北京师大附中2021-2022学年数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设随机变量，若，则（ ）ABCD2已知不等式x-balnx(a0)对任意x(0,+)恒成立，则A1-ln2B1-ln33中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右

2、图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A6B5C4D24甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A0.45B0.6C0.65D0.755在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“

3、你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ）A乙做对了B甲说对了C乙说对了D甲做对了6函数有极值的充要条件是 （ ）ABCD7已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（ ）A7B6C5D48已知命题，总有，则为（）A 使得B 使得C 总有D,总有9已知n，下面哪一个等式是恒成立的（）ABCD10变量与的回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）模型12340.480.150.960.30A模型1B模型2C模型3D模型411下列说法：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；设有一个回归方程，变量增加个单位

4、时，平均减少个单位；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为 在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（ ）A1B2C3D412下列四个命题中，真命题的个数是（ ）命题“若，则”；命题“且为真，则有且只有一个为真命题”；命题“所有幂函数的图象经过点”；命题“已知是的充分不必要条件”.A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在西非“埃博拉病毒的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试

5、验，得到如下列联表：感染未感染合计服用104050未服用203050合计3070100附：0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635根据上表，有_的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.14已知，则_15已知，N*，满足，则所有数对的个数是_16不等式的解集是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为.(1)求直方图中的值；(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申

6、请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求的分布列和数学期望18（12分）已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（）求椭圆方程；（）记与的面积分别为和，求的最大值.19（12分）设，函数.（1）若，极大值；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，求证：.20（12分）若，求证：21（12分）已知二项式（1）求展开式中的常数项；（2）设展开式中系数最大的项为求的值。22（10分） 选修4-4

7、：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)若点的极坐标为，是曲线上的一动点，求面积的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果【详解】， 即，所以，故选A【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键2、C【解析】构造函数gx=x-alnx-b，利用导数求出函数y=gx的最小值，由gxmin0得出【详解】构造函数gx=x-alnx-b，由

8、题意知当a0，gx0，此时，函数y=g当x0时，gx-，此时，当a0时，令gx=当0 xa时，gxa所以，函数y=gx在x=a处取得极小值，亦即最小值，即gba-alna，构造函数ha=1-lna-2令ha=0，得a=2。当0a2时，ha此时，函数y=ha在a=2处取得极大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值为-ln2【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论的思想，构造函数利用导数研究函数的最值是解决函数不等式恒成立的常用方法，考查分析问题的能力，属于难题。3、C【解析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用

9、分层抽样求得答案.【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人，所以获得“诗词能手”的称号的概率为： 所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为： 故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.4、D【解析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.目标是被甲击中的概率是故选D.5、B【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【详解】分以下三种情况讨论：甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；乙的说法正确，则甲的说法错

10、误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.6、C【解析】因为，所以，即，应选答案C7、B【解析】求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【详解】依题意为，所以故选B.【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.8、B【解析】利用全称命题的否定解答即得解.【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）1，故选：B【点睛】本题主要考查全称命题的否定，

11、意在考查学生对该知识的理解掌握水平.9、B【解析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.10、C【解析】分析：根据相关系数的性质，最大，则其拟合效果最好，进行判断即可详解：线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小，模型3的相关系数最大，模拟效果最好，故选：A点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回

12、归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大；越小，相关程度越小11、B【解析】逐个分析，判断正误将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍；设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于，两个变量的线性相关性越弱；服从正态分布，则位于区域内的概率为；在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好【详解】将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍，错误；设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位，正确；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于，

13、两个变量的线性相关性越弱，错误；服从正态分布，则位于区域内的概率为，错误；在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；正确故选B.【点睛】本题考查的知识点有标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，比较综合，属于基础题12、C【解析】令，研究其单调性判断.根据“且”构成的复合命题定义判断.根据幂函数的图象判断.由，判断充分性，取特殊值判断必要性.【详解】令，所以在上递增所以，所以，故正确.若且为真，则都为真命题，故错误.因为所有幂函数的图象经过点，故正确.因为，所以，故充分性成立，当时，推不出，所以不必要，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于

14、基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、95%【解析】先由题中数据求出，再由临界值表，即可得出结果.【详解】由题中数据可得：，根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.故答案为95%【点睛】本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算，能分析临界值表即可，属于常考题型.14、.【解析】分析：对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值.详解：因为，所以 ，令，得到，解得，故答案为.点睛：本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础

15、题.15、4；【解析】因为，即，所以，因为已知，N*，所以，继而讨论可得结果【详解】因为，即，所以，因为已知，N*，所以，又，故有以下情况：若，得：，若得：，若得：，若得：，即的值共4个【点睛】本题考查数论中的计数问题，是创新型问题，对综合能力的考查要求较高16、【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解详解：原不等式可以化为，所以，故或者，不等式的解集为，填点睛：一般地，对于不等式，（1）如果，则原不等式等价于 ；（2）如果，则原不等式等价于 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根据

16、频率分布直方图的矩形面积之和为1求出x的值；（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望.详解：(1)由直方图可得,.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,估计1200名新生中有180名学生可以申请住.(3)的可能取值为,有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为,则的分布列为01234的数学期望.点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.18、（）;（）.【解析】（）因为为椭圆的焦点，所以，又，所以，所以椭圆方程为. （）当直线无斜率时,此时,. 当直线斜率存在时，设直线方

17、程为，设，直线与椭圆方程联立得，消掉得，显然，方程有根，且此时. 上式，（时等号成立），所以的最大值为.19、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；（2） ，就分类讨论即可；（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.详解:（1）当时，当时，当时，故的极大值为.（2），若时，则，是区间上的增函数，函数在区间有唯一零点；若，有唯一零点；若，令，得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是（3）由已知得， 所以，故等价于即不妨设，令，则，在上为单调增

18、函数，所以即，也就是，故原不等式成立点睛： 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式20、见解析【解析】引入函数，展开，其中，是整数，注意说明的唯一性，这样有，然后计算即可.【详解】证明：因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的假设，则，而，矛盾。所以满足条件的是唯一的下面我们求及的值：因为，显然又因为，故，即所以令，则，又，所以【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是引入函数，展开，其中，是整数，于是可表示出.本题有一定的难度.21、（1）7920；（2）12.【解析】(1)直接利用展开式通项,取次数为0,解得答案.(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案