河南省百校联盟2022年高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1定义在上的函数，满足为的导函数，且，若，且，则有（ ）ABCD不确定2设复数满足，则( )A

2、BCD3当时，函数，则下列大小关系正确的是（ ）ABCD4已知命题，.则命题为（ ）A，B，C，D，5将本不同的书全部分给甲乙丙三人，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ）ABCD6将偶函数的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ）ABCD7空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A(10,2,8)B(10,2,8)C(5,2,8)D(10,3,8)8函数的最小正周期是（）ABCD9在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD10已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是（ ）ABCD11已知复数，则复数的虚部为 （ ）ABCD12已知O为坐标原

3、点，双曲线C：的右焦点为F，焦距为，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，则C的方程是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若直线l经过点，且一个法向量为，则直线l的方程是_.14在如图所示的十一面体中，用种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为_15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，b2，若满足条件的ABC有且仅有一个，则a的取值范围是_16=_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设，（为自然对数的底数)（1）记讨论函

4、数单调性；证明当时，恒成立.（2）令设函数有两个零点，求参数的取值范围.18（12分）若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数为“恒切函数”，求实数的取值范围；当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.19（12分）已知直线(t为参数），圆(为参数）.(1)当时，求与的交点坐标.(2)过坐标原点O作的垂线，垂足为为的中点.当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？20（12分）某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动（1）现从该小组中随机选2个同学

5、参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列和数学期望21（12分）已知虚数满足.（1）求的取值范围；（2）求证：是纯虚数.22（10分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，且，证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】函数满足，可得.由，易知，当时，单调递减.由，则.当,则.当,则,，即.故选A.2、C【解析

6、】由，得，则，故选C.3、D【解析】对函数进行求导得出在上单调递增，而根据即可得出，从而得出，从而得出选项【详解】，由于时，函数在上单调递增，由于，故，所以，而，所以，故选D.【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.4、D【解析】利用全称命题的否定解答.【详解】命题，.命题为，.故选D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解析】分析：分两种情况：一人得本，另两个人各得本；一人得本，另两个人各得本，分别求出不同的分法即可得结果.详解：分两种情况：一人得本，另两个人各得本，有种分法，一

7、人得本，另两个人各得本，有种分法，共有种分法，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6、D【解析】根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可.【详解】为偶函数，令，得故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.7、B【解析】直接利

8、用中点坐标公式求解即可.【详解】设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(10,2,8)，故选B.【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.8、C【解析】根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解【详解】由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题9、C【解析】先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的

9、球心，为外接球半径，求解即可.【详解】在中，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积为.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.10、B【解析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.详解：因为当时，所以当时，所以的单调减区间是，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.11、C【解析】分析：由复数的乘除法法则计算出复数，再由定义可得详解：，虚部为故选C点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时根据

10、复数运算法则化复数为简单形式，可得虚部与实部12、A【解析】根据点到直线的距离公式，可求出点F到渐近线的距离刚好为，由圆的知识列出方程，通过焦距为，求出，即可得到双曲线方程【详解】为坐标原点，双曲线的右焦点为，焦距为，可得，的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆所截得的弦长为2，因为点F到渐近线的距离刚好为，所以可得即有，则，所以双曲线方程为：故选【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据法向量得直线斜率，再根据点斜式得直线方程【详解】因为直线一个法向量为，所以直线l的斜率为，因此直线

11、l的方程是故答案为：【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14、6【解析】分析：首先分析几何体的空间结构，然后结合排列组合计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：空间几何体由11个顶点确定，首先考虑一种涂色方法：假设A点涂色为颜色CA，B点涂色为颜色CB，C点涂色为颜色CC，由AC的颜色可知D需要涂颜色CB，由AB的颜色可知E需要涂颜色CC，由BC的颜色可知F需要涂颜色CA，由DE的颜色可知G需要涂颜色CA，由DF的颜色可知I需要涂颜色CC，由GI的颜色可知H需要涂颜色CB，据此可知，当ABC三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，用三种颜色给ABC的三个顶点涂色的

12、方法有种，故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为6.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法15、a或0a2【解析】先根据求得，结合正弦定理及解的个数来确定a的取值范围.【详解】因为，所以，由于在三角形中，所以，即，因为，所以.由正弦定理可得，因为满足条件的ABC有且仅有一个，所以或

13、者，所以或者.【点睛】本题主要考查利用三角形解的个数求解参数的范围，三角形解的个数一般可以利用几何法或者代数法来求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.16、【解析】试题分析：考点：对数的运算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在为减函数，在上为增函数 见证明；（2）【解析】（1）对函数求导，判断其单调性即可。转化成证明的问题，从而证明在时的最小值大于0。（2）首先对求导数，讨论其单调性，结合图像即可得到有两个零点时的取值范围。【详解】（1）由题意得所以因为所以当时为增函数，当时为减函数证明: 当时, 恒成立,等价于证明当时, 恒成立。因为，因为 ，则。因为，所

14、以，所以在上为增函数。因为，所以在上为增函数。又因为，所以（2）当时，为增函数。，为减函数。有两个零点当时，令当时在和上为增函数，在上为减函数。此时有三个零点（舍弃）当同理可得有三个零点（舍弃）当时，此时有两个零点。综上所述【点睛】本题主要考查了根据导数判断单调性以及函数恒成立问题，在解决第二问函数零点问题时，转化成判断函数单调性以及极值的问题。属于难题。18、（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设切点为，求出，设，根据函数的单调性求出故实数的取值范围为；当取最大值时，因为函数也为

15、“恒切函数”，故存在，使得，由得，设，根据函数的单调性证明即可.详解：（1）.当时，恒成立，函数在上单调递减；当时，得，由得，由得，得函数在上单调递减，在上递增.（2）若函数为“恒切函数”，则函数的图象与直线相切，设切点为，则且，即，.因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，即，得，设.则，得，得，故在上单调递增，在上单调递减，从而故实数的取值范围为.当取最大值时，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，由得，设，则，得，得，故在上单调递减，在上单调递增，1.在单调递增区间上，故，由，得；2. 在单调递增区间上，又的图象在上不间断，故在区间上存在唯一的，使得，故.此时由，得，函数在上递增，故.

16、综上所述，. 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19、（1）(1，0)，（2）y2.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆【解析】(1)当时，C1的普通方程为y(

17、x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，.(2)C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)P点轨迹的普通方程为y2.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆20、（1） （2）分布列见解析，【解析】（1）恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学为事件，则，计算得到答案、（2）随机变量，计算，得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件，则其概率为（2）随机变量，随机变量的分布列为234【点睛】本题考查概率的计算，分布列

18、，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】先设，（且），由得；可将看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；（1）由表示点与定点之间的距离，根据定点到圆上的动点的距离，即可得出结果；（2）根据复数运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】设，（且），因为，所以，因此可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；（1）表示点与定点之间的距离；又点到坐标原点的距离为，所以（为单位圆半径），因此；（2），因此是纯虚数.【点睛】本题主要考查求复数的模，以及复数的四则运算，熟记复数运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.22、 (1) 见解析.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程 =0根得情况分类讨论：当时，.在上单调递减. 当时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间， (2)先化简不等式消m得，再利用导数研究，单调性，得其最小值大于-1，即证得结果.