电磁场第二章矢量分析

1、关于矢量的基本约定：直角坐(xyz：ex关于矢量的基本约定：直角坐(xyz：exA Axex AyeyezAz2矢量代数（1）点乘（标积u AB: ABAB A2矢量代数（1）点乘（标积u AB: ABAB AB0 ，矢量A与B正交 A。An A。AB AxBx AyBy Az矢量乘法（2）叉乘（矢积C ABC A矢量乘法（2）叉乘（矢积C ABC A AB0 AzByAxBz (AzAB(AxBy AyBx矢量乘法AT en A矢量乘法AT en Aen (en A)en A An(en A)en A Anen 3坐标系三种常用的正交坐标zzeyyeeeer3坐标系三种常用的正交坐标zzey

2、yeeeerx直角坐x,y,坐标变量坐矢e , e , xyzr e xye 位置矢量线元矢量xyzdl 直角坐x,y,坐标变量坐矢e , e , xyzr e xye 位置矢量线元矢量xyzdl exdxeydyez面元矢量dSe dydze dzdxe xyzdV Rr体积元距离矢量(xx)ex (y y)ey (z x直角坐标系的长度元、面积元、体积元dy zz z0 平面 点yy y0（平面x x0（平面直角坐圆柱坐,坐标变量坐标矢e圆柱坐,坐标变量坐标矢e,e,reezdl ed edez位置矢量圆柱坐线元矢量dS eddzeddzez面元矢量dV 体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体

3、积元球坐标r,er, e, 球坐标r,er, e, r er坐标变量坐标矢位置矢量dlerdrerd ersin线元矢量面元矢量dSersindde rsindrde rdV r体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标系在各种坐标系中，直角坐坐标系在各种坐标系中，直角坐标系是坐标系原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述描述球对称问题等直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表（1）标量场的图形表示等值面（线（1）标量场的图形表示等值面（线 f(r)标量场的图示电标量场的图示电场等位线（面标量场的梯度f lGdr（2）梯度的概念标量函f(x, y,z)的微

4、分函数的微分表生小的函数值的增量 dxf dy标量场的梯度f lGdr（2）梯度的概念标量函f(x, y,z)的微分函数的微分表生小的函数值的增量 dxf dy()(e dxe dye eeexyzxyzGf df Gee ，xyz梯度是这样的一个矢量，它与位移的点量的变化。（dr exdxeydy ）标量场的梯度df G梯度的物理意义和性质df标量场的梯度df G梯度的物理意义和性质df(x) f (回顾梯度就是导数，就是变化率梯度指向函数变化最快的方向;方向导数等于梯度矢量的点积（投影 df Gdl Gedl GGlll梯度是所有可能的方向导数中取值最大的那个；梯度垂直于函数的等值面标量场

5、的梯度标量场的梯度G eee标量场的梯度xyz（4）梯度的计算，算引进符号eexyz梯度简写为：G G eee标量场的梯度xyz（4）梯度的计算，算引进符号eexyz梯度简写为：G eeexyz叫做哈密顿算子，或nabla一个矢量微分算子。在直角坐标系中，多数情况下，可以当作一个普通矢量那样参与运算。例如：标量场的梯度A e Ae ) )(A Aeexyz A( 标量场的梯度A e Ae ) )(A Aeexyz A( e e e )(A A Ae )xyz拉 f f (ex x ey y z)(ex x ey y ez z)有一种情况例外：微分操作只对它右边的表达用，因此 f f 标量场的梯

6、度此外，在不同坐标系中，算子具有不同的表达q4(r)f(r) y2 和的【例1标量场的梯度此外，在不同坐标系中，算子具有不同的表达q4(r)f(r) y2 和的【例1度 解e 2eeexyzxyz在球坐标系( e故E 4rr00 e 1 r rsin yezrexxyezz表示空间【例2】用r exx个不同的点，R r r 表示其距离矢量。求yezrexxyezz表示空间【例2】用r exx个不同的点，R r r 表示其距离矢量。求 1 。 R解：R(xx)2 (y y)2 (z (xR (xx)2 (y y)2 (z R1 R (x(1)RR3因此( 1) (1)ex )ey R(x(y y

7、)ey (z Re e 表示函数对点r有时用 e e xyz (xx) R (x(e 表示函数对点r有时用 e e xyz (xx) R (x(y y)2 (z Rf(R) 更一f(R)(1) (1R11z(R因此y(RxR( 1)RR与rr与rr5矢量的面积分、通5矢量的面积分、通量与散度Adl （1）矢量场的场图矢量线矢量的面积分、通量（2）矢量场的面积分、通量通量：矢量的S BdSI SJS通矢量的面积分、通量（2）矢量场的面积分、通量通量：矢量的S BdSI SJS通通量与散度（3）高斯散度定理、散度回忆高等数学中的高斯公式：PQR)dV (VSAexPeyQ通量与散度（3）高斯散度定

8、理、散度回忆高等数学中的高斯公式：PQR)dV (VSAexPeyQez（dS exdydzeydzdxAdV AdS高斯散度定理VS矢量的记法真是简洁又明AdV AdS通量与散度VS )(A) AeeA AdV AdS通量与散度VS )(A) AeeA AxyzAAVV V V量的体密度通量与散度 A0(负源通量与散度 A0(负源 A=A0(无源 【例32RR(x(y (z e解 (xx) 3(x111(xx 【例32RR(x(y (z e解 (xx) 3(x111(xx R3 (z (xx) (y y) 因此()3 3(xx)2 3(y y)2 3(z3 3(xx)2 (y y)2 (z

9、z)2(when R 思考：R=0应该建立这样的一种认识：对于特定的场而言，梯度散度以及下文将要讲到的旋度例：如果选取 r为原点建立坐标系 oxyz ，则(用球坐标系公式）： e(r2 1 )r应该建立这样的一种认识：对于特定的场而言，梯度散度以及下文将要讲到的旋度例：如果选取 r为原点建立坐标系 oxyz ，则(用球坐标系公式）： e(r2 1 )r22rrRr类似，前面111 ) ) er( r 0 rr通量与散度 AdV AVS（4）电场的散 通量与散度 AdV AVS（4）电场的散 V0电场散度等同于电荷密度E EdS 通量与散度（5）磁场的散SBdS B通量与散度（5）磁场的散SBd

10、S B磁力线绝不会发生“分叉”或者“交汇”6矢量场的线积分、环量与旋度（1）矢量场的线积分和环量：Adlu l EW l Fdl CA6矢量场的线积分、环量与旋度（1）矢量场的线积分和环量：Adlu l EW l Fdl CA环量与旋度（2）斯托克斯定理和旋度RQPRQP(PdxQdy(环量与旋度（2）斯托克斯定理和旋度RQPRQP(PdxQdy(SCAexPeyQez令 AdSASC简捷高效，而且适用于不同坐标系 AdS A环量与旋度SC旋度curlA或rotA: A AdS A环量与旋度SC旋度curlA或rotA: A AdSAA)n( S SSS旋度是这样的一个量，它在某个方向的投影等

11、于该方向的环量面密度【例4】求 2R解：选取 r为原点建立坐标系则【例4】求 2R解：选取 r为原点建立坐标系则(用球坐标系公式）：oxyz (eR ) () rr 这个公式表明：点电荷产生的静是无 AdS A环量与旋度SC磁场的旋度Bdl J dS E 全电流定0lSS( AdS A环量与旋度SC磁场的旋度Bdl J dS E 全电流定0lSS( J E) B=0SS此矢量源等同于矢量场的环量 B0J 因 AdS A环量与旋度SC电场的旋度 AdS A环量与旋度SC电场的旋度Edl BlSE f f f f xyzAAf f f f xyzAAex( y )ey( Az)eAx都是微分运算，

12、梯度对标量场，散度和旋度对用的时候可以查书末的附录。三度的总结dfGlf d三度的总结dfGlf dl f AdS ASCAdV AdSVS(A)nlimASAlimAV三度的总结从物理意义上讲梯度指示三度的总结从物理意义上讲梯度指示坡三度的总结从几何意义上讲散度是三度的总结从几何意义上讲散度是纵向求导，反映了一个矢量沿着矢量线方向的大小变化率旋度是横向求导，反映了矢量沿着垂直于矢量直观的说Maxwell方程积分形微分形BSBdS Maxwell方程积分形微分形BSBdS Edl BlS本构关系： E，BJ E Bdl (J E)dS 0 B J E EdS V 7两个零恒等式（1）梯度场的旋

13、度恒等于7两个零恒等式（1）梯度场的旋度恒等于 若函数处处 F 0（称为无旋场）意表示为一个标量函数的梯度：F （2）旋度场的散度恒等于( A) 若函数 F 0 （称为无散场），则可表意为一个矢量函F8亥姆霍兹定理8亥姆霍兹定理散度描述的是场的通量源，旋度描述的是场的亥姆霍兹定理是学习电磁场的一条主线。以包含一个散度方程和一个旋度方程。亥姆霍兹定理F F(rF c(r亥姆霍兹定理F F(rF c(rF b(rb(r)dV (r) r4Vc(r)dV A(r) rVF(r) (r)A(r F(r) (r)(A) F(r) (r)(A)结合两个零恒等式可以看到，任何一个矢量场表示为一个无旋场和一个

14、无散场的叠加。前者可以表示为一个标量函数的梯度，后者可以表示为一个矢量函数的旋度。这两个函数称做位函数析中具有重要作用。在有界情况下，位函数要考虑边界条件的b(r)dV (r) 4r4rrVc(r)dV F(r)dSA(r) rrVS有散场与有旋场的区别F0,有散场与有旋场的区别F0,F F0.F F0,F F 0,F 9狄拉( rr( rr(9狄拉( rr( rr(rr) r(r r)dV 及f(r)(r r)dVf(r)重要q(r狄拉克函数：表示体积无限小 【例3当R=02R当R=0时，利用散度的定义式，取V 为半径 R0 的小球144当R=0时，利用散度的定义式，取V 为半径 R0 的小球144()dV dS d