等离子体tokamak的磁面坐标系附录

1、2009 等离子体物理暑期讲习班第一讲磁场位形中运动的回顾附ak的磁面坐标系一曲面坐标的一般数学描述共变基和反变基，变换和反变换Jacobian，共变和反变的度量张矢量，及其代数运算（点乘，叉乘）体积元（d3x）和长度元平方（ds2 环形磁场中的2009 等离子体物理暑期讲习班第一讲磁场位形中运动的回顾附ak的磁面坐标系一曲面坐标的一般数学描述共变基和反变基，变换和反变换Jacobian，共变和反变的度量张矢量，及其代数运算（点乘，叉乘）体积元（d3x）和长度元平方（ds2 环形磁场中的磁面坐标运算（梯度，散度，旋度二1. 共变基和反变基，Jacobian，共变和反变的度量张量2. 矢量，及其

2、运算（梯度，散度，旋度轴对称环形磁场中的磁面坐标1. 磁场在磁面坐标系中的一般表达式，磁力线方程三磁场表达式(3.4)中两个待定坐标（p,）的物理意义通过 MHD 平衡和磁力线为直线的条件， 来定出的ak 磁场表达式平衡条件下的磁场分量待定函数是可测量量 ) 为直线引入了安全因子 q( p ) 对 p , 的隐性确定磁力线在磁场在磁面坐标系中的反变与共变表达式J /B2，使B = I(p)与磁面p内的环向总电流相联系p对 Hamada 坐标一个全磁面坐标系的简介五. 1一. 曲面坐标的一1共变基和反变基，变换和反变换的, Jacobian，共变和反变的度量张量矢量基矢为（exeyez x x

3、x vvvex xe e e x e e一. 曲面坐标的一1共变基和反变基，变换和反变换的, Jacobian，共变和反变的度量张量矢量基矢为（exeyez x x x vvvex xe e e x e e e exxyzxyzxyy z对任何非直角（曲面）坐标系（ 1, ，可以采用一般的曲面坐标系3i(x,y,i vv2 13有basis）为（e ,e ,v ii 换 Jacobian11 x y 22J (1,2, 1 2 (x,y,j33 x 抗变。这里按“英汉数学词典”和“英汉力学词典”译成共变与反变（R，ZR x2 y2 tan1(y/利用反变r x, yz) r (1,2,3，还可

4、以为曲面坐标系定义Z 2共（协）变基（Covariantbasis（e1e2e3rvei i i (x, y,(1, 2, 3v1e1 (e2 e3 JJJJtensorvv1g e e igije ie g Jv注意在曲面坐标系中一般ev ive 共（协）变基（Covariantbasis（e1e2e3rvei i i (x, y,(1, 2, 3v1e1 (e2 e3 JJJJtensorvv1g e e igije ie g Jv注意在曲面坐标系中一般ev ive e ji igij je e 1vvev ve k)，e jk i, J 2矢量，及其代数运算（点乘，叉乘）运算（梯度，散度

5、，旋度v v v vvvAAAe z A e A ei AixyiA Aie Aeiiv1Jve i ei gie jkAi gijAj gijAjvv A A Aie jkivvv111 A 23A 31A 12123JJJ vA A A i1A A jk2312i123ivJ A点v AB A AgijB ABi AiBiii3叉1JvivABW Wie W eie iei gie j叉1JvivABW Wie W eie iei gie jkvve e e AjBk JijkAjBk W JW g W AjBk 梯i v f f f e (fi散 1AJiAiJ旋 v iv Jijk A

6、 B B ei Bie Ak3. 体积元（d3x）和长度元平方d3x gd1d2dds2g did（R，Z：g11=1，g22R2，g33 1，其它gij=0；JR，gJ2R2。 d3x = R dRddZ，ds2=（R，g11=1，g22R2，g33=R2sin2，其它gij=0；JR2sin，gJ2R4sin2。 d3x = R2sindRd d，ds2=4二. 环形磁场中的磁“Theory 1.3，p.6：ak1. 共变基和反变基，Jacobian，共变和反变的度量张量1，2，3， 二. 环形磁场中的磁“Theory 1.3，p.6：ak1. 共变基和反变基，Jacobian，共变和反变

7、的度量张量1，2，3， 但变换Jacobian却是用共变基来定义的（与上面的一般定义方法相反，相当面一般定义中的J Je e eJ(e e J(e e 11(e e Je (e eJe (eeJvg e e igije ie g J 2 (1.7)，d3x gd1d2d3 Jd1d2d3 Jddd而环向截面（小截面，取某一0 dStJddp51 v v e J极向截面（取某一0 Jdd （1/J2. 矢量，及运算（梯度，散度，旋度v viA Aie Aei 有矢量的共变分量（反变基） 表达Ai iA极向截面（取某一0 Jdd （1/J2. 矢量，及运算（梯度，散度，旋度v viA Aie Ae

8、i 有矢量的共变分量（反变基） 表达Ai iAvA Aie A A A i其中矢量的共变分量，由（1.9）给出（注意：要将J-1改成vJ jkAi 2vvvA J A J A J 和矢量的反变分量（共变基） 表达vAAei J(A) J(A J(A iA1A AA2 A AA3 A Ae1e Je2 e J e3 e J 梯v f e fiii散Aei，结果vi vvv1 1 1 J JA JA JAJA1JAiJ J i旋通常用矢量的反变分量表达式：U AAieU ei vviivvjvU e U e e U U ijijj有6v1AU (A) 1v 1AU A 2J v1AU v1AU (

9、A) 1v 1AU A 2J v1AU 3J 三. 轴对称环形磁场中的磁磁场在磁面坐标系中的一般表达式，磁力线方程以下的表达式取自 White 的“Theory of To). 2). 取准稳态磁场的矢势表达式，并将矢势用曲面坐标系 写出B vAAie AAA再引进一个任意标量函数 G = G（,，取其G G G GG A GG GvG G GpAA 其中的 A Gp BA p 7fA fAf 和f （3.4）就是下面要采用的磁场表达式。下面将证明：将（,）当作广义坐标p）当作时间变量t，而p当成Hamiltonian时，它们满足下面的Hamilton方程，而这个方程正好是磁p p fA fA

10、f 和f （3.4）就是下面要采用的磁场表达式。下面将证明：将（,）当作广义坐标p）当作时间变量t，而p当成Hamiltonian时，它们满足下面的Hamilton方程，而这个方程正好是磁p p & dpH. vBB证明交曲面坐标系(e1, e2, e3)中元和磁场可以写成 dldl1dl2, dl3B = (B1, B2, B3)。而在(3.4) 的磁场表达式中， 所用的反变基是， ， ,dl1 ddl2 ddl3 dB1 BB2 BB3 B dl1 dl2 dl3 dl B dl1 B1BB33vBB 2 2 B p, p p p p8则 p p pp 则 p p pp d p p p 磁

11、场表达式(3.4)中两个待定坐标（p,）的物理意义由， ， 坐标系中的磁场表达式B p Bp p vB pp注意，上式中的 在e 方向，而 在e 方向(即环向) 如果p是磁面，则应vBp即 v即 B p这意味着）无关。结果，只要则p和就都是磁面。而它们的物理意义可以从下面来看出：令d 1 有环向（e ,或e 方向）9p p(v 222 q(2. 3pp v 222 q(2. 3pp 1 1 pppc（4（3.10以看出在物理上就是环向磁通（乘 2 v 2 2pp可以明显看到p在物理上就是极向磁通（2 。它们的物理图象可以从下图确定的环向磁通。可以说（p，也可以说p=p（原则上磁面坐标中的磁通坐

12、标，可以选，也可以选p，但四. 通过 MHD 平衡和磁力线为直线的条件，来定出 ak 场表达中，给出了p（或者）为磁面的条 ， ，在磁面坐标系中，磁场B就只需用两个垂直于矢量来表示，同时有两p磁场的分量。通过托卡马克等离子体MHD物理意义更明确的可在磁面坐标系中，磁场B就只需用两个垂直于矢量来表示，同时有两p磁场的分量。通过托卡马克等离子体MHD物理意义更明确的可测量量来表示，例如p就可以取作p的物理意义明确后，另两个坐标（，）的几何意义尚不确定ak来说可以看成是小截面中、以磁轴（p = 0或最大值对视方便而定为中心的极向角（一般将水平方向的外侧即eR方向、取为0由于环对称、所有磁场分量都与环

13、向角（见上图）无关，所以似乎取是直截了当的。但由 ， ， 组成的磁面坐标系不是正交系，因此使用起p很不方便。直观地来看就是磁力线在磁面即（，）平面上不是直线（对柱坐标系，磁力线在(，Z =R0)平面上是直线；对ak线是螺旋形的。因此，需要来找一个和有关的=()，能使磁力线在(， ()角 标系。这时对磁力线在(，)平面上是直线的要求，的方式引入一个与(，)无关的函数q(p)（这同时也是对的隐性确定q(p)正好是 1. MHD 平衡条件下的磁场分量待定函数是可测量量 ,p其中, 是一个待定函数，由磁力线在(，)平面上是直线的要求来确定。p 磁面坐标系中的两个磁场分量只是磁面p的函数2) 这两个磁面

14、函数有明确的物理意义，可以和可测量量联系起来，3) pBp 磁面坐标系中的两个磁场分量只是磁面p的函数2) 这两个磁面函数有明确的物理意义，可以和可测量量联系起来，3) pBp B就只需用两个垂直于p vBB B p其中BH和B0是两个（p,）的待定函vi）下面一步，是利用B0和MHD平衡条件（j0p个二元（p,）待定函数BH和B0，变成二个待定的磁面函数R（p）和g（ p BH BH Hppv可以证明B0中涉及BH的项为零，于是就只剩下涉及B0B B p0（2.14JB 2 这意味着上式方括号中的量是与无关的函数，故可JB 2R(p B , p0p其中R(p)是与无关的待定j0j B jp

15、rv(B)B B jpppHJB 2 JBHrv(B)B B jpppHJB 2 JBHp g(p BH 2p其中的g(p)也是与无关的待(4.6)和(4.9)的推导从磁场的表达式vBB B pB B B HHp B pppB Hpp 利用矢量的散度公式 vvvJ 1 1 J JA JA ApJ pB 0 1 JB pJ p 1 J （4.6(4.8)和(4.9)的推导B g( ) R( ) J vB 0B p这式和上面的式子除了用BH代替B0外，完全一样。故可以直接得到(4.8)vB 0B p这式和上面的式子除了用BH代替B0外，完全一样。故可以直接得到(4.8)可以证明：R(p)和g(p)

16、与物理上的可测量有连系= 量，则R(p) = 1（见White书2.4，p.32；可以证明2g(p)代表从磁面p外流过的极向电流（见White书g(p)是一个可测量量(4.38)R(p) = 1 的证明如果认为一个磁面p内的极向磁通就是p，则在2p。另一方面，按定义它应该写成下列积分v02就 2 2ppR v RJB J 2pR(p)2 R( 2pp这样，上式要成立，必须有：R(p) = 12 磁力线在 (， ) 为直线的要求引入了安全因子q(p同时也是对 ,的隐性确定p率是与(，)均无关的常数（但不同磁面上磁力线的斜率由于磁场剪切而不同。而磁力线的斜率是磁场两个（反变或共变）分量之B / B

17、 或B / B 下面采用反变分量（共变基） （见(2.11-13) vvvvBeBe e vB iijkiBp Bv Bv JpvJ B vpJ B vvvvBeBe e vB iijkiBp Bv Bv JpvJ B vpJ B p注意：在用了MHD平衡条件后，上式中Bp B 0p)无关，故它只能是磁面的函数，令这个量为q(p)，有条 pB以后可以知道q(p)就是安全因子，而它的倒数是回转变换(p)。不同磁的磁力线方向不同，所以q值和值也不同（和磁面p有关。足MHD平衡，还可以通过测量到的q(p)来表述并被唯一 22pv 2B ddpp J 2q( )ddd 2q(p)dp1QvB d d这

18、与 q(p )等价.q(p在磁力线是直线时B（4.15 ,p、取 v1JB ,pv1 BJ pppJ1 pg v1 BJ pppJ1 pg Bppp pppp也即（同p值的磁面上，而且在这磁面上的(，)平面中是直线。虽然，通过（4.19）可以选取所需的 , 、也即合适的环向坐标，p是通过测量得出安全因子q(p)这个式子太复杂，不易操作。实际上后用它进入磁场在这个磁面坐标中的表达式，这样就绕过了确定 , 具体pak 磁场在磁面坐标系中的反变与共变表达式vB v Jv JBBppv q( ) 用到B 1/JB qJppp ppg(p) q( 2 Jp gq pB g( ) R( ) J v1 B

19、J vf q( ) Bf( )ippp q f pp f v1 B J vf q( ) Bf( )ippp q f pp f q fpp J 磁场在磁面坐标系：， ， 中的共变分量（反变基）表达式，由（2.9-pvBBpp BBvJBpv JB vJB pg( ) 1 1 2 pppJpg() 1 21B 2 ppppJpB g(pB JBpgp p p 1 p 1g 1 2 ppJpB g( ) R( ) J ABCD ACBD ADBCJ1 pg2B2 p. vB BB BB B ABCD ACBD ADBCJ1 pg2B2 p. vB BB BB B B B B2i，i其中的共变分量由(

20、4.23Bg(p和g() 1 21B 2 ppppJp1gg 1 2 2 2 ppJg p22 p（4.19v1B J和v1 B,J pppg J2 pppgg21J p2p qJ（4.25同时也可以得到B的更简单的表达B JB2g( )q( )磁场反变分量（共变基）表达式（即(4.20)式B B e JB JB pp磁场反变分量（共变基）表达式（即(4.20)式B B e JB JB pp q( ) pppq()pp磁场的共变分量（反变基）的表达式就可以简化成vBBp Be B)g( ) g( )JB2ppppp上式中的第一个分量B就是（4.24第二个分量B就是(4.29)，而第三个量在没做

21、进一步简化前就是(4.22从上式可以看到，第一个磁场分量g(p)不但只是磁面的函数，而其中第三个分量Bp(p, )=(p, 表示曲面坐标系的非正交性（但第二个分量B(p, )表达式中含有待定的J(p, ) 从直角（x,y,z）变换到曲面坐标系 ， ， 的变换Jacobian因此有可以通过选p适的J(p,)g来使B(p)，并将它与可测量量联系起来=4. J /B2，使I(p )与磁面p 内的环向总电流相联系=p Bg( )q( )( J p ppp( )I)g( )q( B I( ppppp于是磁场的共变分量（反变基）的表达式就可以进一步简v pppp I), pppp.p2注意：如果这个磁面坐

22、标系是正交系，则上式中的两个反变基的点乘应该为零，这样0就表示这个磁面坐标系的非正交性定律，证明磁场分量 p ), I( p 下面将通 I), pppp.p2注意：如果这个磁面坐标系是正交系，则上式中的两个反变基的点乘应该为零，这样0就表示这个磁面坐标系的非正交性定律，证明磁场分量 p ), I( p 下面将通只与等离子体中jvv dI( ) ppppppppI g ppp推导过程：利用矢量旋度的表达式（2.16）有（为了简单，下面将用代替p iij j ei (B) ei vBj (B) 1J v j B 2J v Bj B 3J Je2 e J e3e J e1 g j e1 2 j e2

23、 j e3 考虑到，等离子体环向截面（,= 常数3vdS Jdd dSp Jdd则在磁面p 内、流过小截面（上图中被点复盖的截面）的环向总电vvjdS 2IvdS Jdd dSp Jdd则在磁面p 内、流过小截面（上图中被点复盖的截面）的环向总电vvjdS 2I( tp上式的推导：vv 0 jtd ppp)p p 2I ()2I( p0ppp = 同样，流经磁面p 外、穿过半径为环对称轴到磁面的大截面（上图中用斜vvjdS 2g( pp上式的推导：vjdS v00Jdd pp02 )(1/J)Jd 2g( 2g( ppppp= （4.365对 Hamada 坐标系一个全磁面坐标系的简介年由Hamada引进的全（4.365对 Hamada 坐标系一个全磁面坐标系的简介年由Hamada引进的全磁面坐标系（p ,，其中后两 ,pqG ,p其中和 是待定的函数，由在（,）平面上，磁力线和电流线同时vB qp此外，与上面给出的磁面坐标不同的是，Hamada量的分量gij均可给出，因此这个坐标系中所有的代数便地实行。这样ak中的理想磁流体方程在Hamada坐标系中 Hamada,S.,Nucl.2 R. D. Hazeltine and J. D. Meiss, Plasma Addison-Wesley Publishing Company