形,可得BDA

17、C,由PA平面ABCD,BD平面ABCD,可得BDPA，利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零，列方程组求出平面PCD的法向量，结合(0,0,2)为平面ABCD的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可；（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量PC，然后求出PC【详解】(1)解法一:在RtBAD中, AD=2,BD=22AB=2,ABCD为正方形,因此BDAC,PA平面ABCD,BD平面ABCD,BDPA.又PAAC=A,BD平面PAC.解法二:

18、以AB,AD,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,0,D0,2在RtBAD中, AD=2,BD=22AB=2,B2,0,0,AP=(0,0,2),ACBDAP=0即BDAP,BDAC.又APAC=A, BD平面PAC.(2)解法一:由PA平面ABCD,知AD为PD在平面ABCD上的射影.又CDAD,CDPD,PDA为二面角P-CD-B的平面角.又PA=AD,PDA=45.解法二:由1题得PD=0,2,-2设平面PCD的法向量为n1=x,y,z,则n即0+2y-2z=0-2x+0+0=0,x=0故平面PCD的法向量可取为n1PA平面ABCD,AP=(0,0,2)设二面角P

19、-CD-B的大小为,依题意可得cos=45.(3)解法一:PA=AB=AD=2,PB=PD=BD=22设C到平面PBD的距离为d,由VP-BCD有13得d=2解法二:由1题得PB=2,0,-2设平面PBD的法向量为n2则n2PB即2x+0-2z=00+2y-2z=0 x=y=z.故平面PBD的法向量可取为n2PC=(C到平面PBD的距离为d=n【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20、（1）（2）当的方程为时有.【解析】（1）设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到方程，解方程求得，从而得到抛物线方程；（2）将与抛物线方程联立，利用韦达定理可得，根据焦点弦长公式可求得，利用两点间距离公式得，利用构造方程，解方程求得，从而得到直线的方程.【详解】（1）设直线，代入抛物线方程得：，解得：抛物