机械波的形成和传播

1、机械波的形成和传播1第1页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四 机械波的形成和传播 如果在空间某处发生的扰动以一定的速度由近及远向四处传播，则称这种传播的扰动为波. 机械扰动在弹性介质中的传播形成机械波.一、机械波产生条件 产生机械振动的振源(波源); 传播机械振动的弹性介质. 介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质量，各质元间存在着相互作用。质元间的相互作用使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。二、横波和纵波1. 横波: 介质中质点振动方向与波的传播方向垂直.2第2页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四xxxxxxt = T/4t = 3T

2、/4t = 00481620 12 t = T/2 t = Ty3第3页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四波的传播不是媒质质元的传播, 而是振动状态的传播, 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现；“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；沿波的传播方向, 各质元的相位依次落后；同相位点质元的振动状态相同, 相邻同相位点, 相位差2；波是指媒质整体所表现的运动状态。 波的传播特征可归纳为：2. 纵波: 介质中质点振动方向与波的传播方向平行. 固体中的振源可以产生横波和纵波. 水面波既不是纵波, 又不是横波. 横波传播的条件为媒质具有切变弹性。在气体和液体内不产生

3、切向弹性力, 故气、液体中不能传播横波.4第4页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四1. 波面: 振动相位相同的各点连成的面.2. 波前: 波源最初振动状态传播到各点所连成的面. 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱 面波等。 3. 波线: 沿波的传播方向画一些带箭头的线; 各向同性介质 中波线与波面垂直。三、波面与波线球面波平面波波线 波面5第5页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四 横波: 相邻的波峰或波谷间距离; 纵波: 相邻的密集或稀疏部分中心间距离.3. 波速（u）:单位时间内, 波动所传播的距离称为波速 （相速）. 波速决定于介质的特性.2.

4、 周期（T）: 波前进一个波长的距离所需的时间叫周期频率（ ）: 周期的倒数称为频率波长反映波的空间周期性；周期反映波的时间周期性；四、描述波的几个物理量1. 波长: 波传播时, 在同一波线上两个相邻的相位差为2 的 质点之间的距离.6第6页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四1) 弹性绳上的横波T绳中的张力, 绳的线密度讨论几种介质中的波速：2) 固体棒中的纵波Y杨氏弹性模量 体密度l0l0 + l FF拉伸其中：7第7页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四3) 固体中的横波4) 流体中的纵波 = Cp/Cv , 摩尔质量pV0+ V容变ppp理想气体:B容变

5、模量, 流体密度G 切变模量F切切变8第8页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简谐振动, 这种波称之为简谐波.如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。一、平面简谐波的波函数设有一平面简谐波, 在无吸收、均匀、无限大的介质中传播.设波的位相速度，即波速为u,则对P 点： 平面简谐波设原点0处振动位移的表达式为：oxxuyP1. 沿x 轴正方向传播(右行波)9第9页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四定义角波数 得： 2. 沿x 轴负向传播(左行波)xPxuyo对P 点：简谐波运动学方程10第10页，共61页，20

6、22年，5月20日，3点9分，星期四二、波动方程的物理意义1. x 确定时，为该处质点的振动方程, 对应曲线为该处质点振动曲线x 确定时tyotpxxuyopt 确定时2. t 确定时，为该时刻各质点位移分布, 对应曲线为该时刻波形图不同时刻对应有不同的波形曲线 简谐波运动学方程是一个二元函数。位移y是时间t和位置x的函数。11第11页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四3. t, x 都变化时, 表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况 行波。t + tx=u txuyot波函数的物理意义描述了波形的传播.12第12页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四三、波动

7、中质点振动的速度和加速度四、平面波的波动方程 u: 波形传播速度, 对确定的介质是常数 v: 质点振动速度, 是时间的函数注意：把平面简谐波的波函数分别对t和x求二阶偏导数，得13第13页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四比较上列两式，即得普遍意义：在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质 是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式： 任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它是以u为传播速度的波动过程.14第14页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题8.1 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,已知振幅A=1.0m, 周期T=2.0s, 波长=2.0m

8、. 在t=0时, 坐标原点处质点位于平衡位置，且沿oy 轴的正方向运动. 求： 1) 波函数; 2) t=1.0s时各质点的位移分布, 并画出该时刻的波形图; 3) x=0.5m处质点的振动规律, 并画出该质点位移与时间的关系曲线.解: 1) 按所给条件, 取波函数为式中为坐标原点振动的初相15第15页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四代入所给数据, 得波动方程2) 将t=1.0s代入式(1), 得此时刻各质点的位移分别为(2)(1)16第16页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四 按照式(2)可画出t=1.0s时的波形图(3) 将x=0.5m代入式(1),

9、得该处质点的振动规律为 由上式可知该质点振动的初相为-. 由此作出其y-t曲线y/mx/m1.02.00 x/my/m1.02.00-1.017第17页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题8.2 一平面简谐波以速度u=20m.s-1沿直线传播, 已知在传播路径上某点A的简谐运动方程为y=(310-2m)cos(4s-1)t. 求: 1) 以点A为坐标原点, 写出波动方程; 2) 以距点A为5m处的点B为坐标原点, 写出波动方程; 3) 写出传播方向上点C, 点D的简谐运动方程; 4) 分别求出BC和CD两点间的相位差.9m5m8muxDABC 解: 由点A的简谐运动方程可知

10、频率波长18第18页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四2) 由于波由左向右行进, 故点B的相位比A点超前, 其简谐运动方程为1) 以A为原点的波动方程为故以点B为原点的波动运动方程为19第19页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四3) 由于点C的相位比A点超前，故而点D的相位落后于A点, 故4) BC和CD间的距离分别为xBC=8m, xCD=22m. 20第20页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题为8.3 一横波沿一弦线传播, 设已知t=0时的波形曲线如图所示, 弦上张力为3.6N , 线密度为25gm-1. 求: 1) 振幅; 2)

11、波长; 3) 波速; 4) 波的周期; 5) 弦上任一质点的最大速率; 6) 图中a , b两点的相位差; 7) 3T/4 时的波形曲线。 x/cmy/cm1020304050607080ab0-0.2-0.4-0.50.20.40.5M1M221第21页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四3) 由波速公式可得4) 波的周期为2) =40cm 解: 由波形曲线可看出1) A=0.5cm;5) 质点的最大速率为22第22页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四6) a, b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后7) 3T/4时的波形如图中实线所示, 波峰

12、M1和M2已分别右移3/4而到达M1和M2处。t=0 时的波形x/cmy/cm1020304050607080abt=3T/4 时的波形0-0.2-0.4-0.50.20.40.5M1M1M2M223第23页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四设波在体密度为 的弹性介质中传播, 在波线上坐标x 处取一个体积元dV, 在时刻t 该体积元各量如下:一、波的能量振动速度:振动动能: 波的能量 能流密度振动位移: 在弹性介质中，介质质元不仅因有振动速度而具有动能，而且因发生形变而具有弹性势能，所以振动的传播必然伴随能量的传递。24第24页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星

13、期四 以金属棒中传播纵波为例.在波线上任取一体积为 ，质量为 的体积元.利用金属棒的杨氏弹性模量的定义和虎克定律因关于体积元的弹性势能：25第25页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四故总能量:表 明：总能量随时间作周期性变化;振动中动能与势能相位差为/2, 波动中动能和势能同相;波动是能量传播的一种形式.26第26页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四二、能量密度2. 平均能量密度表明: 波的平均能量密度与振幅的平方成正比, 与频率的平方成正比。1. 能量密度: 单位体积介质中的波动能量.表明: 波的能量密度与总能量dE均随时间作周期性变化, 且同相.27第2

14、7页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四2. 平均能流1. 能流: 单位时间内通过介质某一截面的能量.uSux三、能流密度（波的强度）通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流3. 平均能流密度-玻印廷矢量矢量形式:单位: W.m-2 28第28页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四四、波的吸收若波的吸收系数为常数时强度比振幅衰减快 对于球面波在均匀介质中传播的情况.通过两个球面的总的 能流应相等，即由此得相应的球面简谐波表式为29第29页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四一、惠更斯原理介质中波动传播到的各点, 都可以视为发射子波的波源, 在其

15、后任一时刻, 这些子波的包络就是新的波前. 惠更斯原理意义： 只要已知某时刻的波面和波速，可以确定下时刻的波面和波的传播速度。 适用于各种波, 机械波、电磁波等 适用于非均匀的、各向异性的介质30第30页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四应用：解释波的衍射(绕射), 波的散射, 波的反射, 波的折 射等现象.局限性：没有说明子波的强度分布没有说明子波只向前传播, 而不向后传播的问题二、波的衍射波在传播过程中遇到障碍时, 能够绕过障碍物的边缘继续向前传播 波动的特征之一。衍射现象显著与否, 与障碍物的大小与波长之比有关。a31第31页，共61页，2022年，5月20日，3点9分

16、，星期四三、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律 波的折射和折射定律 用作图法求出折射波的传播方向i1-入射角, i2-折射角CAi1i2n1t1t2BEn2 需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于是纵波可能变成横波或部分纵波,部分横波。反之亦然。练习：应用惠更斯原理，用作图法证明波的反射定律。32第32页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四无论是否相遇, 各列波仍保持原有的特性(频率, 波长和振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有遇到其他的波一样（波传播的独立性）。在其相遇区域内, 任一点的振动为

17、各个波单独存在时在该点引起的振动的矢量和.一、波的叠加原理 波的干涉几列波在同一介质中传播:波的叠加原理的基础是波的方程为线性微分方程.若 分别满足波动方程33第33页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四34第34页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四二、波的干涉相干波: 两个频率相同, 振动方向相 同, 相位差恒定的波源发出的波。s2s1Pr1r2 波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。则 显然也满足波动方程 两个相干波源发出的波的叠加。两束相干波在空间形成稳定的强度分布, 合振幅或强度取决于两束相干波的相位差.相干叠加：35第35页，共61页，2

18、022年，5月20日，3点9分，星期四波源的振动：由叠加原理P点合振动：P点的振动：s2s1Pr1r236第36页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四c) 其他情况合振幅在最大值与最小值之间。3. 非相干叠加振幅叠加情况复杂，但强度分布简单a) 干涉加强b) 干涉减弱37第37页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题8.4 A, B两点为同一介质两相干波源, 其频率皆为100Hz, 当点A为波峰时点B为波谷. 设波速为10m.s-1, 试写出A, B发出的两列波传到点P时干涉的结果. 15m20mPAB 解: 由图可知, AP=15m, AB=20m, 故又已

19、知v=100Hz, u=10m.s-1 得38第38页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四设A的相位较B超前, 则A-B=. 根据相位差和波程差的关系有 这样的值符合合振幅的最小的条件, 如若介质不吸收波的能量, 则两波振幅相同, 因而合振幅 故在点P处, 因两波干涉减弱而不发生振动. 39第39页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四一、驻波的形成 实验弦线上的驻波 驻 波 弦线长度等于半波长的整数倍时才能形成驻波. 两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成,而产生特殊的干涉现象。波节：始终不动的点波腹：振荡最强的点40第40页，共61页，20

20、22年，5月20日，3点9分，星期四二、驻波方程 各点作频率相同、振幅不同的简谐振动 振幅为41第41页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四三、驻波的特征1. 波节和波腹振幅为0，这种位置称为波节.两相邻波节间的距离/2.波节：当 即波腹：当 ， 即振幅为2A，这种位置称为波腹.两相邻波腹间的距离/2.两相邻波节与波腹间的距离/4.42第42页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四相位为 波节之间相位相同, 波节两边相位反相。相位为2. 相位3.没有能量的定向传移 驻波中，节点为始终不动的点，原则上没有能量从节点处通过.两波节间能量应当守恒,动能与势能之间不断相互

21、转换，在波节和波腹之间转移.43第43页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四4、半波损失相位突变，半波反射有半波损失 均匀介质中传播的波在遇到两种介质的分界面处，究竟出现波节还是波腹，取决于波的种类和两种介质性质及入射角的大小。定义介质的特性阻抗 .分析表明，在入射波波线近似于垂直界面时无半波损失相位突变0，全波反射 由于半波损失，入射波和反射波在反射点是相消干涉，形成驻波的节点.半波反射波疏介质波密介质全波反射波疏介质波密介质44第44页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题8.5 两人各执长为l 的绳的一端, 以相同的角频率和振幅在绳上激起振动, 右端的人

22、的振动比左端的人的振动相位超前 . 试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波. 由于绳很长, 不考虑反射. 绳上的波速设为u.解: 设左端的振动为则右端的振动为设右行波的波动表式为左行波的波动表式为45第45页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四根据题意, 当 时， ,即当 时， ,即46第46页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四于是当=0时, x=0处为波腹; 当=时, x=0处为波节.47第47页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四对弹性波来说，所谓波源和观察者的运动或静止，都是相对于在其中传播的连续介质而言的. 多普勒效应如果波源与观察者之间有

23、相对运动, 则观察者接受到的波频率不同于波源的频率，这种现象称为多普勒（C.J.Doppier，1803-1853）效应.多普勒效应为简单起见，假定波源、观察者的运动发生在二者的连线上。设波源的频率为, 波长为, 在介质中的传播速度为u.若波源和观察者相对于介质静止时，测得的频率 则为48第48页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四一、波源不动, 观察者相对于介质以速度v0 相向运动2. P 以速度v0离开S下面分三种情况讨论：1. P 以速度v0 接近S单位时间内通过P 的波段长度:表明: P 接收到的频率提高P接收到的频率:v0PS49第49页，共61页，2022年，5月2

24、0日，3点9分，星期四二、观察者不动, 波源相对于介质以速度vs相向运动表明: P接收到的频率也提高P接收到的频率：2. 若S以速度vs 离开P, 则1. 若S以速度vs 接近PvsPS50第50页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四三、波源和观察者同时相对介质运动波的波长为单位时间内通过P的波段长度为vsPSv01. 若S 以速度vs 接近P, 而P 以速度v0 接近S P接受到的波频率：表明: P接收到的频率也提高。51第51页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四2. 若S和P的运动不在二者连线上vsPSv0s0sSvsu3. 若波源速度超过波速vsu. 上

25、述计算结果将没有意义，这时波源将位于波前的前方,各波前的切面形成一个圆锥面，称为马赫锥,其顶角满足有纵向多普勒效应; 无横向多普勒效应52第52页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四 飞机、炮弹等以超音速飞行时，在空气中激起冲击波. 飞行速度与声速的比值vS/u决定角, 比值vS/u称马赫数. 冲击波带多普勒效应在科学技术上有着广泛的应用1. 谱线红移.测定星球相对于地球的运动速度.;2. 利用基于反射波多普勒效应原理的雷达系统，测定流体 的流动、振动体的振动、车辆导弹等运动目标速度.3. 医学上的“D超”，利用超声波的多普勒效应检查人体 内脏、血管的运动和血液的流速和流量.5

26、3第53页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四本章基本要求1.理解描述波动的物理量的物理意义及相互关系.2.掌握平面谐波的波函数及波动方程的物理意义，根据 给定条件求解波函数.3.掌握平均能量密度与平均能流密度的概念和计算.4.理解惠更斯原理及其意义，掌握惠更斯原理应用.5.理解波的迭加原理,掌握波的干涉原理和干涉加强、减 弱的条件.6.掌握驻波的形成条件和特点，建立半波损失的概念， 掌握其形成的特点.7.掌握多普勒效应及其产生原因，求解具体问题.2005年“国际物理年”徽标54第54页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题8.6 利用多普勒效应监测汽车行驶的

27、速度. 一固定波源发出频率为100kHz的超声波. 当汽车迎着波源驶来时. 与波源安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为110kHz. 已知空气中声速为330m.s-1, 求汽车行驶的速率. 解: 分两步分析. 第一步: 波向着汽车传播并被汽车接收, 此时波源是静止的. 汽车作为观察者迎着波源运动。设汽车的行驶速度为, 则接收到的频率为55第55页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四由此解得汽车行驶的速度为 第二步: 波从汽车表面反射回来, 此时汽车作为波源向着接受器运动, 汽车发出的波的频率即是它接收到的频率, 而接受器此时是观察者, 它接收到的频率为56第56页，共61页，2022年，5月20日，3点9分，星期四例题8.7 A,